2023~2024学年山东省济宁市鱼台县九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省济宁市鱼台县九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、m＝3时，不是一元二次方程，选项错误；
B、方程含有两个未知数，故选项错误；
C、符合一元二次方程的定义，正确；
D、是分式方程，选项错误.
故选C.
2. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得，
A选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
B选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
C选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
D选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意，
故选：D；
3. 若二次函数的对称轴为直线，则关于x的方程的解为（ ）
A. 2B. 4C. 2和4D. 无解
【答案】C
【解析】∵二次函数y＝x2＋bx−5的对称轴为：直线x＝2，
∴＝2，解得：b＝−4，
则x2＋bx−5＝2x−13可化为：x2−4x−5＝2x−13，
解得：x1＝2，x2＝4．
故选C．
4. 如图，在同一坐标系下，一次函数与二次函数的图像大致可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＜0，x=＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，x=＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，故本选项错误．
故选：C．
5. 已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】C
【解析】当时，函数是一次函数，
解析式为：，
此时图象和x轴有交点，
即满足要求；
当时，函数是二次函数图像与x轴有公共点，
∴一元二次方程的，
即：，
解得且，
综上：则k的取值范围是，
故选：C．
6. 关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A. 2B. 1C. 0D. －1
【答案】C
【解析】∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴
∴，
即a的取值范围是且．
∴整数a的最大值为0．
故选C．
7. 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ）
A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°
【答案】A
【解析】依题意旋转角∠A′CA=40°，
由于AC⊥A′B′，由互余关系得∠A′=90°-40°=50°，
由对应角相等，得∠BAC=∠A′=50°．
故选A．
8. 一个群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息420条，则可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意得：．
故选：D．
9. 若二次函数y＝（x-m）2-1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A. m＝3B. m＞3C. m≥3D. m≤3
【答案】C
【解析】二次函数y=（x-m）2-1的对称轴为直线x=m，
∵当x≤3时，y随x的增大而减小，
∴m≥3，
故选：C．
10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①;②方程()必有一个根大于2且小于3;③若,是抛物线上的两点,那么;④;⑤对于任意实数m,都有，其中正确结论的个数是（ ）

A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】∵抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，
∴，
∴；故①错误；
由图可知，抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为：，
∵抛物线关于直线对称，
∴抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为：，
∴方程（）必有一个根大于2且小于3；故②正确；
∵，
∴抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越大，
∵是抛物线上的两点，且，
∴；故③错误；
∵
∴，
由图象知：，，
∴；故④正确；
∵，对称轴为直线，
∴当时，函数值最小为：，
∴对于任意实数m，都有，
即：，
∴；故⑤正确；
综上：正确的有3个；
故选C．
二、填空题：（每小题3分，共15分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______．
【答案】
【解析】点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
12. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是_____．
【答案】3＜m≤5．
【解析】依题意得：，
解得3＜m≤5．
故答案是：3＜m≤5．
13. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____．
【答案】-1或2或1
【解析】∵函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4(a-1)×2a=0，
解得：a1=-1，a2=2，
当函数为一次函数时，a-1=0，解得：a=1.
故答案为：-1或2或1
14. 点，，均在二次函数的图像上，则，，的大小关系是_________．
【答案】
【解析】因为二次函数，
所以对称轴为直线，
因为，
所以的对称点，
根据抛物线开口向下时，对称轴的右侧y随x的增大而减小，且，
所以．
故答案为：．
15. 如图①，在AOB中，∠AOB＝90º，OA＝3，OB＝4．将AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为________．
【答案】（36，0）
【解析】根据勾股定理得AB=.根据旋转的规律可得：（1）图①、③④、⑥⑦、⑨⑩中的直角顶点在x轴上；（2）△AOB的旋转三次完成一个循环，所以第九次完成后，直角三角形完成了3个循环，每个循环中，直角三角形向前移动12个单位长度.所以图⑨中的直角顶点的坐标为（36,0）.又因为图⑩中的直角顶点与图⑨中的直角顶点是同一个，所以图⑩的直角顶点的坐标为（36,0）
三、解答题：本大题共7小题，共55分．
16. 用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
解：（1）方程移项得：，
两边开平方得：，
即；
（2）方程变形得：，
即，即，，解得：．
17. 如图，在平面直角坐标系中，将四边形称为“基本图形”，且各点的坐标分别为，，，．
（1）画出“基本图形”关于原点对称的四边形，并填出，，，的坐标．
( ， )，( ， )， ( ， )， ( ， )
（2）画出“基本图形”绕点顺时针旋转所成的四边形．
解：（1）如图所示；
，，，；
故答案为：，；，；，；，；
（2）如图所示：
18. 如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请问一元二次方程x2－3x＋2＝0倍根方程吗？如果是，请说明理由．
（2）若一元二次方程ax2＋bx－6＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求a、b的值？
解：（1）方程x -3x＋2＝0可变形为(x-1)(x-2)=0
∴x-1=0或x-2=0，
∴方程的两个根分别为，
∵2=1×2，∴方程x2－3x＋2＝0是“倍根方程”
（2）∵方程ax2＋bx－6＝0是倍根方程，且有一根为2，设另一根为x1，则x1=1或4，
当x1=1时，
解得：，检验成立；
当x1=4时， ，
解得： ，检验成立，
综上所述得： 或．
19. 掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
解：（1）∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设，
∵经过点(0，)，
∴，解得∶∴，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
∵对于二次函数，当y=0时，有
∴，
解得∶， (舍去)，
∵>6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
20. 如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）．
（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；
（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？
解：（1）∵AD+BC-2+AB-2=40，AD=BC=x，
∴AB=-2x+44；
（2）由题意得，（-2x+44）•x=192，
即2x2-44x+192=0，
解得x1=6，x2=16，
∵x2=16＞（舍去），
∴AD=6，
∴AB=-2×6+44=32．
答：AD长为6米，AB长为32米．
21. 某超市在“元宵节”来临前夕，购进一种品牌元宵，每盒进价是20元，超市规定每盒售价不得少于25元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒25元时，每天可卖出250盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种元宵的每盒售价不得高于38元．如果超市想要每天获得不低于2000元的利润，那么超市每天至少销售元宵多少盒？
解：（1）根据题意，；
（2）由题意：，
∴当时，P取得最大值，最大值为2250，
答：当每盒售价定为35元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是2250元；
（3）由题意得：
当时，
，
∴，
解得，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y有最小值，
y最小（盒），
∴超市每天至少销售元宵120盒．
22. 如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线经过两点，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
设直线，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴；
作点关于轴的对称点，连接，
则：，，
∴当三点共线时，有最小值为的长，

∵，，
∴，
即：的最小值为：；
（3）存在；
∵，
∴对称轴为直线，
设，，
当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：
①为对角线时：，

∴，当时，，∴，∴；
②当为对角线时：，

∴，当时，，∴，∴；
③当为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或．