江西省九江市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题(含解析)

这是一份江西省九江市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题(含解析)，共26页。试卷主要包含了因式分解，拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓等内容，欢迎下载使用。
数学
说明：
1．本卷共有六个大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟．
2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分．
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．下列有理数中最小的是（ ）
A．2B．1C．D．
2．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图是由一块蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的实物图，则它的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
4．数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学邻域，比如在学习化学的醇类化学式中，甲醇化学式为，乙醇化学式为，丙醇化学式为……，设碳原子的数目为（为正整数），则醇类的化学式可以用下列哪个式子来表示（ ）
A．B．C．D．
5．如图，利用6个相同的含角的直角三角板可拼接出正六边形，若按图所示的方法拼接出正多边，则需要这样的三角板的个数是（ ）
A．10个B．11个C．12个D．13个
6．二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如下表：
则下列结论错误的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴为直线
B．二次函数的图象与x轴有两个交点
C．二次函数的最小值为
D．点，在该函数图象上，若，则一定小于
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．因式分解：
8．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年．将数据32400000用科学记数法表示为 ．
9．如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是 ．
10．已知，是一元二次方程的两根，则 ．
11．斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中，这是用无理数表示有理数的一个范例，生活中很多花（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的花瓣数恰好是斐波那契数列中的某个数，则斐波那契数列中的第1个数与第2个数的和为 ．
12．在边长为8的正方形中，对角线交于点，点是正方形边上或对角线上的一点，若，则的长为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）解不等式：，并将解集在数轴上表示出来．
（2）如图，在中，，为延长线上一点，过点作分别交于点，求证：是等腰三角形．
14．先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图①中，画出的三边中线交点O；
(2)在图②中，在的边AC上画点P，使面积为面积的2倍．
16．一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________．
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
17．如图①，是一种轻便的休闲座椅（已固定，不可调节），图②其简化的数学示意图，已知厘米，厘米，厘米，，，且与之间的距离为22厘米．
(1)求的度数．
(2)求点A到水平地面的距离．（最终结果精确到1厘米，参考数据：，）
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，四边形是圆的内接四边形，其两组对边的延长线分别交于，圆直径长为4．
(1)求证：；
(2)若，求的弧长．
19．如图，菱形对角线相交于点，点在边上，点在对角线上，连接交于点．

(1)如图1，连接，若，求证：点在的垂直平分线上；
(2)如图2，若，，，请通过计算探究与的数量关系．
20．如图，为等边三角形，点B的坐标为，C为中点．反比例函数图像过点C．
(1)若将能向左平移，使得点A落在反比例函数的图像上，求平移的距离．
(2)若反比例函数图像与交于点D；求点D的坐标．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．某体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分），已知两队人数相等，平均分也相同，依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表：
甲队成绩统计表
请根据图表信息解答下列问题：
(1)填空：__________°；并补齐乙队成绩条形统计图；
(2)通过计算求出m，n的值；
(3)直接写出甲、乙两队成绩的中位数分别是多少；
(4)若成绩不低于9分为优秀，不低于8分为合格，试比较甲、乙两队的优秀率与合格率．
22．足球作为世界第一运动的地位，是其他运动项目都无法撼动的，在一次训练中，小鹏同学在距离球门12米的点O处起脚射门，即米，已知足球的运动路线是抛物线，当足球飞行过程中，距起脚点O的水平距离为8米时，可达到最高点，最高点距离地面4米，已知球门MN为标准高度2.44米，建立直角坐标系如图所示，点O为坐标原点．

(1)求足球运动路线的函数解析式．
(2)计算并判断足球能否射门成功（不考虑其他因素）．
(3)若射门路线的形状及其最大高度均保持不变，小鹏同学带球向自己的正后方移动一定的距离后再朝球门方向起脚射门，刚好使得足球经过点N正下方的40厘米处破门而入，求移动的距离．
六、解答题（本大题共1小题，共12分）
23．【课本再现】下面是北师版教材九年级上册第28页的一道习题：
如图，两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，求，的度数．
【问题解决】
（1）如图1，请直接写出，的度数．
【变式感知】
（2）如图2，边长为6的等边中，点与点分别在与边上，以为折痕将进行折叠使得点的对应点在上，．
的周长是__________； __________；
若将与的面积分别记作与，求．
【类比迁移】
（3）如图3，点为正方形的中心，四边形为正方形，为边上的点，且，，正方形与正方形的面积分别记为与，猜想与的数量关系，并说明理由．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查有理数的大小比较，利用正数，负数和0的大小关系进行比较即可．
【详解】解：∵，
∴最小的有理数是，
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的性质，是解答本题的关键．
根据中心对称图形的性质，找到对称中心，绕中心旋转后与自身重合，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项是中心对称图形，故本选项符合题意；
选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
3．A
【分析】本题考查了几何体的三种视图，利用俯视图是从物体上面看，所得到的图形，进而分析得出即可．
【详解】解：从几何体的上面看得到的图形如下：

故选：A．
4．C
【分析】设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为，列出部分的值，根据数值的变化找出变化规律“”，依次规律即可解决问题．
【详解】解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为，
观察，发现规律： …，
∴．
∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，醇类的化学式为．
故选：．
【点睛】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据碳原子的变化找出氢原子的变化规律是关键．
5．C
【分析】本题考查了多边形外角与外角和问题， 可得拼成的正多边形的每一个外角的度数为，结合正多边形的外角和为，列式计算即可得出答案．
【详解】解：由图可得：拼成的正多边形的每一个外角的度数为，
正多边形的外角和为，
需要这样的三角板的个数是个，
故选：C．
6．C
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，首先运用待定系数法求出二次函数的解析式，然后根据二次函数图象与性质逐项分析得出结论即可
【详解】解：把代入，得：
，
解得，，
∴二次函数解析式为；
∴
∴二次函数图象的对称轴为直线，故选项A正确，不符合题意；
令则
∴
∴有两个不相等的实数根，
所以，二次函数的图象与x轴有两个交点，故B正确，不符合题意；
∵，
∴抛物线开口方向向上，有最小值为，故选项C错误，符合题意；
∵抛物线开口方向向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，则一定小于，故选项D正确，不符合题意，
故选：C
7．
【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3），
故答案为：（a+3）（a-3）．
点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
8．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：32400000用科学记数法表示应记为，
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．##64度
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，延长分别交于点H，Q，根据三角形外角的性质求出过点G作，则，得，从而可求出．
【详解】解：延长分别交于点H，Q，如图，
∵，，
∴
过点G作，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的根，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，代入计算即可得解．
【详解】解：，是一元二次方程的两根，
，，
，
，
故答案为：．
11．2
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，当时计算出第1个数和第2个数，相加即可得到答案．
【详解】解：当时，；
当时，；
所以，斐波那契数列中的第1个数与第2个数的和为，
故答案为：2．
12．或或
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，由正方形的性质可得，，，，，求出，设，则，分三种情况：当点在上时；当点在上时；当点在上时；分别利用勾股定理计算即可得出答案，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：四边形是边长为的正方形，对角线交于点，
，，，，，
，
，
点是正方形边上或对角线上的一点，且，
设，则，
如图，当点在上时，
，，
，此时；
如图，当点在上时，
，
由勾股定理得：，
，
解得：（负值舍去），此时；
如图，当点在上时，
，
则，
由勾股定理可得：，
，
解得：（负值舍去），此时；
综上所述，或或，
故答案为：或或．
13．（1），数轴见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、对顶角相等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据解一元一次不等式得步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项即可得出答案，再将解集表示在数轴上即可；
（2）由等边对等角得出，由垂线的定义结合三角形内角和定理得出，结合对顶角相等得出，即可得证．
【详解】（1）解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
将解集表示在数轴上如图所示：
（2）证明：在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
14．，
【分析】根据分式的运算法则先化简，然后再由分式有意义的条件代入求值即可．
【详解】解：原式
，
∵，
当时
原式．
【点睛】题目主要考查分式的化简求值及其有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查三角形的中线：
（1）运用矩形对角线的交点可确定三角形边的中点即可找出三角形这条边上的中线；
（2）如图，分别作出两个矩形的对角线即可确定点P的位置
【详解】（1）解：如图，点O即为所作；
（2）解：如图，点P即为所作；
16．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的结果数，进而求出概率．
【详解】（1）解：搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为；
（2）如图，画树状图如下：

所有可能的结果数为16个，第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果数为3个，
∴第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率为：．
【点睛】本题考查简单随机事件的概率计算，利用列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
17．(1)
(2)厘米
【分析】题目主要考查解三角形的应用，作出相应辅助线，熟练掌握解三角形的方法是解题关键．
（1）过点D作，根据等腰三角形的性质得出，再由正弦函数确定，即可得出结果；
（2）过点A作于点M，根据题意得出，再由正弦函数得出，即可得出结果．
【详解】（1）解：过点D作，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）过点A作于点M，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵与之间的距离为22厘米，
∴点A到水平地面的距离为：厘米．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理、弧长公式、圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由圆内接四边形的性质得出结合得出，证明得出，即可得证；
（2）由三角形内角和定理结合圆内接四边形的性质得出，求出，连接、，由圆周角定理得出，再由弧长公式计算即可得解．
【详解】（1）证明：四边形是圆的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，，
，
，
，
如图，连接、，
，，
圆直径长为4，
，
的弧长．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接，由菱形的性质得出垂直平分，推出，结合题意得出，即可得证；
（2）连接，作于，由菱形的性质得出，，结合得出，由计算出，推出，，设，则，证明是等边三角形，得出，求出，，再由勾股定理得出，即可得解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
四边形是菱形，
垂直平分，
，
，
，
点在的垂直平分线上；
（2）解：如图，连接，作于，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，，
设，则，
，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，中点坐标公式以及反比例函数与一次函数的综合运用：
（1）过点作轴于点，求出点的坐标，点的坐标以及反比便函数解析式，设点平移的距离为，则平移后的点的坐标为代入反比例函数解析式，求出的值即可；
（2）求出的解析式，联立方程，求出的值即可解决问题
【详解】（1）解：过点作轴于点，如图，
∵点B的坐标为，
∴
∵是等边三角形，
∴
∴
∴
∴，
∵为的中点，
∴，即
∵反比例函数图像过点C
∴，
∴反比例函数的解析式为；
设点平移的距离为，则平移后的点的坐标为，代入得：
，
解得，，
即点平移的距离为；
（2）解：设直线的解析式为，
把代入得，
，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立方程得：，
解得，（不符合题意，舍去）
当时，，
∴点坐标为
21．(1)，图见解析
(2)
(3)8分，8分
(4)甲队的优秀率为，乙队的优秀率为；甲队的合格率为，乙队的合格率为；
【分析】本题考查了中位数，条形统计图，扇形统计图，熟练掌握中位数，平均数，扇形统计图，条形统计图的基本计算是解题的关键．
（1）根据题意，利用9分的人数除以其所占的比例即可得出结果，然后求出7分的人数作图即可；
（2）根据题意列出方程组求解即可；
（3）根据有序数据的中间数据或中间两个数据的平均数为中位数计算即可；
（4）根据题意分别计算甲、乙的优秀率和合格律即可．
【详解】（1）解：乙队的人数是（人），
∴乙队7分的人数为：20-4-5-4=7人，
∴，
故答案为：；
补全图形如图所示：
（2）根据题意得：，
∵平均分相同，
∴即，
解方程组得：；
（3）①∵甲队的第10个，11个数据都是8分，
∴中位数是（分）；
∵乙队的第10个，11个数据都是8分，
∴中位数是（分）；
（4）甲队的优秀率为：，乙队的优秀率为：；
甲队的合格率为：，乙队的合格率为：．
22．(1)
(2)足球不能射门成功
(3)移动的距离为米
【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解此题的关键．
（1）由题意可得抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，将代入抛物线求出的值即可；
（2）求出当时，，即可得出答案；
（3）设小鹏同学带球向自己的正后方移动米，则移动后足球运动路线的解析式为，由题意得出平移后的抛物线经过点，代入计算即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得：抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将代入抛物线得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：米，
当时，，
足球不能射门成功；
（3）解：小鹏同学带球向自己的正后方移动一定的距离后再朝球门方向起脚射门，刚好使得足球经过点N正下方的40厘米处破门而入，
设小鹏同学带球向自己的正后方移动米，则移动后足球运动路线的解析式为，
，
平移后的抛物线经过点，
，
解得：或（不符合题意，舍去），
移动的距离为米．
23．（1），；（2）①，；②；（3），理由见解析
【分析】（1）证明，得出，，求出，得出是等腰直角三角形，即可得解；
（2）①由折叠的性质可得，，再由的周长计算即可得出周长，作于，于，设，，则，，由勾股定理得出的值，即可得解；
②由①可得：，，，，求出，，再根据三角形面积公式求出与，即可得解；
（3）连接、，作于，设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，，证明，得出，求出，再由直角三角形的性质得出，求出，由勾股定理得出，最后由正方形面积公式分别表示出、，即可得解．
【详解】（1）矩形和矩形全等，
，，，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（2）①是边长为的等边三角形，
，，
，
，
由折叠的性质可得：，，
的周长，
如图，作于，于，
，，，
，，
设，，则，，
由勾股定理得出：，，
，，
解得：，，
，，
，
故答案为：，；
②由①可得：，，，，
，，
，，
；
（3）如图，连接、，作于，
设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，，
点为正方形的中心，
经过点，，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理、折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
x
…
0
1
2
…
y
…
0
M
n
…
成绩
7分
8分
9分
10分
人数
n
10
m
2