北京市育才学校2024-2025学年高三(上)期中考试数学试卷(解析版)

这是一份北京市育才学校2024-2025学年高三(上)期中考试数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先解不等式得集合A，再求并集的结果.
【详解】因为，所以 ，选D.
【点睛】本题考查一元二次不等式解集以及并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.
2. 下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由解析式直接判断函数的偶性、增减性即可得解.
【详解】对于ACD，、、是非奇非偶函数，故排除ACD，
对于B，是奇函数且是定义域上的增函数，故B对；
故选：B.
3. 若，且，则的最大值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由题意得，，，故答案为A．
考点：基本不等式的应用．
4. 函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的图象，利用“五点法”求解即可.
【详解】由图知，，
，∴，
又，
，
∴函数解析式为．
故选：D
5. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可得，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】中，
由得不到，如时，即充分性不成立；
若，则，即由能够得到，即必要性成立，
所以在中，“”是“”的必要不充分条件.
故选：C
6. 已知函数，，的图像都经过点，则的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】函数f（x）=lgax，g（x）=bx，的图象都经过点，可得=2，=2，解得a，b
即可得出．
【详解】函数f（x）=lgax，g（x）=bx，的图象都经过点，
∴=2，=2，
解得a=，b=16．
则ab=8．
故选D．
【点睛】本题考查了函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7. 已知函数的部分对应值如表所示.数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，则的值为（ ）.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据递推关系可得数列的周期性，进一步即可得解.
【详解】由题意，同理，，……,
所以是周期为3周期数列，所以.
故选：C.
8. 已知向量，，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面共线向量的坐标表示可得，结合二倍角的正切公式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
所以，得，
所以.
故选：A.
9. 在直角梯形中，已知，，，，，若为的中点，则PA⋅PB的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知，由，再利用两个向量的数量积的定义，运算求解即可.
【详解】解：由题意可知，，，.
，.
，，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查两个向量的加减法法则，以及几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题.
10. 已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”.给出下列4个集合：
① ②
③ ④
其中所有“好集合”的序号是（ ）
A. ②③B. ①②④C. ③④D. ①③④
【答案】A
【解析】
【分析】由题目给出的新定义利用向量的数量积进行转换为两直线垂直，即验证一个函数图像上是否一定存在两个点使得他们与原点的连线垂直，对于①④只需取特殊点即可排除，②③需要数形结合来判断.
【详解】设Ax1,y1,Bx2,y2，则，，∵，∴，即，
即集合是“好集合”等价于在集合中任意一点，一定存在另一个点使得，
也可以理解为过原点的任意两条相互垂直的直线一定与集合中的曲线相交.
①当时，∵，∴，若，则，则无解，∴，故①不是“好集合”.
②如图所示：

是一个单增函数，且是一个凹函数，∴函数任意一个点，都有一个点使得.故②是“好集合”.
③如图：

由三角函数图像可知，过原点的任何直线都与相交.故③是“好集合”.
④当时，∵，∴，若，则无定义，∴，故④不是“好集合”.
综上所述：②③是“好集合”.
故选：A
【点睛】思路点睛：对题意中的“好集合”利用向量数量积进行分析理解，得到垂直时关键.然后可以借助特殊值排除法，取个不满足的特殊值排除①和④即可得到答案.
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 的展开式中的常数项为_______________．
【答案】24
【解析】
【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出展开式的常数项作答.
【详解】二项式展开式的通项公式为，
由，得，，
所以所求常数项为24.
故答案为：24
12. 若向量满足，且的夹角为，则___________，___________.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】第一空：由数量积的定义即可得解；第二空：利用转换法求向量的模.
【详解】，.
故答案为：1；.
13. 已知，函数若，则的值域为_____；若方程恰有一个实根，则的取值范围是_____.
【答案】 ①. 0,+∞ ②.
【解析】
【分析】根据，确定的解析式，然后分别求出和时解析式，从而得到值域；
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
故时，的值域为0,+∞；
当方程恰有一个实根即函数与图象只有一个交点，
的图像如图所示
由图可知，，解之得，
故的取值范围是，
故答案为：0,+∞；.
【点睛】本题考查求分段函数的值域，函数与方程，根据方程根的个数求参数的范围，属于中档题.
14. 已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据条件得到数列的性质,按性质写出一个数列即可.
【详解】∵，∴数列时一个增数列；
∵，∴
∴
故答案为：（答案不唯一）
15. 已知函数，给出下列四个结论：①是偶函数；②有无数个零点；③的最小值为；④的最大值为1.其中，所有正确结论的序号为___________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据偶函数定义、零点的定义，结合导数的性质逐一判断即可.
【详解】因为，所以该函数是偶函数，因此结论①正确；
令，所以结论②正确；
，因为，，
所以函数的最小值不可能为，因此结论③不正确；
，当时取等号，即时取等号，
因为，当且仅当时取等号，所以有，当且仅当时取等号，
所以有，当且仅当时取等号，因此有，所以结论④正确，
故答案为：①②④
【点睛】关键点睛：利用函数极值与最值的关系进行判断是解题的关键.
三、解答题：本大题共6小题，共85分.
16. 已知等差数列满足.
（1）求的通项公式;
（2）若等比数列，求的通项公式;
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用等差中项得到的值，求出公差即可写出等差数列的通项公式；
（2）由（1）得到的值得到的值，求出公比即可写出等比数列bn的通项公式.
【小问1详解】
因为，
∴，
∴，∴，
∴；
【小问2详解】
由题可知，又∵，
∴，
∴，
∴.
17. 已知函数在处有极值-1.
（1）求实数a，b的值;
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1）
（2）的单调递增区间为，单调递减区间为
【解析】
【分析】（1）由题意，解出的值再检验即可；
（2）直接求导，根据导数符合与单调性的关系即可得解.
【小问1详解】
已知函数，则，
由题意，解得 ，
当时，，，
当或时，f'x>0，当时，f'x<0，
所以在上均单调递增，在上单调递减，
所以在处有极小值，满足题意，
综上所述，符合题意；
【小问2详解】
由题意，则，
当时，，当时，，
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为.
18. 在中，.
（1）求B；
（2）若，___________.求a.
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）；
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据题目条件，由正弦定理得，化简即可求出.
（2）若选①，由余弦定理得：，即可解得a 的值 .
若选②，利用两角和的正弦函数公式可求得的值，由正弦定理即可解得a 的值.
【小问1详解】
因为，由正弦定理得：，因为，所以，所以，即，即
，即，又，所以.
【小问2详解】
若选①，则 中，由余弦定理得：，可得：，解得：，或（舍），可得.
若选②，，则，
由正弦定理：，可得：，解得：.
19. 为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：
（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；
（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析，（Ⅲ）见解析
【解析】
【分析】（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为.参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，利用古典概率计算公式即可得出概率.
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.利用超几何分布列计算公式即可得出.
（Ⅲ）答案不唯一.示例：虽然概率非常小，但是也可能发生，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.
【详解】（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为.
参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，
所以
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.
，，.
X的分布列为：
.
（Ⅲ）答案不唯一.
答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化.理由如下：
指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：.
指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.
答案示例2：无法确定.理由如下：
指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：.
虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化.
【点睛】本题考查古典概型，离散型随机变量的分布列和数学期望，以及根据概率统计做分析和决策等相关问题，属于中档题.
20. 已知函数.
（1）求函数的图象在点处的切线的方程；
（2）当时，求证：；
（3）讨论函数（且为常数）零点的个数.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求，计算函数图象在处的切线斜率，利用点斜式求切线方程.
（2）当时，等价于，构造函数，通过分析单调性可证不等式成立.
（3）函数零点个数问题转化为图象交点个数问题，数形结合可得结果.
【小问1详解】
由题意得，，，∴，
∴切线的方程为：.
【小问2详解】
当时，要证，只需证，
令，则，
令，则，
由得，，由得，，
∴在为减函数，在上为增函数，
∴，
∴在上为增函数，
∴，
∴，即.
【小问3详解】
由得，.
令，则，
由得或，由得，
∴在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，
当时，，当时，，当，.
∵时，取极小值，
∴当时，直线与的图象没有交点，函数无零点，
当时，直线与的图象有1个交点，函数有1个零点，
当时，直线与的图象有2个交点，函数有2个零点，
当时，直线与的图象有3个交点，函数有3个零点.
综上得，当时，函数无零点；当时，函数有1个零点；
当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点.
【点睛】思路点睛： 本题考查函数综合问题，具体思路如下：
（1）当时，要证，可等价变形为，构造函数，通过二次求导可分析函数的单调性，求函数的最小值，即可证明结论.
（2）要求函数（且为常数）零点的个数，分离参数得，问题转化为直线与的图象交点个数问题，通过求导分析单调性数形结合可得结果.
21. 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”.如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为Pn，所有项的和记为Sn.
（1）求P1，P2；
（2）若Pn≥2020，求n的最小值；
（3）是否存在实数a，b，c，使得数列{Sn}为等比数列？若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，说明理由.
【答案】（1）P1＝5；P2＝9.（2）n的最小值为10.（3）存在；a，b，c满足的条件为或者
【解析】
【分析】
（1）因原数列有3项，经第1次拓展后增加两项，可得项数P1；经第2次拓展后增加4项，可得项数P2.
（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第n次拓展后的项数为Pn，则经第n+1次拓展后增加的项数为Pn﹣1，可得Pn+1＝Pn+（Pn﹣1）＝2Pn﹣1，变形利用等比数列的通项公式即可得出.
（3）设第n次拓展后数列的各项为a，a1，a2，a3，…，am，c.可得Sn＝a+a1+a2+a3+…+am+c，因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，可得Sn+1＝a+（a+a1）+a1+（a1+a2）+a2+（a2+a3）+…+am+（am+c）+c，可得Sn+1＝3Sn﹣（a+c），变形利用等比数列的通项公式即可得出.
【详解】（1）因原数列有3项，经第1次拓展后项数P1＝3+2＝5；
经第2次拓展后的项数P2＝5+4＝9.
（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，
由数列经第n次拓展后的项数为Pn，则经第n+1次拓展后增加的项数为Pn﹣1，
所以Pn+1＝Pn+（Pn﹣1）＝2Pn﹣1
所以Pn+1﹣1＝2Pn﹣2＝2（Pn﹣1），
由（1）知P1﹣1＝4，
所以，
由，即2n+1≥2019，解得n≥10
所以n的最小值为10.
（3）设第n次拓展后数列的各项为a，a1，a2，a3，…，am，c
所以Sn＝a+a1+a2+a3+…+am+c
因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，
所以Sn+1＝a+（a+a1）+a1+（a1+a2）+a2+（a2+a3）+…+am+（am+c）+c
即Sn+1＝2a+3a1+3a2+…+3am+2c
所以Sn+1＝3Sn﹣（a+c），
得
由S1＝2a+3b+2c，则，
若使Sn为等比数列，则或
所以，a，b，c满足的条件为或者.
【点睛】本题考查了新定义、数列递推关系、等比数列通项公式与求和公式、转化方法，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于难题.
1
2
3
4
3
1
2
4
X
0
1
2
P