湖南省张家界市永定区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版解析版）

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考生注意：本卷共三道题，满分120分，时量120分钟．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中．）
1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. 中国探火CMEPB. 中国探月CLEP
C. 中国行星探测MARSD. 中国火箭CHINAROCKET
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
根据中心对称图形的概念逐一判断即可得出答案．
【详解】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
2. 若直角三角形一个锐角等于，则它的另一个锐角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查直角三角形的特征，直角三角形的两个锐角互余，由此可解．
【详解】解：若直角三角形的一个锐角等于，则它的另一个锐角等于：，
故选A．
3. 如图，于点B，于D，若，且，，则长为（ ）
A. 1B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．证明，推出，再利用含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
4. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 相等的角是对顶角B. 若，则
C. 两边分别相等的两个直角三角形全等D. 同旁内角互补，两直线平行
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查命题，涉及命题的概念、真假命题等知识，熟记命题的定义，逐项判断即可得到答案，熟记命题概念，结合数学知识准确判断命题真假是解决问题的关键．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题错误，不是真命题，不符合题意；
B、若，则或，原命题错误，不是真命题，不符合题意；
C、两边分别对应相等的两个直角三角形全等，如果一个三角形的斜边与另一个三角形的直角边相等，两个直角三角形不可能全等，原命题错误，不是真命题，不符合题意；
D、根据平行线的判定，同旁内角互补，两直线平行，是真命题，符合题意；
故选：D．
5. 下列各组数中，是勾股数的一组（ ）
A. 0.3，0.4，0.5B. 1，，2C. 6，8，10D. 2，2，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股数，凡是可构成一个直角三角形三边的一组正整数称之为勾股数，根据定义即可求解．
【详解】解：A，0.3，0.4，0.5不是正整数，因此0.3，0.4，0.5不是勾股数；
B， 不是正整数，因此1，，2不是勾股数；
C，，因此6，8，10是勾股数；
D，不正整数，因此2，2，不是勾股数；
故选C．
6. 如图，将平行四边形的一边延长至点E，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得出，然后根据邻补角求出结果即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
故选：C．
7. 如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（ ）．

A. 8B. 6C. 6.5D. 7.5
【答案】B
【解析】
【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答．
【详解】解：连接和，则
．

故选：B．
【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键．
8. 如图，数轴上点A表示的数是，，，以点O为圆心，为半径画弧，与数轴的负半轴相交，则交点P所表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与无理数，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．根据勾股定理，先求出，则，即可解答．
【详解】解：∵点A表示的数是，
∴，
∵，，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
∴点P所表示的数是，
故选：C．
9. 如图，在中，点D是的中点，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质，根据直角三角形斜边上中线定理得出，求出，根据三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：由题意得：，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
10. 如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识．由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【详解】解：∵，且，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
如图，连接AD，则，
∴当时，的值最小，此时，的面积，
∴，
∴的最小值为；
∴最小值为；
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11. 如图，在一个高3米，长4米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是______米．

【答案】7
【解析】
【分析】本题主要考查了平移．根据平移的性质，即可求解．
【详解】解：根据题意得：该地毯的长度至少是米．
故答案为：7
12. 一个多边形的每一个内角为，则这个多边形的内角和为______．
【答案】##1260度
【解析】
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，是重要考点，难度较易，掌握多边形的内角和公式和外角和是解题关键．根据题意，先解得多边形的每个外角，再根据外角和公式解得边数，最后由内角和公式解题．
【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于，
∴多边形的每一个外角都等于，
∴边数，
∴内角和为，
故答案为：．
13. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由图可得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可．
【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=
故答案为：
【点睛】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割．
14. 等腰三角形腰长为10，腰上的高为8，则这个等腰三角形底边长为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质及勾股定理．根据题意分两种情况：一是等腰三角形的顶角为锐角，这时腰上的高在三角形内部，二是等腰三角形的顶角为钝角，这时腰上的高在腰的延长线上，利用勾股定理解答即可．
【详解】解：如图，等腰三角形的顶角为锐角时
，，
，
，
；
如图，等腰三角形的顶角为钝角时，
，，
，
，
．
综上，这个等腰三角形底边长为或．
故答案为：或．
15. 如图，在中，的平分线交BC于点E，若，，则的周长为________．
【答案】52
【解析】
【分析】先证明，进而根据平行四边形的性质可求出的周长．
【详解】解：∵四边形是平形四边形，
∴，，，
∴．
∵的平分线交BC于点E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
故答案为：52．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
16. 在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，则点D到的距离是 _____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质．
作于点M，由作图知平分且，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出．
【详解】解：如图所示，过点D作于点M，
由作图知平分，且，
∴，
故答案为：3．
17. 如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的长度是________．

【答案】
【解析】
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答，注意此题展开图后蚂蚁的爬行路线有两种，分别求出，选取最短的路程．
【详解】如图①：AM=

如图②：AM=；
如图③：AM==．

∴蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程是：．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了平面展开图，求最短路径，解决此类题目的关键是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．
18. 图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的，那么的长为____________．

【答案】3
【解析】
【分析】本题考查勾股定理、数字类规律探索．根据勾股定理可以求得的值，即可发现数值的变化特点，从而可以求得的长．
【详解】解：由图可得，
，
，
…，
，
故答案为：3．
三、解答题（共66分）
19. 如图，点是平行四边形对角线上的两点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若．求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，
（1）如图所示，连接交于O，根据平行四边形的性质得到，再证明，即可证明四边形是平行四边形；
（2）利用勾股定理求出，进而求出，则．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20. 如图，在中，，是的平分线，于，在上，且．
（1）求证：；
（2）试判断与之间存在的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明；
（2）证明，根据全等三角形的性质证明．
【小问1详解】
证明：是的平分线，，，
，
在和中，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
理由如下：在和中，
，
，
，
．
21. 如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路，的距离相等，且到入口、的距离相等请确定喷泉的位置．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法；利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出P点即可．
【详解】如图所示：点即为所求．
22. 如图，在中，E，F分别是边上的点，且，连接相交于点G，连接相交于点H，连接．求证：
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识点，连接，证四边形和四边形是平行四边形，即可求解.
【详解】证明：如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∵
∴四边形和四边形都是平行四边形，
∴，
∴是的中位线，
∴
23. 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．
（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，则： ， ；（此两空均用含，，的代数式表示，不用化简）根据面积相等，可知 （化简），故验证了勾股定理．
（2）如图2，在中，，是边上的高，，，求的长；
（3）如图1，，，直接写出的值．
【答案】（1）；；
（2）
（3）289
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、以弦图为背景的计算题，完全平方公式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据正方形的面积等于边长的平方以及直角三角形的面积等于底乘高除以2，进行列式，然后再化简即可验证；
（2）先运用勾股定理求出斜边长度10，再根据等面积法进行列式，代入数值进行化简计算，即可作答．
（3）根据（1）的结论，代入数值进行计算，即可作答．
【小问1详解】
解：∵如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，
∴，
∴；
则
∵，
∴；
【小问2详解】
解：在中，，
∴
∵是边上的高，
∴
即
【小问3详解】
解：∵
∴
∵
∴
结合（1）结论
∴
24. 如图，一架云梯斜靠在一面墙上，且云梯长，云梯底端到墙的距离为．
（1）这架云梯的顶端到地面的距离有多高？
（2）如果云梯的顶端到下滑到’处，那么它的底部在水平方向也滑动了吗？
【答案】（1）这架云梯的顶端到地面的距离有高；
（2）梯子的底部在水平方向不是滑动了，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长；
（2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值．
【小问1详解】
解∶在中，由勾股定理得，
即，
所以，
即这架云梯的顶端到地面的距离有高；
【小问2详解】
解：梯子的底部在水平方向不是滑动了．理由：
令云梯的顶端下滑了至点，则
，
在中，由勾股定理得，
即
所以
，
即梯子的底端在水平方向也滑动了．
∴梯子的底部在水平方向不是滑动了．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键．
25. 如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动；点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s）．

（1）四边形能否为矩形？请说明理由；
（2）四边形能否为平行四边形？请说明理由．
【答案】（1）四边形能为矩形，理由见解析
（2）四边形能为平行四边形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得出，即可求出，求出t的值即可；
（2）根据平行四边形性质得出，即可求出，求出t的值即可．
【小问1详解】
解：四边形能为矩形，理由如下：
当时，，
解得：，
∵，，
∴四边形能为平行四边形
又∵，
∴四边形能为矩形．
【小问2详解】
解：四边形能为平行四边形，理由如下：
当时，，
解得：，
∵，，
∴四边形能为平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，解题关键是熟练掌握平行四边形和矩形的性质．
26. 如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB，AC于E，F．
（1）如图①，当AB=AC时图中有 个等腰三角形．
（2）如图②，写出EF与BE、CF之间关系式，并说明理由．
（3）如图③，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由．
【答案】（1）5；（2）EF=BE+CF，理由见解析；（3）EF=BE-CF，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根据EF∥BC，可得∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出△ABC，△OBC，△EBO，△CFO，△AEF都是等腰三角形；
（2）由EF∥BC，可得∠2=∠3，又∠1=∠2，根据等量代换得到∠1=∠3，所以OE=BE，在△CFO中，同理可证OF=CF，继而可证得EF=BE+CF；
（3）由于OE∥BC，可得∠5=∠6，又∠4=∠5，根据等量代换得到∠4=∠6，所以OE=BE，在△CFO中，同理可证OF=CF，继而可证得EF=BE-CF．
【详解】解：（1）当AB=AC时，图中有5个等腰三角形．
如图1，由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，
又∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB，
根据EF∥BC，可得∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO，
由此可得出△ABC，△OBC，△EBO，△CFO，△AEF都是等腰三角形．
故答案为：5；
（2）关系式：EF=BE+CF
如图，∵EF∥BC，
∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴OE=BE，
在△CFO中，同理可证OF=CF，
∵EF=EO+FO，
∴EF=BE+CF；
（3）关系式：EF=BE-CF
如图，∵OE∥BC，
∴∠5=∠6，
又∠4=∠5，
∴∠4=∠6，
∴OE=BE，
在△CFO中，同理可证OF=CF，
∵EF=EO-FO，
∴EF=BE-CF．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键灵活运用等腰三角形的性质．解题时注意：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．