2023~2024学年山东省临沂市罗庄区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省临沂市罗庄区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美，下列企业标志图为中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选C．
2. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
3. 将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的新的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】抛物线先向右平移个单位长度，得：，再向上平移个单位长度，得：．
故选：D．
4. 如图，是直径，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵是的直径，∴，
∵，
∴，
∵，∴；
故选：A．
5. 如图，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，设交于点，
∵，
∴，
在中，，
∵是旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
6. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A. 抛物线的对称轴为直线
B. 抛物线的顶点坐标为
C. ，两点之间距离为
D. 当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
【解析】∵二次函数的图象与x轴交于，两点，
∴
∴
∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；
当时，
即
∴，
∴，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
7. 如图，切于点，连结交于点交于点，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，连接，

∵切于点，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴；
故选：D．
8. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（ ）
A. 5B. 10C. 1D. 2
【答案】D
【解析】球弹起后又回到地面时，即，
解得（不合题意，舍去），，
∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2，
故选：D
9. 如图，正六边形内接于，点在弧上，点是弧的中点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，连接，
∵正六边形内接于，
∴∠COD= =60°，
∵点是弧的中点，
∴
∴
∴
故选：B．
10. 如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，由旋转的性质，
可得，，，
无法证明，，故B选项和D选项不符合题意，
，故C选项不符合题意，
，故A选项符合题意，
故选：A．
11. 如图，与相切于点交于点，点在上，且．若，则的长为（ ）
A. 3B. 3.5C. D. 4
【答案】C
【解析】连接，
与相切于点，
，
，，，
，
，
在中，，，
，
的面积的面积的面积，
，
，
，
，
故选：C
12. 规定：如果两个函数的图象关于轴对称，那么称这两个函数互为“函数”．例如：函数与互为“函数”．若函数的图象与轴只有一个交点，则它的“函数”图象与轴的交点坐标为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】①当时，函数的解析式为，
此时函数的图象与x轴只有一个交点成立，
当时，可得，解得，
与x轴的交点坐标为，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为；
②当时，
函数的图象与x轴只有一个交点，
，即，解得，
函数的解析式为，
当时，得，解得，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为，
综上所述，它的“函数”图象与x轴的交点坐标为或，故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
13. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是_____.
【答案】1
【解析】∵点与点关于原点对称，
∴．
故答案为：1．
14. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为______．
【答案】12
【解析】∵关于x的一元二次方程两根为、，
∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是___________

【答案】3
【解析】作于Q，连接、、，如图：

∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
由得，
当时，；当时，
即点，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是中线，
则，
由三角形三边关系得：，
由题得，当P、O、Q共线时，此时，最大，
∵P为中点，∴，∴，
∴；
故答案为：3．
16. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是______（填序号）
【答案】①③④
【解析】①∵抛物线的顶点的坐标为，
∴，
∴，即，
由图可知，抛物线开口方向向下，即，
∴，
当时，，
∴，
故①正确，符合题意；
②∵直线是抛物线的对称轴，
∴，
∴，
∴
由图象可得：当时，，
∴，
故②错误，不符合题意；
③∵直线是抛物线的对称轴，
设两点横坐标与对称轴的距离为，
则，，
∴，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
∴，
故③正确，符合题意；
④∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
故④正确，符合题意．
故答案为：①③④
三、解答题（共7小题，共72分）
17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当时，求出方程的解．
解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，解得：且；
（2）当时，
原方程为，即，
移项得：，配方得：，即，
直接开平方得：
解得：．
18. 将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．

【答案】见解析（答案不唯一，符合题意即可）
【解析】①要求是轴对称图形但不是中心对称图形，则可作等腰梯形，如图四边形即为所求；
②要求是中心对称图形但不是轴对称图形，则可作一般平行四边形，如图四边形即为所求；
③要求既是轴对称图形又是中心对称图形，则可作菱形、矩形等，如图四边形即为所求；
④要求既不是轴对称图形又不是中心对称图形，则考虑作任意四边形，如图四边形即为所求．

19. 问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）

问题解决：
（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；
（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）
解：（1）∵旋转一周用时120秒，
∴每秒旋转，
当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，，
∵，
∴；
（2）作于点C，设与水平面交于点D，则，

在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴(米)，
答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米．
20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．

（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
解：（1）设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
（2）不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
21. 如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B．

（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为4，，求的长．
解：（1）∵与相切于点A，
∴，
∵平分，，
∴，
∴是的切线；
（2）∵的半径为4，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
22. 乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
（1）乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得如下数据：
在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______；
②求满足条件的抛物线解析式；
（3）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长为，球网高为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
解：（1）描出各点，画出图象如下：
（2）①观察表格数据，
可知当和时，函数值相等，
对称轴为直线，
顶点坐标为，
抛物线开口向下，
最高点时，乒乓球与球台之间的距离是，
当时，，
乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
故答案为：49；230；
②设抛物线解析式，
将代入得，，
解得：，
抛物线解析式为；
（3）当时，
抛物线的解析式为，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值为，则平移距离为，
平移后的抛物线的解析式为，
当时，，
，
解得：；
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值为．
23. 如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上．

（1）【动手操作】
如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度；
（2）【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
解：（1）如图所示：

∵，∴，
∵，∴，
∴；
故答案为：135．
（2）；理由如下：
连接，如图所示：

根据旋转可知，，
∵，
∴、P、B、E四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）当点P在线段上时，连接，延长，作于点F，如图所示：

根据解析（2）可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
即；
当点P在线段延长线上时，连接，作于点F，如图所示：

根据旋转可知，，
∵，
∴、B、P、E四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
即；
综上分析可知，或．