北京市第十五中学2024-2025学年高三(上)期中考试数学试卷(解析版)

这是一份北京市第十五中学2024-2025学年高三(上)期中考试数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了11， 已知集合，或，那么集合， 在复平面内，复数满足，则， 若是第二象限角，且，则， 设函数，则下列结论错误的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，或，那么集合（ ）
A. B. 或x≥4
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由集合交集的定义即可得到答案.
【详解】因为，或，
所以
故选：A.
2. 在复平面内，复数满足，则（ ）
A. -1-iB. -1+iC. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得：z=21-i=21+i1-i1+i=21+i2=1+i.
故选：D.
3. 下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】逐个判断各个选项中函数的单调性和奇偶性即可．
【详解】解：对于A项，函数为周期函数，在（0，+∞）上不是增函数，故A项错误，
对于B项，函数是偶函数，故B项错误，
对于C项，函数是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，故C项错误，
对于D项，函数是奇函数，且在R上单调递增，故D项正确，
故选：D.
4. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A：因为在(0,+∞)上为增函数，且，所以，故A错误；
对于B：因为在(0,+∞)上为减函数，且，所以，故B正确；
对于C：因为在R上为减函数，且，所以，故C错误；
对于D：因为在R上为增函数，且，所以，故D错误，
故选：B
5. 若是第二象限角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用同角三角函数的关系求出，结合诱导公式得到结果.
【详解】∵是第二象限角，
∴.
∵,
∴,
∴.
故选：D.
6. 设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由题意按等差数列的通项公式及求和公式列出含和的方程组，解出和，再利用求和公式写出，进而求出取最小值时的值即可.
【详解】由题意知：，则，
解得，所以，
所以当或时，取最小值.
故选：D.
7. 已知单位向量，则“”是“任意都有”（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由单位向量，且时，可得，
则，
所以，即充分性成立；
反正，对于单位向量，若成立，
可得，即，
解得，所以，即必要性成立，
所以是成立的充分必要条件.
故选：C.
8. 设函数，则下列结论错误的是（ ）
A. 的一个周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 将函数的图象向左平移个单位可以得到函数的图象
D. 在上单调递减
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得，再利用余弦函数的性质即得.
【详解】∵，
∴函数的最小正周期为，故A正确，
当时，，故B正确，
将函数的图象向左平移个单位可以得到函数，故C正确，
当时，，函数先增后减，故D错误.
故选：D.
9. 在中，，D为边BC上一点，若，且，则面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等面积法建立边的等量关系，再利用基本不等式求的最小值即可求解.
【详解】
如图，由已知，，且，
的面积，
又，
则有，解得，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
10. 如图，曲线为函数的图象，甲粒子沿曲线从点向目的地点运动，乙粒子沿曲线从点向目的地点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为，乙粒子的坐标为，若记，则下列说法中正确的是（ ）
A. 在区间上是增函数
B. 恰有个零点
C. 的最小值为
D. 的图象关于点中心对称
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得到逐项判断.
【详解】解：由题意得：，
所以，
由得，
令，则，因为在上递减，在上递增，
所以在区间上是减函数，故A错误；
令，得或，解得或，故B正确；
因为，所以的最小值为，故C错误；
因为，关于对称，是轴对称图形，
所以不可能关于点中心对称，故D错误；
故选：B
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域为________．
【答案】[2，+∞）
【解析】
【详解】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为[2,+∞).
点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.
12. 的展开式中常数项为________ (用数字作答)
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由题意可得二项式展开式的通项公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为展开式的通项公式为，
令可得，则展开式中的常数项为.
故答案为：
13. 设向量，且，则m=_________.
【答案】-2
【解析】
【详解】试题分析：由题意得
考点：向量的模
14. 对于函数和，给出下列三个结论：
①设的定义域为M，的定义域为N，则N是M的真子集.
②函数的图像在处的切线斜率为0.
③函数的图像关于点对称.
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①③
【解析】
【分析】对于①，根据对数函数的定义域，建立不等式组，结合真子集，可得答案；对于②，利用导数的几何意义，由函数解析式求导，建立方程，可得答案；对于③，利用中点坐标公式，结合函数解析式，可得答案.
【详解】对于①，由题意得，函数的定义域M=xx2x-1>0=(-∞,0)∪12,+∞，
函数的定义域.所以N是M的真子集，则①正确.
对于②，，则在处的切线斜率，则②错误.
对于③只需验证：当时，，则③正确.
故答案为：①③.
15. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹， 用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术， 剪纸具有广泛的群众基础， 交融于各族人民的社会生活， 是各种民俗活动的重要组成部分， 其传承赓 (gêng) 续的视觉形象和造型格式， 蕴涵了丰富的文化历史信息， 是中国古老的民间艺术之一.已知某剪纸的裁剪工艺如下： 取一张半径为 1 的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分 (如图所示阴影部分)，记为一次裁剪操作，，重复上述裁剪操作次，最终得到该剪纸，则第2024次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为______________.
【答案】
【解析】
【分析】设的半径为，分析正方形边长与半径的关系可得，进而可得的面积为，再分析第次裁剪操作的正方形边长，进而可得每次操作减去的面积，再求和即可.
【详解】设的半径为，则，
的半径为，即，故，
的面积为，
又第次裁剪操作的正方形边长为，
故第次裁剪操作裁剪掉的面积为
，
所以第次裁剪操作后，裁剪掉的面积之和为
，
所以第2024次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，bn是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
三、解答题共5小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数.
（1）求的最小正周期和单调增区间；
（2）若是函数的一个零点，求的最小值.
【答案】（1）2π，，
（2）2π3
【解析】
【分析】（1）利用三角函数恒等变换的公式，化简函数，进而求得函数的最小正周期和单调增区间；
（2）由条件可得，结合，求得答案.
【小问1详解】
由函数，
所以函数的最小正周期为.
由，，
得，，
所以函数的单调增区间为，.
【小问2详解】
因为是函数的一个零点，
可得，即，
所以，，即，，
又因为，所以的最小值为.
17. 在△ABC中，，，三角形面积为，求：
（1）b和c的值；
（2）的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由求得，由面积为即可求出b，利用余弦定理即可求出c；
（2）利用正弦定理可求得,，结合同角三角函数的基本关系可得,,再利用两角差的正弦公式展开,代入求解即可.
【小问1详解】
在中,因为,所以,.
因为,,所以.
由余弦定理，
解得.
【小问2详解】
由正弦定理，
可得.
所以,.
因为,所以,.
所以.
18. 已知函数．
（Ⅰ）求函数在区间上最小值；
（Ⅱ）证明：对任意，都有成立．
【答案】（1）最小值为0；（2）证明见解析；
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据导数可得出函数在上单调递减，在上单调递增，由单调性即可知函数在区间上的最小值为；（2）由（1）可知，的最小值为，对求导，根据单调性知，的最大值为，因此对任意，都有成立．
试题解析：（Ⅰ）由，可得．当单调递减，当
单调递增．所以函数在区间上单调递增，又，所以函数在区间上的最小值为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在时取得最小值，又，可知．
由，可得．所以当单调递增，
当单调递减．所以函数在时取得最大值，
又，可知，所以对任意，都有成立．
考点：利用导数判断函数的单调性‚利用导数解决实际问题
19. 某学校组织全体高一学生开展了知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：
（1）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；
（2）从该校的高一学生中，随机抽取3人，用样本频率估计概率，记成绩为优秀分的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小．只需写出结论
【答案】（1）
（2）分布列见解析，；
（3）
【解析】
【分析】（1）由古典概型的列举法求男生成绩高于女生成绩的概率.
（2）由题设，成绩优秀人数可取且服从分布，应用二项分布的概率求法求各可能值的概率，即可写出分布列，进而求期望即可.
（3）应用方差公式求出、、，进而比较它们的大小关系.
【小问1详解】
设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩”为事件A，
由表格得：从抽出的12名学生中男女生各随机选取一人，共有种组合，
其中男生成绩高于女生，，
，，.
所以事件A有17种组合 ，因此；
【小问2详解】
由数据知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀（分）的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为.
因此从该校高一学生中随机抽取3人，成绩优秀人数可取且 ,
，，，
所以随机变量的分布列
数学期望.
【小问3详解】
男生的平均成绩为，则；
女生的平均成绩为，则；
由于从参加活动的男生中抽取成绩为86分的学生组成新的男生样本，
所以，则；
所以.
20. 已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）当时，求的单调区间；
（3）当有且仅有一个零点时，请直接写出的取值范围.
【答案】（1）
（2）单调增区间为和，单调减区间为
（3）
【解析】
【分析】（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出切线的方程；
（2）当时，求出f'x，利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间；
（3）由，可得，利用导数分析函数在R上的单调性及值域，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，则，
因为，所以，
所以在处的切线方程为：.
【小问2详解】
当时，，
所以，
由f'x>0，得或，
由f'x0，
所以，存，使得，即，
当时，h'xt,+∞时，h'x>0，此时函数hx单调递增，
所以，，
因为函数在上单调递减，
当时，pt>p12=14>0，则hxmin=ht>0，
所以，对任意的x∈R，hx>0，即，
所以，函数在R上单调递增，
且当时，；当时，.
所以，对任意的，直线与函数的图象都有一个交点，
所以，当有且仅有一个零点时，的取值范围为R.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数y=gx的图象的交点问题.
21. 已知项数为的数列满足如下条件：①；②若数列满足其中则称为的“伴随数列”.
（I）数列是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；
（II）若为的“伴随数列”，证明：；
（III）已知数列存在“伴随数列”且求的最大值.
【答案】（I）不存在，理由见解析；（II）详见解析；（III）.
【解析】
【分析】（I）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论.
（II）利用差比较法判断出的单调性，由此证得结论成立.
（III）利用累加法、放缩法求得关于的不等式，由此求得的最大值.
【详解】（I）不存在.理由如下：因为，所以数列不存在“伴随数列”.
（II）因，
又因为，所以，所以，即，所以成立.
（III），都有，因为，，
所以，所以.
因为，
所以.
而，即，
所以，故.
由于，经验证可知.所以的最大值为.
【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查数列单调性的判断，考查累加法、放缩法，属于难题.男生
81
84
86
86
88
91
女生
72
80
84
88
92
97
0
1
2
3