北京市第五十五中学2024-2025学年高三(上)期中考试数学试卷(解析版)

这是一份北京市第五十五中学2024-2025学年高三(上)期中考试数学试卷(解析版)，共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三数学
本试卷共4页，共150分，调研时长120分钟
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题.共10小题，每小题4分，共40分，每题4个选项中只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：A.
2. 复数的共轭复数是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，进而可得结果.
【详解】因为，
所以的共轭复数是，
故选：A.
【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3. 的展开式中，的系数是
A. 160B. 80C. 50D. 10
【答案】B
【解析】
分析】
由二项式定理公式即可得到结果.
【详解】依题的展开式的通项为:
，
当时，，此时，
所以的展开式中，的系数是.
故选：B
【点睛】本题考查二项式定理，属于基础题.
4. 设，为非零向量，则“”是“与共线”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由化简得出，从而得出与共线，当与共线时，，，不一定相等，最后由充分条件和必要条件的定义作出判断.
【详解】当时，，化简得，即，，即与共线
当与共线时，则存在唯一实数，使得
，，与不一定相等，即不一定相等
故“”是“与共线”的充分不必要条件
故选：A
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于熟练掌握向量的数乘、数量积运算以及向量共线定理.
5. 函数，，，且的最小值为，则的值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件判断出的最小正周期，从而求得.
【详解】依题意，，，且的最小值为，
所以.
故选：A
6. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，其中谈到的“堑堵”是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有堑堵如图所示，其中，若，平面将堑堵分成了两部分，这两部分体积比值为（ ）

A. 1:1B. 1:2C. 1:3D. 1:4
【答案】B
【解析】
【分析】利用棱柱与棱锥的体积公式求解．
【详解】由题意，，
所以，
所以.
故选：B．
7. 点在圆：上，，，则最小时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的几何性质，运用数形结合思想进行求解即可.
【详解】
如图所示，由题意圆：的圆心，半径，
当直线与圆相切时，即为切点时，最小，
此时与轴平行，，.
故选：C
8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用分离常数法可得，求得的值域，由表示不超过的最大整数，即可求得函数的值域.
【详解】，由于
的值域为：
根据表示不超过的最大整数
函数的值域是.
故选：A
【点睛】本题主要考查新定义函数的理解和运用，考查分离常数法求函数的值域，考查化归与转化的数学思想方法，解题关键是在解答时要先充分理解的含义，是中档题.
9. 已知某种垃圾的分解率为，与时间（月）满足函数关系式（其中，为非零常数），若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过（ ）（参考数据：）
A. 48个月B. 52个月C. 64个月D. 120个月
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件，利用待定系数法求出函数关系式，然后再代入数值计算即可.
【详解】由题意可得，解得，
所以，
这种垃圾完全分解，即当时，有，即，
解得.
故选：B
10. 已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示，点在曲线上，给定点，则下列说法中不正确的是（ ）
A. 任意，都存在点，使得
B. 任意，都存在点，满足这对点关于点对称
C. 存在，当点运动时，使得
D. 任意，恰有三对不同的点，满足每对点关于点对称
【答案】D
【解析】
【分析】由曲线的对称性判断AB；取值计算判断CD.
【详解】抛物线和的对称轴都为，因此封闭曲线关于轴对称，
对于A，任意，在曲线上取关于轴对称的两点，而点在轴上，有，A正确；
对于B，对每个值，过点垂直于轴的直线与曲线的交点关于点对称，B正确；
对于C，联立与解得或，取，即，
抛物线，即的焦点为，准线方程为，
点在上运动时，，，
抛物线可由抛物线向上平移5个单位而得，
抛物线，即的焦点为，准线为，
则抛物线的焦点为，准线方程为，
点在上运动时，，，
因此当点运动时，，恒有，C正确；
对于D，取，即，直线与抛物线的两个交点关于点对称，
在此抛物线上关于点对称的两点就只有一对，在抛物线上不存在两点关于点对称，
另外关于点对称的两点则分别在和上，不妨令，
此点关于点对称的点必在上，而方程，
即无解，则此时不存在关于点对称的两点分别在两条抛物线上，D错误.
故选：D
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分
11. 若直线是双曲线的一条渐近线，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】先根据双曲线方程判断焦点位置，写出其渐近线方程，比较即得.
【详解】因双曲线的焦点在轴上，且，
故其渐近线方程为，依题意，易得.
故答案为：2.
12. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，角终边经过点，角是由角终边绕原点O逆时针旋转得到的，则等于______.
【答案】
【解析】
分析】根据给定条件，利用三角函数定义，结合诱导公式计算即得.
【详解】由角终边经过点，得，，
而，所以.
故答案为：
13. 已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，使得抛物线开口向右，并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点；②经过点.你所选的条件是_______，得到的一个抛物线标准方程是_______.
【答案】 ①. ② ②.
【解析】
【分析】根据给定条件，判断选择的条件，再设出标准方程，利用待定系数法求出方程即可.
【详解】顶点在原点，坐标轴为对称轴，开口向右的抛物线焦点在轴的正半轴上，因此条件①不可选，
选择条件②，
设抛物线方程为，由抛物线经过点，得，解得，
所以所求抛物线标准方程是.
故答案为：②；
14. 已知等比数列满足：，，，则公比______，的最小值为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由，可得，再代入，即可得第一空答案；求得，从而得，求出以的最小值，即可得第二空答案.
【详解】由，可得，
又因为，所以，
又因为，
即，解得；
因为，，
所以，
所以，
因为当或时，取小值，
所以取最小值，
即的最小值为.
故答案为：2；
15. 在平面直角坐标系中，若，，定义两点之间的曼哈顿距离.
（1）记为点B与直线上一点的曼哈顿距离的最小值.如果点，直线：，则_________.
（2）在空间直角坐标系内，也有类似的结论，若，可定义两点之间的曼哈顿距离.已知点，动点P满足，则动点P围成的几何体的表面积是_______.
【答案】 ①. ##； ②. .
【解析】
【分析】（1）设直线上任意一点坐标为，然后表示出，分类讨论求的最小值即得；
（2）不妨将平移到处，利用曼哈顿距离定义求得P围成的图形为八面体，即可求其表面积.
【详解】（1）设直线上一点为，则，则，
① 当时，，此时；
②当时，；
③ 当时，.
综上，.
（2）动点P围成的几何体为八面体，每个面均为边长为的正三角形，其表面积为.
理由如下：
不妨将点平移到处，设,由，可得，
当时，即，则，
设,则，
由可得四点共面，
因,故当时，点在边长为的正三角形的内部（含边界）.
易知正三角形内部任一点均满足.
故满足方程，的点构成的图形是边长为的正三角形的内部（含边界）.
由对称性可知，点围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形.
故该几何体表面积为.
故答案为：
【点睛】思路点睛：本题考查了新概念问题，解决新概念问题首先要读懂新概念的定义或公式，将其当做一种规则和要求按照新概念的定义要求探究，再结合所学知识处理即可.
三、解答题：共6小题，共85分.
16. 在中，，.
（1）求A的大小；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：AC边上的高；条件②：；条件③：.
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求解.
（2）选①，由直角三角形边角关系求出，再由余弦定理求出并求出三角形面积；选②，利用正弦定理求出，再利用大角大边确定三角形无解；选③，由余弦定理建立方程无解.
【小问1详解】
在中，由及正弦定理，得，
而，则，
又，所以.
【小问2详解】
若选①，边上的高，在中，，
即，
在中，由余弦定理，得，
整理得，而，解得，
的三边已知，由三角形全等的判定知，存在且唯一，
所以的面积为；
若选②，，则，
中，，
由正弦定理，得，
根据三角形中大角对大边可知，不存在；
若选③，，由余弦定理，得，
则，显然，即方程无解，
因此不存在，③不可选.
17. 如图，在四棱锥中，直线平面.，，，，，平面平面，F为线段的中点，E为线段上一点.

（1）证明：；
（2）证明：；
（3）是否存在点E，使得点E到平面的距离是，若存在求出的值，若不存在请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）存在，.
【解析】
【分析】（1）由直线平面，结合线面平行的性质可证得结论；
（2）由题意可得，再由平面平面，结合面面垂直的性质定理可证得平面，再利用线面垂直的性质可证得结论；
（3）由题意可证得两两垂直，则以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【小问1详解】
证明：因为平面，平面，平面平面，
所以；
【小问2详解】
因为，F为线段的中点，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以；
【小问3详解】
取的中点，连接，过作‖，交于，
因为F为线段的中点，，所以‖，
因为，所以，所以，
由（2）可知平面，平面，
所以，
所以两两垂直，所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为‖，，，
所以四边形为矩形，
所以，
因为，所以,
因为，所以，
所以，
因，，所以为等边三角形，
所以，，
设，则，
因为，
所以，，
设平面的法向量为，则
，令，则，
若点E到平面的距离是，则，
所以，解得，
所以，
所以.

18. 某企业为了解职工款APP和款APP的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表：
假设所有职工对两款APP是否使用相互独立.
（1）分别估计该企业男职工使用款APP的概率､该企业女职工使用款APP的概率；
（2）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用款APP的人数为，求的分布列及数学期望；
（3）据电商行业发布的市场分析报告显示，款APP的用户中男性占%､女性占%；款APP的用户中男性占%､女性占%.试分析该企业职工使用款APP的男､女用户占比情况和使用款APP的男､女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男､女用户占比情况更相符.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）该企业职工使用APP的情况与官方发布的男､女用户情况更相符
【解析】
【分析】
（1）根据题中数据，用频率估计概率，即可求出；
（2）先确定的取值，再计算出对应的概率，即求出的分布列及数学期望；
（3）分别计算出款，款APP的男､女用户总人数，再计算对应的男用户，女用户的概率，再根据题意判断即可.
【详解】解：（1）由所给数据可知，男职工使用A款APP的人数为72，
用频率估计概率，可得男职工使用京东APP的概率约为，
同理，女职工使用A款APP的概率约为；
（2）的可能取值为0，1，2，
；
；
.
的分布列为：
的数学期望；
（3）样本中，款APP的男､女用户为(人)，
其中男用户占%；女用户占%，
样本中，款APP的男､女用户为(人)，
其中男用户占%；女用户占%，
该企业职工使用APP的情况与官方发布的男､女用户情况更相符.
【点睛】思路点睛：
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.
19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，椭圆E的离心率为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过作直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，其中l与x轴不重合，直线与直线交于点P，判断直线与DP的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）椭圆E的标准方程为；
（2）平行，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程求。可得椭圆方程；
（2）根据题意设直线MN及M、N点坐标，结合题意求点P的坐标，结合韦达定理证明即可.
【小问1详解】
设椭圆的半焦距为，
由已知点的坐标分别为，
因为，所以，所以，
又椭圆E的离心率为，所以，
所以，
所以，
所以椭圆E的标准方程为；
【小问2详解】
因为直线与x轴不重合，且过点，
所以可设直线的方程为，
联立方程，消去x可得，
方程的判别式，
设
∴，
∵，则
则直线的方程为，
代入可得，即
∴，
则
∵，即
∴，
所以直线与DP平行.
【点睛】关键点点睛：
(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
20. 已知函数，直线为曲线在点处的切线.
（1）当时，求出直线的方程；
（2）若，讨论的单调性，并求出的最值；
（3）若直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）的最小值为，无最大值；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义确定切线斜率，再求出切点坐标，从而可求出切线方程；
（2）对求导，然后根据其正负求出函数的单调区间，则可求出函数的最小值点，从而可求出函数的最小值；
（3）求出直线，将“直线与曲线y=fx相交”转化为关于的方程在有解，然后通过构造函数，对进行分类讨论，结合导数可求得结果.
【小问1详解】
由，得，
则，
因为，
所以曲线y=fx在点处的切线的方程为，
即；
【小问2详解】
，则，
由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，无最大值；
【小问3详解】
由，得，则，
所以曲线y=fx在点处的切线的方程为
，即，
因为直线与曲线y=fx相交于点，且，
所以关于的方程在有解，
令，则，
令，则，
①当时，由，得，由，得，
所以在上递减，在上单调递增，
所以，
因，所以存在唯一实数，使，
当时，，则，
所以在上单调递增，
当时，，则，
所以在上单调递减，
所以，
因为，所以存在唯一实数，使，
所以符合题意，
②当时，由，得，则在上单调递减，
所以，
所以在上单调递增，所以，
所以在上无零点，所以不符合题意，
综上，即实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：当一阶导数无法求得函数的单调区间时，可考虑利用二阶导数进行求解，通过二阶导数的符号来确定一阶导数的单调性，符号，从而可确定原函数的单调性.
21. 给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中.
（1）当，时，写出所有满足的数对序列；
（2）当时，证明：；
（3）当为奇数时，记的最大值为，求.
【答案】（1）或
（2）证明详见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用列举法求得正确答案.
（2）利用组合数公式求得的一个大致范围，然后根据序列满足的性质证得.
（3）先证明，然后利用累加法求得.
【小问1详解】
依题意，当，时有：
或.
【小问2详解】
当时，
因为与不同时在数对序列中，
所以，所以每个数至多出现次，
又因为，
所以只有对应的数可以出现次，
所以.
【小问3详解】
当为奇数时，先证明.
因为与不同时在数对序列中，
所以，
当时，构造恰有项，且首项的第个分量与末项的第个分量都为.
对奇数，如果和可以构造一个恰有项的序列，且首项的第个分量与末项的第个分量都为，
那么多奇数而言，可按如下方式构造满足条件的序列：
首先，对于如下个数对集合：
，
，
……
，
，
每个集合中都至多有一个数对出现在序列中，
所以，
其次，对每个不大于的偶数，
将如下个数对并为一组：
，
共得到组，将这组对数以及，
按如下方式补充到的后面，
即
.
此时恰有项，所以.
综上，当为奇数时，
.
【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：
(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.
(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
男职工
女职工
使用
不使用
使用
不使用
款APP
72人
48人
40人
80人
款APP
60人
60人
84人
36人
0
1
2