2025届天津市河北区高三(上)期中质量检测数学试卷(解析版)

这是一份2025届天津市河北区高三(上)期中质量检测数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了 设全集，则， 函数在上的图象大致为， 设，，，则， 已知双曲线等内容，欢迎下载使用。
参考公式：
一､选择题：在每年小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，可得，即，
则或，故.
故选：C.
2. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线与直线平行，则且，解得，
所以推得出直线与直线平行，即充分性成立；
由直线与直线平行推不出，即必要性不成立；
故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 函数在上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为函数的定义域为,
且,
所以函数是偶函数,其函数图像关于轴对称,排除CD.
又,排除B.
故选:A.
4. 某校调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），发现他们的自习时间都在区间[17.5，30]内，将所得的数据分成5组：[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]，制成了如图所示的频率分布直方图，则自习时间在区间[22.5，27.5）内的人数为（ ）
A. 240B. 180C. 96D. 80
【答案】A
【解析】由频率分布直方图可知，自习时间在区间[22.5，27.5）内的频率为，
所以自习时间在区间[22.5，27.5）内的人数为．
故选：A．
5. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以；
因为，所以；
因为，所以，
所以.
故选：B.
6. 如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设圆柱的高为，底面半径为，可知，
则圆锥的母线长为，
所以剩下几何体的表面积为.
故选：B.
7. 已知双曲线：的右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线，M，N分别是与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段的中点，则C的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点Fc,0，过第一象限的渐近线方程为，
当时，，即，又，
因为M是线段的中点，所以，得，
所以，即，
所以C的渐近线方程为.
故选：C.

8. 若函数的图象关于点对称，则的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
∵图象关于点对称，
∴,
∴，（），
∵，∴，
∴，
由（），
解得：（），
∴函数的增区间为．
故选：C．
9. 已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数的定义域为，
若时，由求导得，，
故当时，f'x0，即在上单调递增，
且当时，，当时，，即时，恒有.
作出函数的大致图象如图所示.
又由可得或，
由图知有两个根，此时有2个零点；
要使函数恰有5个不同的零点，
需使有3个零点，由图知，需使，即，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
第Ⅱ卷（非选择题）
二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上.
10. 复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是__________.
【答案】
【解析】因，
故复数在复平面内对应点的坐标是.
11. 二项式的展开式中的常数项为__________.
【答案】
【解析】二项式的通项为
，
由可得，即得二项展开式中的常数项为.
12. 若直线与两坐标轴交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的方程是___________.
【答案】.
【解析】不妨设直线与轴和轴的交点分别为A，B，
令，得，即；再令，得，即，
从而线段AB的中点为，且为所求圆的圆心，
又因为，所以所求圆的半径为，
从而以线段AB为直径的圆的方程是.
13. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在区间上的值域______.
【答案】
【解析】由题意，
因为，所以，所以，
所以函数在区间上的值域为.
14. 为了组建一支志愿者队伍，欲从3名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________，若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则________.
【答案】
【解析】设事件“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件“抽取的3人中全是男志愿者”
，则，
即在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是.
X可取，
，
则.
15. 已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为__________.
【答案】
【解析】延长交于点，连接，作于点，则分别为的中点，如下图所示：
易知，
同理可得，
由重心性质可知；
所以；
又，即，可得；
所以，可得；
因此，即.
三､解答题：本大题共5小题，共5分､解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 在中，内角所对的边分别为，已知，的面积为.
（1）求角的大小；
（2）求的值；
（3）求的值.
解：（1）因和正弦定理，，
又B∈0,π，所以，所以，
又，所以，
又，所以，
所以，；
（2）因，解得，
又因，即，
代入上式可得：，解得，
故，
由余弦定理得，，
故得；
（3）由（2）已得，，，
由余弦定理，
可得
因且B∈0,π，
故,
所以
17. 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
解：（1）如图，以为原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系则.
，
设平面的法向量为，
则取
所以所以
又因为平面，所以平面
（2）设平面的法向量为
则取
设平面与平面的夹角为
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
（3），
设点到平面的距离为，，
所以点到平面的距离为.
18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．
（1）求的方程；
（2）若的面积为，求的方程；
（3）若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
解：（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以，
的周长为，所以，
所以，
故的方程为．
（2）易知的斜率不为0，设，
联立，得，
所以．
所以，
由，
解得，
所以的方程为或．
（3）由（2）可知，
因为的斜率是的斜率的2倍，所以，
得．
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为．

19. 已知函数在处取得极小值.
（1）求值；
（2）求函数在点处的切线方程；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）由，可得，
由，解得，此时，
时，单调递减，
x∈0,+∞时，单调递增，
故是函数的极小值点，符合题意，所以.
（2）由题可得：，
在点1,f1处的切线方程为即
（3）由恒成立，
则恒成立，
令，则，
当时，，当x∈0,+∞时，，
所以当时，恒成立，所以在上单调递增，
所以，所以，
所以实数的取值范围为.
20. 已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若方程有两个不同的根．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
解：（1）由题意得，x∈0,+∞，则，
由，解得．
当时，单调递增，
当时，单调递减；
综上，在区间0,1内单调递增，在区间1,+∞内单调递减；
（2）（i）由，得，
设，
由（1）得在区间0,1内单调递增，在区间1,+∞内单调递减，
又，当时，gx>0，且当时，，
所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，
故的取值范围是0,1．
（ii）不妨设，则，且．
法一：
当时，结合（i）知，即；
当时，．
设
则
所以在区间0,1内单调递增，
则，即，
所以
又在区间1,+∞内单调递减，
所以，即，
又，所以，
故，所以，得证．
法二：
设，x∈0,+∞，
则，
所以hx在区间0,+∞内单调递增，又h1=0，
所以，即．
又，所以，
又在区间1,+∞内单调递减．
所以，即，
又，所以，得证．如果事件互斥，那么
如果事件相互独立，那么
圆柱的侧面积公式
圆锥的侧面积公式
其中表示底面圆的半径表示母线的长