2025届山东省新高考联合质量测评高三(上)9月开学考试数学试卷(解析版)

这是一份2025届山东省新高考联合质量测评高三(上)9月开学考试数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 无数个
【答案】B
【解析】根据题意可知表示的是在函数上的点的集合，且它们的纵坐标不小于横坐标；
易知的定义域为；
画出函数与的图象，如下图所示：

两函数图象横坐标较大的点的坐标为，因此在上，共有三个点坐标满足题意，
所以中有3个元素.
故选：B
2. “”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】由，可得，即，，解得或.
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：C.
3. 已知为等差数列，是其前项和，若，且，则当取得最小值时，（ ）
A. 3B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】因为为等差数列，若，且，
则，即，
又，即，故公差，
当取得最小值时，．
故选：C．
4. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由不等式的解集为，
可知1和是方程的两个实数根，且，
由韦达定理可得，即可得，
所以
.
当且仅当时，即时等号成立；
即可得.
故选：D.
5. 已知函数，，若曲线在点处的切线方程为，则函数在内的单调递减区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数，可得，
所以且，
曲线在点处的切线方程，即，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，可得，
令，可得，即，解得，
所以函数在内的单调递减区间是.
故选：A.
6. 若使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为不等式的解集为或
由题可知不等式的解集是解集的子集，
不等式，即，
①当时，不等式的解集为，满足或；
②当时，不等式的解集为，
若或；，则，
所以；
③当时，不等式的解集为，满足或；则，所以
综上所述，实数a的取值范围为．
故选：C．
7. 若函数的图象与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：．
令，则或，令，则，
所以函数的单调增区间为和，减区间为，
所以当时函数有极大值，当x=1时函数有极小值，
若函数的图象与函数的图象恰有三个不同的交点，
所以实数的取值范围是．
故选：B．
8. 设，用表示不超过的最大整数.已知数列满足，，若，数列的前项和为，则（ ）
A. 4956B. 4965C. 7000D. 8022
【答案】B
【解析】数列满足，，
故当时，，
相减得：，即，
所以，故当时，，当时，，
则当时，为常数列，所以，故
又符合上式，则；
所以，则当时，；
当时，；当时，；当时，；
又数列的前项和为，
则.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 已知正实数a，b，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】因为，且，，
当且仅当时取“”，故A正确；
因为，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，故B正确；
，当且仅当时取“”，
由B选项可知，，所以，
当且仅当时，等号成立，故D正确；
，当时，有最小值，
即，故C错误.
故选：ABD
10. 记为正项等比数列的前项和，则（ ）
A. 是递增数列
B. 是等比数列
C. 不是等比数列
D. ，，，…成等比数列
【答案】BCD
【解析】由题意可得，所以等比数列an的公比
所以，
对于A，当时，易知数列an单调递减，故A错误；
对于B，令，
所以，
所以数列是等比数列，
即是等比数列，故B正确；
对于C，当时，，此时数列是等差数列；
当且时，，
因为不是常数，所以不是等比数列，故C正确；
对于D，因为，
，
所以，
所以，，，…成等比数列，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知，，且，.若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】由函数，可得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以，当时，函数取得最小值，最小值为，
又由，可得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，当时，函数取得最大值，最大值为，
对于A中，要证，即证，
因为函数在上单调递减，所以，
因为，即证，即证，
设，可得，
令，可得φ'x=-4xe2x>0，
所以φx单调递增，且，所以，即h'x<0，
所以hx在上单调减，所以，
即，所以，所以A正确；
对于C中，注意到，
又由，所以，
因为，且在上单调递减，
所以，所以，所以 C正确；
对于B中，由，可得，所以，
又由，且在上单调递增，
所以，所以，所以B不正确；
对于D中，要证，即证，因为在上单调递增，
即证gd>g-c，因为 ，即证gc>g-c，
即证，
设，可得，
令，可得φ'x=-4xe2x>0，
所以φx单调递增，且，所以，即h'x>0，
所以hx在上单调增，所以，
这与hx>0矛盾，所以不成立，所以D不正确.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，且“，（，且）”是假命题，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】，故，
若则，，
此时“，（，且）”是真命题，故舍去；
若，则，，
此时“，（，且）”是假命题，符合要求；
故.
13. 等比数列的前项和记为，若，，则__________.
【答案】
【解析】等比数列an的前项和记为, ，显然.
则 ，化简得，
解得,则，.
当时,，
当时,，.
故答案为：.
14. 已知曲线，，若曲线，恰有一个交点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】曲线，，若曲线，恰有一个交点.
即的零点一个，，
当时，，所以当x∈0,1时，f'x>0，单调递增；
当x∈1,+∞时，f'x<0，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
则当时， ；即（后面备用）.
当时，，在上，f'x>0，单调递增；
在上，f'x<0，单调递减；又，
由得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，f'x>0，单调递增；
在上，f'x<0，单调递减；此时，
由得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为0,+∞.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 解关于的不等式：.
解：原不等式可化为，即，
也即.
当时，不等式可化为，解得.
若，则，
当时，且，解得或.
当时，且，解得.
当时，且，解得.
当时，原不等式可化为，解集为.
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
16. 在数列中，，，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设数列满足，求数列的前项和的最小值.
（1）证明：因为，，
整理得，，通分，，
.
，
，而，则，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列.
（2）解：由（1）得，则，
，，
所以.
因为数列递增，则，所以数列的最小值为.
17. 如图，一海岛O离岸边最近点B的距离是120km，在岸边距点B300km的点A处有一批药品要尽快送达海岛.已知A和B之间有一条快速路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为90km，快艇时速为60km.设海运起点C到点B的距离为.（参考数据：）

（1）写出运输时间关于的函数；
（2）当点选在何处时运输时间最短？
解：（1）由题意知，，
.
（2）.
令，得，
当时，，当时，，
所以时取最小值.
所以当点选在距点105.6km时运输时间最短.
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数，求函数极值点的个数；
（3）当时，若在上恒成立，求证：.
（1）解：的定义域为，，，
所以，，所以曲线在处的切线方程为.
（2）解：，，
对于方程，，
①当时，，，此时没有极值点；
②当时，方程的两根为，，不妨设，
则，，，当或时，，
当时，，此时，是函数的两个极值点；
③当时，方程的两根为，，且，，
故，，当时，，故没有极值点；
综上，当时，函数有两个极值点；
当时，函数没有极值点.
（3）证明：由在上恒成立，
得在上恒成立，
设，，
当时，，在上单调递增，此时显然不恒成立.
当时，若，则，在上单调递增，
若，则，在上单调递减，
所以，
所以.
要证成立，因为，即证明.
因为，
令，，，令得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，所以，所以成立.
19. 已知数列的首项为2，为数列的前项和，，其中，.
（1）若是和的等差中项，求数列的通项公式；
（2）设双曲线的离心率为，且，证明：；
（3）在（1）的条件下，记集合，，若将所有元素从小到大依次排列构成一个新数列，为数列的前项和，求使得成立的的最小值.
（1）解：由①知，当时②，两式相减可得，
所以从第二项开始是公比为的等比数列，当时，代入可得，即，
所以是公比为的等比数列，又是和的等差中项，
所以，即，解得或（舍去），所以.
（2）证明：由双曲线的性质可知，，
由（1）知是首项为2，公比为的等比数列，故，得，
故，则，
则.
（3）解：，，
则新数列为，
由上可得规律：
①新数列中元素2前只有1个元素，且到之间有1个元素，到之间有2个元素，到之间有4个元素，到之间有8个元素，到之间有16个元素，依次类推，
②数列中、、、、、……外，其它元素均来自集合B，
由上，元素之前（含），新数列共有元素个数为38个，其中32个来自B，6个来自A，
则
，
元素之前（含），新数列共有元素个数为21个，其中16个来自B，5个来自A，
则，
所以成立的的最小值出现在到之间的某个位置，
其中间元素有
则，
而，
，
综上，，而，所以使得成立的的最小值为27.