2025届四川省新高考教研联盟高三(上)八省适应性联考模拟演练考试(二)数学试卷(解析版)

这是一份2025届四川省新高考教研联盟高三(上)八省适应性联考模拟演练考试(二)数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的4个选项中只有一个答案符合要求.
1. 已知为虚数单位，复数满足，则复数z的虚部为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】因为，，所以，
所以，所以复数的虚部为；
故选：B
2. 设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是（ ）
A. B. 2C. 1D.
【答案】D
【解析】∵，，不等式恒成立，
即恒成立，∴只需,
∵，当且仅当时取等号.
所以，
∴，∴m的最小值为，
故选：D
3. 紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的最大盛水量为（ ）

A. 68πcm3B. 152πcm3
C. D. 204πcm3
【答案】B
【解析】依题意，上圆台底面半径为4，面积，
下底面半径为6，面积，圆台高h为6，
所以圆台体积.
故选：B
4. 给出下列命题：
①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量，若，则；
④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底．
其中说法正确的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】对于①，当与的夹角为，满足，所以①错误；
对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误；
对于③，由，得到，所以或与垂直，所以③错误；
对于④，因为为空间向量的一个基底，所以不共面，故也不共面，所以构成空间的另一个基底，所以④正确.
故选：B.
5. 设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由以及正弦定理得，所以
即，又B为钝角，所以，故
于是
，因为，所以
由此，即的取值范围是
故选：A
6. 如图，，是分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，圆与三边所在的直线都相切，切点为，，，若，则双曲线的离心率为（ ）

A. B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】连接，，，

由直线和圆相切的性质，可得，设，
由双曲线的定义可得，，
则，
，，
由圆外一点作圆的切线，则切线长相等，
即有，即，．
故选：B．
7. 设，m>0，若三个数，，能组成一个三角形的三条边长，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，，
令，，，
，
，
，
，y，z能组成一个三角形的三条边长，
可得，
即为，
设，可得，可令，
即有，
即为，
由，
当且仅当上式取得等号，但，可得，
则，即；
又设，可得，
由的导数为，
由可得，即函数y为增函数，
可得，
即有，即有，
可得，
故选C．
8. 用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
【答案】B
【解析】因为，，所以或，
由，得，
关于x的方程，
当时，即时，易知，符合题意；
当时，即或时，易知0， -a不是方程的根，
故，不符合题意；
当时，即时，方程 无实根，
若a=0，则B={0}，，符合题意，
若或，则，不符合题意.
所以，故.
故选：B.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. . 是的必要不充分条件
C. 若，，，则“”的充要条件是“”
D. 若，，则“”是“”的充要条件
【答案】BD
【解析】A 选项：当时，满足，但是不能推出；
反之当时，满足，但是不能推出，所以两者既不充分也不必要，故 A 错误；
B选项：当，,但是不能推出A=∅
当A=∅时，，故 B 正确；
C选项：当时，不能由推出,故 C 错误；
D选项：等价于等价于，故 D正确；
故选：BD.
10. 已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，．若点为的中点，则下列说法正确的为（ ）
A. 平面B. 平面
C. 四棱锥外接球的表面积为D. 四棱锥的体积为12
【答案】BD
【解析】对于A，因底面为矩形，则，又侧面平面，
且侧面平面，平面，
故平面,而与不重合，故A错误；
对于B，设,连接,因分别是的中点，则,
又平面，平面,故得平面，即B正确；
对于C，取中点,连接因，则,,
因侧面平面，且侧面平面，平面，则平面，
易知点为矩形的外接圆圆心，过点作平面,其中点为四棱锥外接球的球心，
连接,设球的半径为，在中，，
故，又，在直角梯形中，，
解得，，故四棱锥外接球的表面积为，故C错误；
对于D，因点为的中点，故点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，
即,故四棱锥的体积为，故D正确.
故选：BD.
11. 芯片时常制造在半导体晶元表面上.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ）（参考数据：，）
A.
B.
C.
D. 取得最大值时，M的估计值为54
【答案】BC
【解析】A选项，由条件概率的定义可知，，A错误；
对于B，因为，所以，
其中，故，
又，
于是，
即，
即，而，
所以，即，故，B正确；
C选项，指标服从正态分布，故，
则，
因为，，
所以，C正确；
D选项，，，
设，
令，
解得，故，
令，
解得，即，
所以取得最大值时，M的估计值为53，D错误.
故选：BC
三、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分15分.
12. 如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则经过10分钟点Q距离地面______.米
【答案】
【解析】依题意，设距离水平地面的高度，
所以，，则，
所以，
则.
13. 在平面直角坐标系中,若方程所表示的曲线是椭圆，则实数m的取值范围是___________
【答案】
【解析】因为方程所表示的曲线是椭圆，
所以由可得：
,
则，
因此有，故实数m的取值范围.
14. 中，的最大值为________.
【答案】
【解析】令
，其中，
则，
设，，
显然，有，则只需考虑在上的最大值，
求导得，
令，得，则且，
当时，，当时，，
则当时，函数取得极大值，即为最大值，.
所以的最大值是.
四.解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程及步骤.
15. 如图，在三棱柱中，，.

（1）求的长；
（2）若为的中点，求二面角的余弦值．
解：（1）取的中点，连接，．
，，，．
又，，平面，平面，
又平面，．
又，，.
（2）如图，以为坐标原点，，所在直线，过且与平面垂直的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图

则易得，，，，．
设，，由为的中点，可得，则，
由，，，可得，解得，,．
．
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得．
设平面的法向量为，
则，即，
则，可得．
则，
易知二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为．
16. 在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：
（1）由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数x（每组数据取区间的中点值，）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X，求X的数学期望；
（2）A市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、第60格共61个方格棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k到），若挪出反面，则将棋子向前移动两格（从k到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.
①设棋子移到第n格的概率为，求证：当时，是等比数列；
②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
解：（1）
，
由Z服从正态分布，得
，因此，
所以X的数学期望为.
（2）①棋子开始在第0格为必然事件，，
第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为，即，
棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种：
棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；
棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，
因此，即，且，
所以当时，数列是首项，公比为等比数列.
②由①知，，，，，
将以上各式相加，得，
于是，
则闯关成功的概率为，
闯关失败的概率为，
，
所以该大学生闯关成功概率大于闯关失败的概率.
17. 已知点，、两点分别在轴、轴上运动，且满足，．
（1）求的轨迹方程；
（2）若一正方形的三个顶点在点的轨迹上，求其面积的最小值．
解：（1）设点，因为，且点在轴上，所以，
又，则，，
由，
故点的轨迹方程为.
（2）设该正方形为，其在上的三个顶点为、Bx2,y2、，
不妨设，在轴的下方（包括轴），且，
则，
设直线的斜率为，则，
所以，，故，故.
又，所以，
，将，用表示，
得，
故，
，当且仅当时等号成立，
又，当且仅当时等号成立，
结合，故，当且仅当时等号成立，
故，当且仅当时等号成立，
所以正方形面积，当时取最小值.
18. 已知函数，.
（1）若时，求的所有单调区间；
（2）若在区间上的最大值为，求的范围.
解：（1）当时，f(x)＝xcsx－sinx，.
当，且时，；
当，且时，；
关于原点对称为，
关于原点对称为，
∵f(x)定义域为R，且，∴f(x)是奇函数，
∴f(x)在关于原点对称的区间上单调性相同，
∴的减区间是，，且；
的增区间是，，且.
（2）.
(i)当时，时，，∴，单调递减.
此时，而，∴，此时不合题意；
(ii)当时，变化时变化如下表：
此时在上最大值为.
而在(0，a)单调递减，在(a，π)单调递增，
∴，
易证y＝x－sinx在上单调递增，
故y＝x－sinx≥0－sin0＝0，即在上，x≥sinx，
故时，，∴＝，
∴，
又，故当x＝a时，g(x)取最大值1，
∴符合题意；
(iii)当时，，，，
，，∴，单调递增，
，，
∴，且当x＝π时，，符合题意.
(iv)当时，∵时，∴，∴，单调递增，
此时，
在上单调递减，
，故，
又，
∴要使g(x)有最大值，则，
整理得，
设，.
则，令，
则，∴单调递增，
∴，∴单调递增，
∴，故在内无解，
即，故不合题意；
综上，.
19. 设.
（1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为，求k的值；
（2）设，且各项系数互不相同，现把这个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，，第n列n个数.设是第1列中的最小数，其中，且，记的概率为，求证：.
（3）设且，集合的所有3个元素的子集记为，记为中最小元素与最大元素之和，求的值.
解：（1）因为的通项公式为，
而它的展开式中第5项与第7项的系数之比为，即，
所以，即，所以，解得或.
因为，所以.
（2）由题意，最小数在第列概率为，
去掉第列已经排好的个数，
则余下的个数中最小值在第列的概率为，
，以此类推，
余下的数中最小数在第2列的概率为，
所以，
由于，所以，
设，
所以，
记，所以，
所以bn是递增数列，所以；an是递增数列，所以，
所以，所以，即.
（3）集合的所有个元素的子集中：
以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；
以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；
以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个.
所以
，
所以，故.消费金额（单位：百元）
频数
20
35
25
10
5
5
↗
极大值
↘