北师大版数学七上同步讲练第4章第03讲 思想方法专题：线段与角计算中的思想方法(4类热点题型讲练)（解析版）

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第03讲 思想方法专题：线段与角计算中的思想方法(4类热点题型讲练) 目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc12341" 【考点一 分类讨论思想在线段的计算中的应用】  PAGEREF _Toc12341 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc929" 【考点二 分类讨论思想在角的计算中的应用】  PAGEREF _Toc929 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc10215" 【考点三 整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】  PAGEREF _Toc10215 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc1952" 【考点四 整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】  PAGEREF _Toc1952 \h 13【考点一 分类讨论思想在线段的计算中的应用】例题：（2023秋·七年级课时练习）画直线，并在直线上截取线段，再在直线上截取线段，则线段的长是 ．【答案】3或7/7或3【分析】分两种情况：当点C在线段上时，当点C在线段的延长线上时，利用线段的和与差即可求解．【详解】解：当点C在线段上时，，当点C在线段的延长线上时，，故答案为：3或7．【点睛】本题考查了线段的和与差，熟练掌握其计算方法是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·湖南长沙·七年级校考期中）两根木条，一根长，另一根长，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为 ．【答案】或．【分析】设，，根据题意分两种情况：①如图1，两根木条如图放置，有一端重合，根据点是的中点，点是的中点，可得，，再由即可得出答案；②如图2，两根木条如图放置，有一端重合，根据点是的中点，点是的中点，可得，，再由即可得出答案．【详解】解：设，，根据题意，①如图1，∵点是的中点，点是的中点，∴，，∴；②如图2，∵点是的中点，点是的中点，∴，，∴．综上所述，两根木条的中点之间的距离为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查两点间的距离及线段的和差，中点的定义，本题运用了分类讨论和数形结合的思想方法．熟练掌握两点的距离及线段和差的计算方法是解题的关键．2．（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）有、两根木条，长度分别为24 cm、18 cm，将它们的一端重合且放在同一条直线上，此时、两根木条中点之间的距离为 cm．【答案】3或21【分析】假设端点B和端点D重合，分两种情况如图：①不在上时，，②在上时，，分别代入数据进行计算即可得解．【详解】解：假设端点B和端点D重合如图，设较长的木条为，较短的木条为，∵M、N分别为、的中点，∴，，①如图1，不在上时，（cm），②如图2，在上时，（cm），综上所述，两根木条的中点间的距离是21cm或3cm，故答案为：3或21．【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，解题的关键是在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．3．（2021秋·湖北·七年级校考阶段练习）将一根绳子对折后用线段表示，现从处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为 ．【答案】140或210/210或140【分析】根据绳子对折后用线段表示，可得绳子的长度是的2倍，分类讨论，的2倍最长，可得，的2倍最长，可得的长，再根据线段间的比例关系，可得答案．【详解】解：①当的2倍最长时，得，，，，∴这条绳子的原长为，②当的2倍最长时，得，，，∴这条绳子的原长为 ．综上所述，这条绳子的原长为或．故答案为：140或210．【点睛】此题考查了线段的和差倍分及分类讨论的思想，根据线段之间的比例关系列式为解题关键．【考点二 分类讨论思想在角的计算中的应用】例题：（2023秋·七年级课时练习）已知，，平分，则等于 ．【答案】或【分析】分两种情况：利用角平分线的定义即可求解．【详解】解：当如图所示时：  平分，，，，当如图所示时：  平分，，，．故答案为：或.【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义，利用分类讨论解决问题是解题的关键．【变式训练】1．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）已知，，则的度数是 ．【答案】或【分析】分两种情况讨论：①当在的内部时；②当在的外部时，分别求解即可得到答案．【详解】解：①如图，当在的内部时，  ，，，；②如图，当在的外部时，  ，，，；综上可知，的度数为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了角度的和差计算，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．2．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）已知，平分，射线与所形成的角度是，那么的度数是 【答案】或/50或30【分析】分两种情况：射线在的上方和射线在的下方，根据角平分线的定义和角的和差分别计算即可．【详解】解：如图1，   ∵，平分，∴，∵射线与所形成的角度是，∴，∴；如图2，  ∵，平分，∴，∵射线与所形成的角度是，∴，∴；综上可知的度数是或．故答案为：或．【点睛】此题考查了角平分线的定义和角的和差计算，分类讨论是解题的关键．3．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）已知射线是的三等分线，射线为的平分线，若，则 ．【答案】或【分析】根据三等分线的定义可得或，画出图形，进行分类讨论即可．【详解】解：∵射线是的三等分线，∴或，当时，如图：∵，，∴，∵射线为的平分线，∴，∴；  当时，如图：∵，，∴，∵射线为的平分线，∴，∴；  故答案为：或．【点睛】本题主要考查了角的三等分线和角平分线，解题的关键是掌握角的三等分线有两条．4．（2023秋·黑龙江大庆·六年级统考开学考试）如图，长方形纸片，点P在边上，点M，N在边上，连接，．将对折，点D落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则 ．【答案】或【分析】分两种情形：如图1中，当点N在点M的上方时，可得，由翻折变换的性质可知，，由可得答案；当点N在点M的上方时，设，，则可以得到，由翻折变换的性质可知，，根据即可求解．【详解】解：如图1中，当点N在点M的上方时．∵，∴，由翻折变换的性质可知，，∴，∴．当点N在点M的下方时，设，，则，由翻折变换的性质可知，，∴．综上所述，满足条件的或．故答案为：或．【点睛】本题考查角的计算，翻折的性质等知识，解题关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．【考点三 整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】例题：（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）（1）如图，已知线段，点C是线段上一点，点M、N分别是线段，的中点．①若，则线段的长度是_________；②若，，求线段的长度(结果用含a、b的代数式表示)；（2）在（1）中，把点C是线段上一点改为：点C是直线上一点，，．其它条件不变，则线段的长度是___________（结果用含a、b的代数式表示）【答案】（1）①4，②，（2）或或【分析】（1）①根据线段中点的定义可得，即可求解；②，即可求解；（2）根据题意进行分类讨论即可：当点C在线段上时，当点C在点A的左边时，当点C在点B的右边时．【详解】（1）解：①∵点M、N分别是线段，的中点，，∴，∴，故答案为：4；②∵点M、N分别是线段，的中点，，∴，∴；（2）当点C在线段上时，由（1）可得：；当点C在A左边时，，∵点M、N分别是线段，的中点，，∴，∴；当点C在点B右边时，∵点M、N分别是线段，的中点，，∴，∴；综上：或或．故答案为：或或．【点睛】本题主要考查了线段中点的性质，线段的和差计算，解题的关键是掌握线段中点的定义，具有分类讨论的思想．【变式训练】1．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，点在线段上，点、分别是、的中点．(1)若线段，，则线段的长为 (2)若为线段上任一点，满足，其它条件不变，求的长；(3)若原题中改为点在直线上，满足，，，其它条件不变，求的长．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出，再由点、分别是、的中点，可得，，再由，即可求解；（2）由点、分别是、的中点，可得，，再由，即可求解；（3）分三种情况讨论：当点在线段上时，当点在的延长线上时，当点在的延长线上时，即可求解．【详解】（1）解：，，，又点、分别是、的中点，，，；故答案为：；（2）解：点、分别是、的中点，，，；（3）解：当点在线段上时，点、分别是、的中点，，，；当点在的延长线上时，点、分别是、的中点，，，；当点在的延长线上时，点、分别是、的中点，，，．【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，根据题意，准确得到线段之间的数量关系是解题的关键．2．（2022秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期中）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点,若，，求的长．（2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）．①如图2，当M，N分别是，的中点时，的长是___________；②如图3，若M，N分别是，的三等分点，即，，请直接写出线段的长．【答案】（1）6  （2）①  ②【分析】（1）由，得，根据M，N分别是，的中点，即得，故；（2）①由M，N分别是，的中点，知，即得，故；②由，知，即得, 故；【详解】解：（1） M，N分别是，的中点故答案为：6（2）① M，N分别是，的中点故答案为：② 故答案为：【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．【考点四 整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知：如图，在的内部，平分平分．  (1)当时，___________；(2)当时，___________；(3)当时，___________；(4)猜想：不论和的度数是多少，的度数总等于________的度数的一半．【答案】(1)(2)40(3)40(4)【分析】（1）（2）（3）利用角平分线的定义求得和的度数，再求得，进一步计算即可求解；（4）由（1）（2）（3）可得出结论；【详解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案为：45；（2）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案为：40；（3）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案为：40；（4）解：由以上（1）（2）（3）得出结论，即不论和的度数是多少，的度数总等于的度数的一半．故答案为：．【点睛】此题考查了角平分线的定义、角的计算，关键是根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．【变式训练】1．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）已知为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点处．射线平分．  (1)如图1，若，求的度数；(2)在图1中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）；(3)将图1中的直角三角板绕顶点顺时针旋转至图2的位置，当时，求的度数．【答案】(1)20°(2)(3)144°【分析】（1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；（2）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；（3）设，依次表示出，，，，最后根据列方程即可得到结论．【详解】（1）因为为直线上一点，且，所以，因为射线平分所以因为所以  （2）因为为直线上一点，且，所以，因为射线平分所以因为所以（3）设，则，，因为所以因为所以解得因为所以.【点睛】本题主要考查角平分线的定义，余角的性质，灵活运用余角的性质是解题的关键．2．（2023春·山东济南·六年级统考期末）解答下列问题如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．  (1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．  (3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．  【答案】(1)是(2)30°，20°或40°(3)或或【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答；(2)根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可；(3) 根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可．【详解】（1）解：如图1：∵平分，∴,∴根据巧分线定义可得是这个角的“巧分线”．故答案为：是．  （2）解：如图3：①当时，则；②当，则，解得：；③当，则，解得：．综上，可以为．（3）解：如图3：①当时，则；②当，则，解得：；③当，则，解得：．综上，可以为．  【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义是解题的关键．3．（2023秋·河南安阳·七年级校考期末）如图，已知，三角形是一个直角三角形，平分．  (1)如图1，当时，__________；(2)如图2，当时，__________；(3)如图3，当时，求的度数，借助图3计算；(4)由（1），（2），（3）问可知，当时，请直接写出的度数．（用来表示，无需说明理由）【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据角的和差先求出，再根据角平分线的定义求出，再利用角的和差即可解答；（2）同（1）的思路求解即可；（3）先根据角的和差求出，再根据角平分线的定义求出，再利用角的和差求解即可；（4）分，与三种情况，分别结合图形求解即可．【详解】（1）解：如图1，∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴；故答案为：；  （2）解：如图2，∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴；故答案为：；  （3）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴；  （4）解：当时，如图1，∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴；  当时，如图2，∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴；当时，如图3，由（3）的结论可得；综上：．【点睛】本题考查了角的和差计算和角平分线的定义，熟练掌握角之间的数量关系、灵活应用分类讨论思想是解题的关键．