2023~2024学年山东省济宁市任城区(五四学制)九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省济宁市任城区(五四学制)九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题满分30分，每小题3分．每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确答案填写在答题卡上）
1. 下列各点中，在函数y=－图像上的是（ ）
A. （﹣2，4）B. （2，4）
C. （﹣2，﹣4）D. （8，1）
【答案】A
【解析】-2×4=-8
故选：A
2. 抛物线的对称轴是直线（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】抛物线对称轴是直线，
故选：D．
3. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度i=1：，坝高BC为5m，则AB的长度为（ ）
A. 10mB. 5m
C. mD. m
【答案】A
【解析】∵河坝横断面迎水坡AB的坡度i=1：，
∴，
∵坝高BC为5m，
∴，
∴；
故选A．
4. 在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（单位：Pa）与它的受力面积S（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法错误的是（ ）
A. 函数解析式为B. 物体承受的压力是
C. 当时，D. 当时，
【答案】C
【解析】设，
∵点在这个函数的图象上，
∴，
∴，
∴p与S的函数关系式为，
故选项A，B不符合题意；
当时，，
∴当时，，
故选项C符合题意；
当时，，
当时，，
∴当受力面积时，压强，
故选项D不符合题意；
故选：C．
5. 在中，都是锐角，且，，则是（ ）
A. 等边三角形B. 钝角三角形
C. 直角三角形D. 不能确定
【答案】A
【解析】∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
故选A．
6. 如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（ ）
A. ﹣1≤x≤6B. ﹣1≤x＜6
C. ﹣1＜x≤6D. x≤﹣1或x≥6
【答案】A
【解析】∵一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，
根据图象可得关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集是：﹣1≤x≤6．
故选：A．
7. 如图，在中，，，，则的面积为（ ）
A. 24B. 30C. 40D. 48
【答案】A
【解析】在中，，，，
∴，
∴，
∴，
故选A．
8. 下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：
设铁塔顶端到地面的高度为，根据以上条件，可以列出的方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，∴DH=FH，则FH=CE，
设为，CE=x-10,在Rt△EFC,==，即，选A.
9. 使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：）与旋钮的旋转角度x（单位：度）(0°＜x≤90°)近似满足函数关系(a≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）
A. 18°B. 36°C. 41°D. 58°
【答案】C
【解析】由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图，
∴抛物线对称轴在36和54之间，约为41°，
∴旋钮的旋转角度x在36°和54°之间，约为41°时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气．
故选：C．
10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：
①；
②；
③；
④；
⑤（m是任意实数）．
其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ③⑤
【答案】B
【解析】由所给函数图象可知，
，
所以．
故①正确．
因为抛物线的对称轴是直线，
所以，
即．
故②正确．
因为抛物线与x轴有两个交点，
则，
即．
故③错误．
由函数图象可知，
当时，函数值小于零，
则，
又因为，
所以．
故④正确．
因为抛物线开口向上，且对称轴为直线，
则当时，函数有最小值为．
所以当（m为任意实数）时，
总有，
即．
故⑤错误．
所以正确的结论有①②④．
故选：B．
二、填空题（本大题满分18分，每小题3分，请你将答案填写在答题卡上）
11. 若二次函数的图象开口向上，则a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】∵二次函数的图象开口向上，
∴，
故答案为.
12. 小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间的关系为h＝﹣5t2＋12t，则足球距地面的最大高度是______m．
【答案】
【解析】∵h=-5t2+12t，
∴a=-5，b=12，c=0，
∴足球距地面的最大高度是：=7.2m，
故答案为：7.2．
13. 如图，点A在反比例函数的图像上，轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若的面积为4，则______．
【答案】16
【解析】因为C是OB的中点， 的面积为4，
所以的面积为8，
因为点A在反比例函数的图像上，
所以|k|=16，
因为k＞0，
所以k=16，
故答案为：16．
14. 如图，在中，，，，于点，那么的值是_______．

【答案】
【解析】在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，
∴AB==13，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴sin∠BCD=sinA= ．
故答案为：.
15. 若将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，则______．
【答案】
【解析】抛物线向右平移2个单位长度得，即，
，
，
故答案为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别落在y轴、x轴的正半轴上，，．若反比例函数经过C，D两点，则k的值为__________．
【答案】
【解析】过点C作轴于点M，如图所示：
则，
∵矩形的顶点A，B分别落在y轴、x轴的正半轴上，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，，
∴，，
∴点C坐标为，
根据平移，可得点D坐标为，
∵反比例函数经过C，D两点，
∴，
解得或（舍去），
∴点C坐标为，
将点C坐标代入，
得，
故答案为：24．
三、解答题（本大题满分52分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
17 计算：．
解：．
18. “水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，，水嘴高．
（1）以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，求图中抛物线的解析式；
（2）求水柱落点C与水嘴底部A的距离．
解：（1）设抛物线的表达式为．
由题意知，顶点，
∴，
把代入，得，
∴，
∴．
（2）当时，
解得，（舍去）.
所以．
答：水柱落点C与水嘴底部A的距离为．
19. 如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿东北方向出发，同时乙货船从B港口沿北偏西方向出发，甲货船行驶10海里后和乙货轮相遇在点P处．则A港与B港相距多少海里？
解：作于点C，
由题意得，
∴海里，
∵乙货船从B港沿西北方向出发，
∴，，
∴海里，
∴海里，
答：A港与B港相距海里．
20. 某商店购进一批单价为元的日用商品，如果以单价元销售，那么半月内可售出件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少件，销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？最大利润是多少？
解：设销售单价为x元，销售利润为y元，
根据题意得：
，
当时，有最大值，最大值为，
所以，销售单价为元时，半月内获得的利润最大，最大利润是元．
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣4x+2的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点B，C，且B（﹣1，m），C（n，﹣4）．过点A作AD⊥y轴交反比例函数y＝（k≠0）的图象于点D，连接BD．
（1）求反比例函数的表达式和点C的坐标．
（2）求△ABD的面积．
（3）请直接写出不等式＜﹣4x+2的解集．
解：（1）∵B（﹣1，m）在一次函数y＝﹣4x+2的图象上，
∴﹣4×（﹣1）+2＝m．解得m＝6，
∴B（﹣1，6），
∵点B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝﹣1×6＝﹣6
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
∵C（n，﹣4）在反比例函数y＝﹣的图象上
∴﹣4＝﹣，解得n＝，
∴点C的坐标为（，﹣4）；
（2）把x＝0代入y＝﹣4x+2，得y＝2，
∴A（0，2），
∵AD⊥y轴，
∴点D的纵坐标为2，
又∵点D在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴2＝﹣，解得x＝﹣3，
∴D（﹣3，2）．
∴AD＝3
∴S△ABD＝×3×（6﹣2）＝6；
（3）观察图象可知，不等式＜﹣4x+2的解集为x＜﹣1或0＜x＜．
22. 某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为，测得教学楼楼顶点C处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和教学楼的距离为57米，求教学楼的高度．（参考数据：，，）
解：过D点作于E，作于F，
在中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
答：教学楼的高度约为13米．
23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，连接和．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点的坐标．
解：（1），，
，，
将，，代入，
得，
解得：，，
抛物线得解析式为：．
（2）在中，
对称轴为直线，
点与点关于对称轴对称，
如图，可设交对称轴于点，由两点之间线段最短可知，此时有最小值，
而的长度是定值，故此时的周长取最小值，
在中，
当时，，，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点代入，得，，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
故答案为：．
24. 如图，抛物线与x轴交于点A，点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，点P为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q．
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值；
（3）已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）令，
解得：或4，
故点A、B的坐标分别为：、
（2）设直线的表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，
解得：，
故直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
∵，故有最大值，
当时，的最大值为4；
（3）存在，理由：
当时，点，
抛物线的对称轴为直线，
设点，而点，
∵四边形是菱形，
则，即，
解得：，
即点M坐标为或．
题目 测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示意图
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