2024北京西城高二(上)期末数学试卷(教师版)

这是一份2024北京西城高二(上)期末数学试卷(教师版)，共9页。试卷主要包含了直线不经过，抛物线的焦点到其准线的距离等于等内容，欢迎下载使用。
2024.1
本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.直线不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.抛物线的焦点到其准线的距离等于（ ）
A. B.3 C.6 D.8
3.在空间直角坐标系中，点到平面的距离与其到平面的距离的比值等于（ ）
A. B. C.2 D.4
4.在的展开式中，的系数为（ ）
A.3 B.6 C.9 D.12
5.在正四面体中，棱与底面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知直线和平面，且，则“直线直线”是“直线平面”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.设为双曲线的左､右顶点，为双曲线上一点，且为等腰三角形，顶角为，则双曲线的一条渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
8.在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（ ）
A.12种 B.24种 C.32种 D.36种
9.如图，在长方体中，为棱的中点，为四边形内（含边界）的一个动点.且，则动点的轨迹长度为（ ）
A.5 B. C. D.
10.在直角坐标系内，圆，若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.过点且与直线平行的直线方程为__________.
12.在的展开式中，所有项的系数和等于__________.（用数字作答）
13.两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于__________.
14.若方程表示的曲线为双曲线，则实数的取值范围是__________；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数的取值范围是__________.
15.如图，在正方体中，为棱的中点，为棱（含端点）上的一个动点.给出下列四个结论：
①存在符合条件的点，使得平面；
②不存在符合条件的点，使得；
③异面直线与所成角的余弦值为；
④三棱锥的体积的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是__________.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.（本小题10分）
从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.
（1）共有多少种不同的选择方法？
（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？
17.（本小题15分）
如图，在直三棱柱中，.
（1）证明：直线平面；
（2）求二面角的余弦值.
18.（本小题15分）
已知经过点和，且圆心在直线上.
（1）求的方程；
（2）设动直线与相切于点，点.若点在直线上，且，求动点的轨迹方程.
19.（本小题15分）
已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆的圆心为为此圆上一点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）记线段与椭圆的交点为，求的取值范围.
20.（本小题15分）
如图，在四棱锥中，平面为棱的中点，平面与棱相交于点，且，再从下列两个条件中选择一个作为已知.
条件①：；条件②：.
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离；
（3）已知点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
21.（本小题15分）
设椭圆左､右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点.已知椭圆的离心率为的周长为8.
（1）求椭圆的方程；
（2）判断轴上是否存在一点，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦，使得为的一条内角平分线？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分
1.D 2.B 3.B 4.D 5.B
6.D 7.A 8.C 9.B 10.A
二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11. 12.81 13.4
14.； 15.①②④
注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，有两个选对且无错选得3分，有一个选对且无错选得2分，其他得0分.
三､解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
16.（本小题10分）
解：（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动，
选择方法数为种.
（2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有种，
故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为种.
17.（本小题15分）
解：（1）在直三棱柱中，
因为.平面平面，
所以.
又因为，
所以平面，
所以.
由，得四边形为正方形.
所以.
又因为，
所以平面.
（2）因为平面，
所以两两互相垂直，
故以为原点，的方向分别为轴､.轴､轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则.
所以.
设平面的法向量为，
则即
令，则.
于是.
由（1）可知：是平面的一个法向量.
因为，
由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
18.（本小题15分）
解：（1）由题意，设的圆心，半径为，
则
解得：
所以的方程为.
（2）由平面几何，知为直角三角形，且，
所以.
由，得.
设，则.
即，经检验符合题意.
所以动点的轨迹方程为.
19.（本小题15分）
解：（1）由题意，得，
所以，
所以椭圆的离心率.
（2）由题意，得.
设，则.
所以，.
因为，
所以当时，；当时，.
所以的取值范围为.
20.（本小题15分）
解：选择条件①：
（1）因为平面平面，
所以平面.
又因为平面，平面平面，
所以.
（2）因为平面，
所以.
又因为，
所以.
因此，即两两垂直.
如图，以为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，
所以.
由（1），得，且为棱的中点，
所以点为棱的中点.，
故.
设平面的一个法向量为，
则
取，则，即.
所以点到平面的距离.
（3）设，
则.
所以.
设直线与平面所成角为，
所以
.
化简，得，解得，
即.
选择条件②：
（1）与上述解法相同，略.
（2）因为平面，
所以，
又因为与相交，
所以平面.
所以.
即两两垂直.
以下与上述解法相同，略.
21.（本小题15分）
解：（1）由题意，得
解得
所以椭圆的方程为.
（2）假设轴上存在一点符合题意.
由题意，设直线.
联立方程消去，
得.
所以.
由题意，知直线的斜率存在，且为，
同理，直线的斜率为.
所以
.
因为为的一条内角平分线，
所以.
所以.
因为上式要对任意非零的实数都成立，
所以，
解得.
故轴上存在一点，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦，使得为的一条内角平分线.