2025届四川省成都市蓉城名校联考高三(上)开学考试数学试卷(解析版)

这是一份2025届四川省成都市蓉城名校联考高三(上)开学考试数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了 已知集合，则， 设命题，则的否定为， 已知，则“”是“”的， 设，已知，则的大小关系为， 下列说法正确的是， 已知为正实数，，则等内容，欢迎下载使用。

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由可解得，即
则.
故选：B.
2. 设命题，则的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，
所以命题的否定为“”.
故选：D.
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，
设集合，，则为的真子集.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4. 某旅游旺地出租车的费用按下列规则制定：
①行程在3以内的（含3），车费10元；
②行程在3以上且不超过10的，前3车费10元，以后每增加1车费增加2元（不足1的按1计算）；
③行程超过10，则超过的部分每公里车费3元（不足1的按1计算）.
小明某天乘坐该地的出租车，共花费39元，那么他的行程大约为（ ）
A. 13B. 14C. 15D. 16
【答案】C
【解析】设行程为km，车费为元，
当时，，
当时，，
当时，.
小明某天乘坐该地的出租车，共花费39元，
所以，解得km.
故选：C
5. 某电影公司为了解某部电影宣传对票房的影响，在某市内随机抽取了5个大型电影院，得到其宣传费用（单位：十万元）和销售额（单位：十万元）的数据如下：
由统计数据知与满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额的估计值为（ ）
A. 85.5B. 86.5C. 87.5D. 88.5
【答案】C
【解析】因为：，.
由线性回归方程经过点且得：.
所以.
当时，.
故选：C
6. 设，已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设，（），则，
当时，，所以在0,1上单调递减.
所以，所以，即；
再设（），则，
当时，，，所以，在0,1上单调递增，
所以，所以，即.
综上可知：，
故选：C.
7. 某高中运动会设有8个项目，甲､乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有（ ）
A. 420种B. 840种C. 476种D. 896种
【答案】D
【解析】由题意可知，可以分两种情况，
第一种情况所选取3个项目恰有2个相同项目，
第一步，在8个项目中选取2项，共有种，
第二步，甲在剩下的6个项目中选取1项，共有种，
第三步，乙在剩下5个项目中选取1项，共有种，
由分步乘法计算原理可知，共有种；
第二种情况所选取的3个项目有3个相同项目，
则有种；
由分类加法计数原理可知，总情况一共有种.
故选：D.
8. 已知，不等式恒成立，则最大值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
.
令，则易知在上单调递增，，
令，问题转化为求 在的最小值.
因为，当时，（当且仅当时取“”）.
所以在上单调递增，.
所以的最大值为.
故选：A
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 与表示同一个函数
C. 关于的不等式的解集为，若，则
D. 若，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对A：因为函数的定义域为0,1，所以，由，所以函数的定义域为-1,1，故A正确；
对B：因为函数的值域为，函数的值域为，所以两个函数不是同一个函数，故B错误；
对C：当时，或，所以或；
当时，无解，所以∅；
当时，，所以.
又，所以，只有∅时满足题意，此时，故C正确；
对D：因为，
所以，，
所以，即，故D正确.
故选：ACD
10. 已知为正实数，，则（ ）
A. 的最小值为4B. 的最小值为
C. 的最小值为8D. 的最小值为2
【答案】BCD
【解析】对A：因为为正实数，且，所以，因为，所以，故A错误.
对B：因为为正实数，且，所以（）.
所以（当且仅当，即时取“”），故B正确；
对C：因为（都是当且仅当时取“”），故C正确；
对D：因为，故，所以（当且仅当时取“”），故D正确.
故选：BCD.
11. 已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 点是函数的一个对称中心
C. 当时，
D. 函数恰有6个零点
【答案】AC
【解析】由题意可知关于轴，1,0对称，
当，则，且f1=0，故，
对于A,，
，故A正确；
对于B，对称中心为，故B错误；
对于C，函数y=fx在0,1和上的图像关于点中心对称，
当时，，
故C正确；
对于D，由图像可知函数y=fx与函数有7个交点，故D错误.
故选：AC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 二项式的展开式中第5项为__________.
【答案】15
【解析】展开式通项为，
.
13. 若函数，在R上单调递增，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】因为在R上单调递增，
所以，解得．
14. 已知函数有两个零点，实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】函数的定义域为0,+∞，令，
即有两个不同的正实数根，
即有两个不同的正实数解，
即有两个不同的正实数解，
令，则，令，
而在上为增函数，
故直线与函数的图像有两个交点，其中，
则，所以函数在上单调递增，
在上单调递减，
，当，
根据的图像可知，
当，即时，直线与函数的图像有两个交点，
因此，实数的取值范围为.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知公差不为0的等差数列的首项为1，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是公比为2的等比数列，且，求数列的前项和.
解：（1）设数列的公差为，
，
，
数列的通项公式为；
（2）令，则，
又，，
，，
则，
，
.
16. 研究表明，人在23点之前入睡最有益身体健康，熬夜通常会导致睡眠时间不足或规律作息被打乱.某中学为研究熬夜与短期记忆力减退是否有关联，在高三年级随机抽取两个班共90名学生调查，列表如下：
（1）完善列联表，根据概率值的独立性检验，分析熬夜与短期记忆力减退是否有关联？
（2）从样本中熬夜的学生中随机选取2人，其中短期记忆力较差的人数为随机变量，求的分布列与期望；
（3）以样本频率估计概率，从该校300个熬夜的学生中随机抽取5名学生，用表示这5名学生中恰有名短期记忆力较差的概率，求取最大值时的值.
附：参考公式：，其中.
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：
解：（1）表格如下：
零假设为：熬夜与短期记忆力减退无关，
因为，
所以依据的独立性检验，
可以认为熬夜与短期记忆力减退有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05.
（2）由题意可得的可能取值有：，
，，
的分布列如下表所示，
所以.
（3）由题意可得满足二项分布，，
，
若最大，
则，
所以或.
17. 如图，在四棱锥中，底面.
（1）若，证明：平面；
（2）若，且，线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为？若存在，求出点在线段上的位置；若不存在，请说明理由.
解：（1）在四棱锥中，由平面，平面，得，
又平面，则平面，
而平面，于是，由，得，
则，又平面平面，
所以平面.
（2）由（1）知，过点作平面，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
假设存在点满足条件，令，
，
设平面的法向量，则，
令，得，
由平面，得为平面的法向量，
由二面角的正弦值为，得，
即，而，解得，
所以点是线段上靠近点的三等分点，使得二面角的正弦值为.
18. 已知为曲线上一动点，动点到和的距离之和为定值，且点在曲线上.
（1）求曲线的方程；
（2）若过点的直线交曲线于两点，求面积的取值范围.
解：（1）依题意，
，
可知
故点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，
曲线的方程为；
（2）如图，由题可得直线斜率存在，
①当直线斜率为0时，，，
②当直线斜率不为0时，设直线的方程为，
将直线与椭圆联立得，消元整理得：
因设Ax1,y1,Bx2,y2，
则有，，
则
设点到直线的距离为，则，
故
令，则，且 则，
，在上单调递减，
，则，
综上，面积的取值范围为.
19. 已知.
（1）求的定义域；
（2）若恒成立，求能够取得的最大整数值；
（3）证明：.
解：（1）要使函数有意义，需满足，
令，
则，令解得，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
∴fx的定义域为0,+∞；
（2）由恒成立得，，
当时，不等式恒成立；
下面说明当且为整数时不等式成立的情况.
当时，不等式显然成立，
当时，等价于恒成立，
此时恒成立，
令，则，令得，
当即且为整数时，无解；
当即且为整数时，
若，则，若，则，
即hx在上单调递增，在上单调递减，
则要使不等式恒成立，须使恒成立，
令则故单调递增，
从而，当且仅当时取等号，此时恰有原不等式恒成立，
综上所述，能够取得的最大整数值是1；
（3）由（2）可知，当时，恒成立，
即，即，
当时，，即，
令，则有
即
于是，
，得证.（十万元）
5
6
7
8
9
（十万元）
55
60
70
75
80
短期记忆力
熬夜
不熬夜
合计
较差
30
50
良好
25
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
短期记忆力
熬夜
不熬夜
合计
较差
30
20
50
良好
15
25
40
合计
45
45
90
0
1
2