初中数学北师大版（2024）七年级上册4.5 多边形和圆的初步认识优秀课时练习

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1.掌握多边形和正多边形的定义；
2.掌握多边形的角平分线的规律；
3.掌握圆的相关计算问题.
知识点01 多边形
三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形.
【说明】（1）内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角.
（2）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
（3）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
（4）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，所以正多边形同时具有各边相等，各角相等的性质.
知识点02 多边形的对角线
知识点03 圆
（1）圆上任意两点 A，B 间的部分叫做圆弧，简称弧，记作 AB，读作“圆弧 AB ”或“弧 AB ”；
（2）圆的周长公式：；圆的面积公式：.
题型01 多边形的概念与分类
【典例1】（2023秋·全国·八年级专题练习）下列图形中，不是多边形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式2】（2023春·七年级单元测试）下列判断：（1）各边长相等的多边形是正多边形；（2）各角都相等的多边形是正多边形；（3）等边三角形是正多边形：（4）长方形是正多边形．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型02 多边形对角线的条数问题
【典例2】（2023秋·八年级课时练习）已知过多边形的某一个顶点可以作2023条对角线（不是一共有2023条对角线），则这个多边形的边数是（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
【变式1】（2023春·山东淄博·六年级统考期中）从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形，则的值为( )
A．9B．8C．6D．5
【变式2】（2022·广东深圳·坪山中学校考模拟预测）多边形的对角线共有20条，则下列方程可以求出多边形边数的是（ ）
A．B．C．D．
题型03 对角线分成三角形个数问题
【典例3】（2021秋·陕西渭南·八年级校考阶段练习）从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式1】（2023秋·八年级课时练习）要使得一个多边形具有稳定性，从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点转化得到2023个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．2021B．2025C．2024D．2026
【变式2】（2023秋·八年级课时练习）（1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形，四边形共有 条对角线；
（2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形，五边形共有 条对角线；
（3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形，六边形共有 条对角线；
（4）从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形，n边形共有 条对角线．
题型04 用七巧板拼图形
【典例4】（2023秋·湖南岳阳·七年级统考开学考试）用边长为的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是（ ）．

A．B．C．D．
【变式1】（2023春·山东青岛·七年级统考期末）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ．

【变式2】（2023春·江西鹰潭·九年级校考阶段练习）七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图所示的两幅图是由同一个七巧板拼成的．已知七巧板拼成的大正方形（如图）的边长为，若图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积记为．则 ．

题型05 平面镶嵌
【典例5】（2023春·广东佛山·八年级校考期末）在平面图形正三角形、正六边形、正四边形、正五边形中，能单独镶嵌平面的有（ ）种图形．
A．1B．2C．3D．4
【变式1】（2023秋·全国·八年级专题练习）小明家住黄山市，小明的爸爸刚在市区买了一套住房，带着小明去选地砖准备装修，看着满目美丽的正三角形，正方形、正六边形、正八边形地砖，不知道选哪种好，但是爸爸告诉小明：有一种地砖是不能单独铺满地面的，必须与另外一种形状的地砖混合使用，让小明指出这种地砖，小明略加思考便选出来了，小明选择的地砖的形状是（ ）
A．正三角形B．正方形C．正八边形D．正六边形
【变式2】（2020秋·广东惠州·八年级惠州市第八中学校联考阶段练习）如图，张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（ ）
A．B．C．D．
题型06 圆的周长和面积问题
【典例6】（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ）

A．B．C．D．不能确定
【变式1】（2023秋·四川绵阳·八年级校联考开学考试）滚铁环有助于提高人体的平衡性、肢体的协调性以及眼力，可以提高四肢活动能力．如图，直径为4分米的铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点，则 分米．

【变式2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明．
一、单选题
1．（2023秋·全国·八年级专题练习）五边形经过一个顶点可以引（ ）条对角线．
A．0B．1C．2D．3
2．（2023秋·河南周口·八年级校联考阶段练习）已知，一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的倍，则这个多边形的边数是( )
A．5B．9C．8D．6
3．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）有足够多的如下4种边长相等的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（ ）

A．①②④B．①②C．①④D．②③
4．（2023秋·河南南阳·七年级校联考期末）七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为（ ）

A．B．C．D．
5．（2023秋·重庆巫溪·八年级统考期末）我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（ ）

A．54B．44C．35D．27
二、填空题
6．（2023春·山东济南·六年级统考期末）若从边形的一个顶点出发，最多可以引5条对角线，则 ．
7．（2023秋·山西临汾·七年级山西省临汾市第三中学校校考期末）从十二边形的一个顶点出发，连结这个顶点与其余各顶点，可分割成 个三角形．
8．（2023春·七年级课时练习）用三个正多边形镶嵌，已知其中两个的边数均为5，则第三个正多边形的边数为 ．
9．（2023春·山东泰安·六年级统考期中）过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成2023个三角形，则这个多边形的边数为 ．
10．（2023秋·江苏南京·九年级校考开学考试）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么 先到达B地

三、解答题
11．（2023春·上海·八年级专题练习）从一个多边形一边上的一点（不是顶点）出发，分别连接这个点与各个顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，请你观察下图，并完成后面的填空.
当多边形的边数是4时，可以把多边形分割成_______个三角形；
当多边形的边数是5时，可以把多边形分割成_______个三角形；
当多边形的边数是6时，可以把多边形分割成_______个三角形；
……
你能看出多边形边数与分割成的三角形的个数之间有什么规律吗？
12．（2023秋·全国·八年级课堂例题）（1）如图①，O为四边形内一点，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？

（2）如图②，点O在五边形的边上（不与端点重合），连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
（3）如图③，过点A作六边形的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
（4）若是任意一个n（，且n为整数）边形，上述三种情况分别可以将n边形分割成多少个三角形？
13．（2023春·广西百色·八年级统考期末）观察探究及应用；
(1)观察下列图形并完成填空．
如图①一个四边形有2条对角线；
如图②一个五边形有5条对角线；
如图③一个六边形有______条对角线；
如图④一个七边形有______条对角线；

(2)分析探究：由凸n边形的一个顶点出发，可做______条对角线，一个凸n边形有______条对角线；
(3)应用：一个凸十二边形有______条对角线．
14．（2023秋·江西九江·七年级统考期末）探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以作1条对角线；同样，经过B点可以作1条对角线；经过C点可以作1条对角线；经过D点可以作1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有________条对角线；
（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有________条对角线；图3共有________条对角线；
（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有________条对角线；（用含n的式子表示）
（4）特例验证：十边形有________对角线．
名称
三角形
四边形
五边形
六边形
n边形
图示
顶点
3
4
5
6
n
从一个顶点出发的对角线的条数
0
1
2
3
n-3
对角线的总条数
0
2
5
9
分割成三角形的个数
0
2
3
4
n-3