北师大版数学八下同步讲练第一章第08讲 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形(3类热点题型讲练)（解析版）

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第08讲 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形(3类热点题型讲练) 目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc29633" 【类型一 共顶点的等边三角形】  PAGEREF _Toc29633 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc23983" 【类型二 共顶点的等腰直角三角形】  PAGEREF _Toc23983 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc16233" 【类型三 共顶点的一般等腰三角形】  PAGEREF _Toc16233 \h 18【类型一 共顶点的等边三角形】例题：（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，已知点是上一点，、都是等边三角形，连接交于点，连接交于点．(1)求证：(2)连接，判断的形状，并说明理由．【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，等边三角形和等边三角形，连接，，其中．(1)求证：；(2)如图2，当点在一条直线上时，交于点，交于点，求证：；(3)利用备用图补全图形，直线，交于点，连接，若，，直接写出的长．2．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）数学课上，张老师带领学生们对课本一道习题层层深入研究．教材再现：如图，，都是等边三角形．求证：．(1)请写出证明过程；继续研究：(2)如图，在图的基础上若与交于点，与交于点，与交于点，连接，求证：平分；(3)在（）的条件下再探索，，之间的数量关系，并证明．3．（2023上·山西·八年级校联考期中）已知是等边三角形，为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边三角形．(1)如图1，当点在边上时，连接，此时，，之间的数量关系为______，______；(2)如图2，当点在的延长线上时，连接，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论及证明过程；(3)如图3，当点在射线上运动时，取的中点，连接，当的值最小时，请直接写出的度数．【类型二 共顶点的等腰直角三角形】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）和△ADE都是等腰直角三角形，．(1)如图1，点D、E在，上，则，满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案不证明）(2)如图2，点D在内部，点E在外部，连接，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1，与均为等腰直角三角形，，则线段、的数量关系为_______，、所在直线的位置关系为________；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由．2．（2023秋·山东日照·八年级校考阶段练习）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B，C重合），连接CE．（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC=CE+CD；（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC=CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC，CE， CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC，CE， CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系．    3．（2023春·全国·七年级期中）如图，与为等腰直角三角形，，，，，连接、．(1)如图，若，，求的度数；(2)如图，若、、三点共线，与交于点，且，，求的面积；(3)如图，与的延长线交于点，若，延长与交于点，在上有一点且，连接，请猜想、、之间的数量关系并证明你的猜想．【类型三 共顶点的一般等腰三角形】例题：（2023秋·广东·八年级校联考期末）若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边BC上的高AH叫做的“余高”．(1)如图1，与互为“底余等腰三角形”，若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”：______（填“是”或“否”）；(2)如图1，与互为“底余等腰三角形”，当时，若的“余高”是．①请用直尺和圆规作出；（要求：不写作法，保留作图痕迹）②求证：．(3)如图2，当时，与互为“底余等腰三角形”，连接、，若，，请直接写出的长．【变式训练】1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知中，．分别以、为腰在左侧、右侧作等腰三角形．等腰三角形，连接、．  (1)如图1，当时，①、的形状是____________；②求证：．(2)若，①如图2，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”．(1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°．(3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形．3．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图①，在与中，，当、满足条件____时，与互为“兄弟三角形”；(2)如图②，在与互为“兄弟三角形”，， 相交于点M，连，求证：平分(3)如图③，在四边形中，，，，求的度数．