2023~2024学年山东省临沂市兰山区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省临沂市兰山区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共15页。

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），共6页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题纸规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．
2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分．
第I卷（选择题共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中．
1. 关于的方程是一元二次方程，则满足（ ）
A. B.
C. D. 为任意实数
【答案】A
【解析】∵关于的方程是一元二次方程，
∴，∴，
故选：A．
2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】在一元二次方程中，
二次项为，二次项系数为，
一次项为，一次项系数为，常数项为，
二次项系数、一次项系数和常数项分别是．故选D．
3. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
4. 在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（ ）
A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
【答案】B
【解析】∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，
∴连接PP1、NN1、MM1，
作PP1的垂直平分线过B、D、C，
作NN1的垂直平分线过B、A，
作MM1的垂直平分线过B，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，
即旋转中心是B．
故选B．
5. 在冬奥会开幕式上，美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案本身的设计呈现出充分的美感，它是一个中心对称图形．其实“雪花”图案也可以看成自身的一部分围绕图案的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
【答案】C
【解析】∵360°÷6=60°，
∴旋转角是60°的整数倍，
∴这个角的度数可以是60°．
故选：C．
6. 用配方法解方程时，方程可变形为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
移项得：
两边都加4得：

故选A
7. 用因式分解法解一元二次方程，变形后正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解方程，
因式分解得：，
故选：B．
8. 定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A. 有一个实根B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根
【答案】B
【解析】根据新运算法则可得：，
则即为，
整理得：，
则，
可得：
，
；
，
方程有两个不相等的实数根；
故答案选：B.
9. 如图，把小圆形场地的半径增加得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍．若设小圆形场地的半径为，那么列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设小圆的半径为,则大圆的半径为,根据题意可得
，
故选：C．
10. 为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排36场比赛，则参赛的足球队个数为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】设参赛足球队个数为x个，根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
即参赛的足球队个数为9个，
故选：D．
11. 根据下列表格，判断出方程的一个近似解（结果精确到）是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方程的一个根就是函数的图象与轴的一个交点，
即关于函数，时的值，
由表格可得：当的值是时，函数值与0最接近．因而方程的近似解是．
故选：C．
12. 如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当0≤x≤1时，过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠A=60°，AE=AF=x，
∴AG=x，
由勾股定理得FG=x，
∴y=AE×FG=x2，图象是一段开口向上的抛物线；
当1∵∠DAH=60°，AE=x，AD=1，DF= x-1，
∴AH=，
由勾股定理得DH=，
∴y=(DF+AE)×DH=x-，图象是一条线段；
当2≤x≤3时，过点E作EI⊥CD于点I，
∵∠C=∠DAB=60°，CE=CF=3-x，
同理求得EI=(3-x)，
∴y= AB×DH -CF×EI=-(3-x)2=-x2+x-，图象是一段开口向下的抛物线；观察四个选项，只有选项A符合题意，故选：A．
第II卷（非选择题共84分）
注意事项：
1．第II卷分填空题和解答题．
2．第II卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷上答题不得分．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 若a是方程的解，计算：=______.
【答案】0
【解析】∵a是方程x2﹣3x+1=0的一根，∴a2﹣3a+1=0，即a2﹣3a=﹣1，a2+1=3a
∴,故答案为0．
14. 如图所示，，都是等边三角形，，连接，，则可以看作_____顺时针旋转_____得到的．
【答案】① ②60
【解析】∵都是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
∴，∴将绕点顺时针旋转可得，
故答案为：，．
15. 如图所示,若,，为图中二次函数图象上三点，则，，的大小关系为________（用“”连接）．
【答案】
【解析】根据函数图象得：抛物线开口向下，对称轴为，
∴关于对称轴的对称点为
∴当时，y随x增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：．
16. 如图所示是一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽时，拱顶（拱桥洞的最高点）距离水面，当水面下降时，水面的宽度为______．
【答案】
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，

设该抛物线的解析式为，
由题意可得，该抛物线过点，
，
解得，
该抛物线的解析式为，
当时，，
解得，，
当水面下降时，水面的宽度为，
答：当水面下降米时，水面的宽度为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共68分）
17. 解下列方程．
（1）
（2）
解：（1）
则；
（2）
故，
则该方程无实数根．
18. 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，那么它的下部应设计多高？
解：设雕像的下部高为，则题意得：，
整理得：，
解得，（舍去），
答：雕像的下部高为．
19. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转到的位置，使得．
（1）请判断的形状，并说明理由；
（2）求的度数．
解：（1）是等腰三角形．理由如下：
由旋转可知：，，，
是等腰三角形，
（2），，．
由（1）得．
在中，，
．
．
20. 下图所示的三种拼块，，，每个拼块都是由一些大小相同、面积为个单位的小正方形组成，如编号为的拼块的面积为个单位．
现用若干个这三种拼块拼正方形，拼图时每种拼块都要用到，且这三种拼块拼图时可平移、旋转，或翻转．
（1）若用个种拼块，个种拼块，个种拼块，则拼出的正方形的面积为 个单位；
（2）在图和图中，各画出了一个正方形拼图中个种拼块和个种拼块，请分别用不同的拼法将图和图中的正方形拼图补充完整．要求：所用的，，三种拼块的个数与（1）不同，用实线画出边界线，拼块之间无缝隙，且不重叠．
解：（1），
∴正方形的面积为25；
（2）答案不唯一，如：
21. 如图所示，它是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，……
（1）第一行有1个点，前两行点数和是3，前三行点数和是6，请问前四行的点数和是 ，前行的点数和是 ；
（2）探究发现，120是前 行的点数和；
（3）三角点阵中前行的点数和能是600吗？如果能请求出；如果不能，试用一元二次方程说明理由．
解：（1）由于第一行有个点，第二行有个点…第行有个点，
则前四行共有 个点，
前行共有个点，
可以把第一行和最后一行点加起来是，
第二行和倒数第二行加起来是，
以此类推，一共有行，
所以前行共有=个点．
故前四行点数和为；前行点数和为．
（2）根据题意可得：，
整理得，
求得．
（3）根据题意可得：，
整理得，．
，
而，即．
不是一个完全平方数，即方程的两根均为无理数．
三角形点阵中前行的点数和不能是600．
22. 一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系式，测得一些数据（如下表）．
【实验猜想】
（1）为观察与之间的关系，请在方格图坐标系中描出表中数据对应的5个点，并用平滑曲线连接它们：
（2）试猜想这图象应该是我们已经学过的函数图象 的一部分，因此，应该是的 函数．
【推理验证】
（3）试求出函数解析式．
【数据分析】
（4）滑雪者滑行5秒，滑行距离是多少？
（5）若滑行者在山坡上的出发点和终点的距离是，他需要多长时间才能到达终点？
解：（1）如图所示：
（2）根据图象猜想是抛物线的一部分，因此s应该是t的二次函数；
故答案为：抛物线，二次；
（3）设关于的函数关系式为，将代入，
得，
解得：，
关于的函数关系式为；
（4）当时，．
当滑行时间为时，小聪在山坡上滑行的距离米．
（5）由题意可知，把代入方程得：，解得，（舍去）
答：他需要到达终点．
23. “直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段．某主播小莉在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如图所示：
（1）当定价为 元时，开始无人购买；
（2）设小莉每天的销售利润（快递费用等不考虑）为元，求与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）当销售单价定为多少元时，每天销售该商品获得利润最大，并求出最大销售利润的值；
（4）若小莉每天想获得的销售利润为910元，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？
（5）在（4）中，若不考虑库存问题．小莉哥哥建议她采取（4）中的另一种方案，请简述建议的理由．
解：（1）设y关于x的关系式为，
将代入得：
，
解得：，
∴y关于x的关系式为，
当时，，
解得：，
∴当定价为30元时，开始无人购买，
故答案：30；
（2）根据题意得：
，
化简得：．
（3）由（2）得：，
，
当时，函数有最大值，即．
答：当销售单价定为20元时，每周销售该商品获利最大，最大利润的值为1000元．
（4）由题意，令，
．
，．
∵尽可能地减少库存，
，
．
答：应将销售单价定为17元；
（5）当时，，
此时，
若按的单价出售130件该商品，，
，
即同样多的商品可以获得更大的利润．
滑行时间t/s
0
1
2
3
4
滑行距离s/m