精品解析：北京市第四中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

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1．本试卷共8页，共27道小题，满分100分；附加题共2道，满分10分．考试时间100分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号．
3．答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
一、选择题（每小题3分，共30分，在每道题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1. 在平面直角坐标系中，点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 如图，手盖住的是两个图形中的一个，若这两个图形其中一个是由另一个平移得到的，则手盖住的图形是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，，于，，则（ ）．
A. B. C. D.
4. 已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么a的值为（ ）
A. B. 1C. D.
5. 下列等式正确是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 ，则下列不等式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 下列四个命题，
①对顶角相等；
②有一条公共边，且互补的两个角互为邻补角；
③平行于同一条直线的两条直线平行；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；
其中真命题的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8. 不等式组的解集为，则a满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图是北京地铁部分线路图．在图中，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，当表示崇文门站的点的坐标为，表示北海北站的点的坐标为时，表示复兴门站的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，直线，、分别在直线，上，为平面内一点，连接，，延长至点，和的角平分线相交于点．若，则可以用含的式子可以表示为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题2分，共16分）
11. 用不等式表示“m的3倍与n的差不大于6”：________．
12. 写出一个大小在和之间的整数是_________．
13. 如图，直线l表示一段河道，点P表示村庄，现要从河l向村庄P引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是______．
14. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第七卷《盈不足》记载了一道有趣的数学问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？” 译文：“今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？”（注：斛，音hú，古量器名，亦是容量单位） 设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，根据题意，可列方程组为_______．

15. 在平面直角坐标系中，轴，，若点，则点的坐标是__________．
16. 如图，直线，相交于点，平分，，垂足为．若，则的度数是____．

17. 如图，将边长为1的正方形沿轴正方向连续翻转2024次，点依次落在点，，，，的位置，则的坐标为_____，的坐标为____．
18. 给定实数，，记为，两数的最大者，为，两数的最小者，如，．特别地，．若，则的取值范围是_____．
三、解答题（共54分）
19. 计算：
20. 解方程组：．
21 解下列不等式（组）：
（1）
（2）
22. 完成下面的证明：
如图，已知：，，垂足分别为，，且，求证：．

证明：，（已知），
（__________），
（__________）．
__________（__________）．
又（已知），
__________．
（__________）．
．
23. 已知在平面直角坐标系中，点，点，点．
（1）写出的面积．
（2）将平移，使得点与点重合，得到，点，的对应点分别是点，．
①画出平移后的，并写出点和点的坐标；
②若中任意一点经同样的平移得到对应点为，则_____．
24. 如图，已知，．
（1）判断与的位置关系，并证明；
（2）若平分，于点，，求的度数．
25. 学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需130元；购买5个A奖品和4个B奖品共需230元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共40个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．购买预算金不超过920元，请问学校有几种购买方案．
26. 对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，；还可以对连续求根整数，直到结果为1为止，例如：10连续求根整数2次：，，得到结果为1．
（1）仿照以上方法计算：_____；
（2）对123连续求根整数，_______次之后结果为1；
（3）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的正整数是多少？请通过计算说明．
27. 如图，，点，在直线上，点在直线上，且；作射线平分，交直线于点；在内部作射线交直线于点，使；射线与射线交于点．
（1）在图中补全图形；
（2）若，求的度数；
（3）在（2）的条件下，将绕着点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，直接写出为何值时，的边与的某一边平行．
附加题（共10分）
28. 对于给定自然数，用1和作为元素填满行列的数表，数表中第行第列的元素记作，记为数表的第行的各数之和，为数表的第列的各数之和，其中．
记为数表的“代表数”．若数满足且，则称元素是“好的”，记是数表中“好的”元素的个数．
（1）对以下数表，，则_______；
（2）当自然数是偶数时，数表“代表数”的最大值是______．（用含的代数式表示）
（3）在数表中，若中恰有个正数，中恰有个正数，其中，，，则的最大值是_____．（用含，和的代数式表示）
29. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点是点的倍等距点．已知，点．
（1）在，，中，点2倍等距点是_______；
（2）已知点，，若在线段上存在点是点的2倍等距点，求的取值范围；
（3）如图，已知点，，，以为边在直线的上方作正方形，以为边在直线的上方作正方形，对于正方形边上任意一点，若正方形的边上都存在点的倍等距点，直接写出的取值范围．