北师大版数学七上同步讲练第4章第04讲 难点探究专题：线段上的动点问题(3类热点题型讲练)（2份，原卷版+解析版）

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第04讲 难点探究专题：线段上的动点问题(3类热点题型讲练) 目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc26705" 【类型一 线段和与差问题】  PAGEREF _Toc26705 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc8833" 【类型二 线段上动点定值问题】  PAGEREF _Toc8833 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc16547" 【类型三 线段上动点求时间问题】  PAGEREF _Toc16547 \h 12【类型一 线段和与差问题】例题：（2023秋·江西南昌·七年级南昌市第二十八中学校联考期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．  (1)若，，线段在线段上移动．①如图1，当为中点时，求的长；②若点在线段上，且，，求的长；(2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值．【答案】(1)①；②或(2)或【分析】（1）根据已知条件得到，，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②点在点的左侧，点是的中点，所以，可以根据进行求解，当点在点的右侧，，，求出的长度，再根据进行求解即可；（2）当在点的右侧时，设，，则，，，求得，当在点的左侧时，设，，则，，，求得，分别代入关系式即可得出答案．【详解】（1）解：①，，，，，如图，  为中点，，，；②如图，  ，点在点的左侧，点是的中点，，，；当点在点的右侧，如图  ，，，，，综上所述，的长为或；（2），，满足关系式，如图，当在点的右侧时：  设，，则，，，，，，，，，解得，，   ；如图，当在点的左侧时：  设，，则，，，，，，，，，解得，，   ．故答案为是或．【点睛】本题考查了两点间的距离，熟悉各线段间的和、差及倍数关系，根据题意分情况讨论是解答本题的关键．【变式训练】1．（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）如图，点C在线段上，，点M，N分别为的中点．(1)求线段的长；(2)若点C在线段的延长线上，且满足，点M，N分别为的中点，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据线段中点的定义求出的长度，再根据线段的和差进行求解即可；（2）先根据线段中点的定义求出的长度，再根据线段的和差进行求解即可．【详解】（1）∵，点M分别为的中点，∴，∵，∴，∵点N分别为的中点，∴，∴；（2）如图，∵点M，N分别为的中点，∴，∴．【点睛】本题考查了线段的中点和线段的和差，准确理解题意，熟练掌握相关知识点是解题的关键．2．（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）如图，点为线段上一点，点为的中点，且，．    (1)图中共有多少条线段，请写出这些线段；(2)求的长；(3)若点在直线上，且，求的长．【答案】(1)图中的线段有，，，，，共条(2)(3)或【分析】（1）根据题意结合图形，数出线段即可求解．（2）根据线段中点的性质可得，根据，即可求解；（3）分点在上时，点在延长线上时，两种情况分别讨论即可求解．【详解】（1）解： 图中的线段有，，，，，共条，  （2）点为的中点，，．，；（3）分两种情况讨论：①如图，当点在上时， ，，    ；②如图，当点在延长线上时，  ，，；综上，的长为或．【点睛】本题考查了线段数量问题，线段中点以及线段和差问题，数形结合是解题的关键．3．（2023秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．(1)若点，的速度分别是，．①若，当动点，运动了时，求的值；②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求；(2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①先计算，再计算；②利用中点的性质求解；（2）将用其它线段表示即可．【详解】（1）解：①由题意得：，．．②点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，设运动时间为t，则：，，．（2）解：设运动时间为，则，，，．．【点睛】本题考查线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是求解本题的关键．4．（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）如图，将一段长为厘米绳子拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠.若将绳子沿、点折叠，点、分别落在，处.(1)如图2，若，恰好重合于点处，展开拉直后如图3，求的长；(2)若点落在的左侧，且，画出展开拉直后的图形，并求的长度；(3)若点落在的右侧，且，画出展开拉直后的图形，并求的长度.【答案】(1)厘米(2)厘米(3)厘米【分析】（1）根据线段中点的性质得出，，进而根据即可求解；（2）先根据题意画出图形，根据线段中点的性质，得出，，根据即可求解；（3）先根据题意画出图形，同（2）的方法即可求解．【详解】（1）解：∵绳子沿、点折叠，点、分别落在、处，、恰好重合于点处，∴，，∴；（2）∵，，∴.根据题意得，、分别为、的中点，∵，，∴，∴；（3）当点落在点的右侧时，∵，∴.∴.【点睛】本题考查了线段的和差，线段的中点的性质，数形结合是解题的关键．【类型二 线段上动点定值问题】例题：（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）如图，已知线段，，是线段的中点，是线段的中点．(1)若，求线段的长度．(2)当线段在线段上从左向右或从右向左运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由．【答案】(1)(2)不变，还是，理由见解析【分析】（1）由题意可得，，结合中点的含义可得；（2）由已知可得，，再由，结合中点的性质即可解．【详解】（1）解∶，，，点是的中点，点是的中点，，；（2）线段的长度不发生变化．点是的中点，点是的中点，，．【点睛】本题考查线段的和差运算，中点的含义；熟练掌握线段的和差运算，灵活应用中点的性质解题是关键．【变式训练】1．（2023春·山东烟台·六年级统考期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点．  (1)若，求线段的长；(2)若C为线段上任一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案．(3)若C在线段的延长线上，且满足，M 、N分别为的中点，你能猜想MN的长度吗？请在备用图中画出图形，写出你的结论，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)，图及理由见解析【分析】（1）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解；（2）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解；（3）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解．【详解】（1）解：∵M、N分别是的中点，∴，∴∴线段的长为．（2）解∶ ∵M、N分别是的中点，∴，∵，∴；（3）解∶ ，理由如下∶如图:  ∵M、N分别是的中点，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意、准确得到线段间的数量关系是解题的关键．2．（2023秋·七年级单元测试）如图，B是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，C是线段的中点，cm，设点B运动的时间为（t不超过10）  (1)当时，________cm．(2)当时，求线段的长．(3)在运动过程中，若的中点为E，则的长是否变化？若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由．【答案】(1)4(2)3cm(3)不变，5cm【分析】（1）利用路程等于速度乘以时间可得答案；（2）当时，而，先求解，再利用中点的含义可得答案；（3）由的中点为E，C是线段的中点，可得 BD．从而可得结论．【详解】（1）解：当时，；（2）当时，而，∴．∵C是的中点，∴ 即线段的长为3cm．（3）不变 ，如图，  ∵的中点为E，C是线段的中点，∴ BD．∴ 即的长为5cm．【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差运算，理解题意，利用数形结合的方法解题的关键．3．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）探究题：如图①，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点．(1)若点恰好是中点，则____________；(2)若，求的长；(3)试利用“字母代替数”的方法，设“”，请说明不论取何值（不超过），的长不变．【答案】(1)6(2)(3)见解析【分析】（1）根据线段中点的性质得出，，结合图形即可求解；（2）根据（1）的方法即可求解；（3）根据（1）的方法进行求解即可．【详解】（1）解： ，点为的中点，．点、分别是和的中点，，．故答案为：6；（2）解：，，．点、分别是和的中点，，，；（3）解：设，则，点、分别是和的中点，∴，，不论取何值（不超过），的长不变；【点睛】本题考查了线段中点的性质，线段和差的计算，掌握线段中点的性质，数形结合是解题的关键．4．（2023秋·河北承德·七年级统考期末）应用题：如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点．(1)若，求的长；(2)若为的中点，则与的数量关系是______；(3)试着说明，不论点在线段上如何运动，只要不与点和重合，那么的长不变．【答案】(1)(2)(3)说明见解析【分析】（1）首先根据线段的和差关系求出，然后根据线段中点的概念求出，，进而求和可解；（2）根据线段中点的概念求解即可；（3）根据线段中点的概念求解即可．【详解】（1）因为，所以．因为点是的中点．所以，因为点是的中点．所以，所以；（2）∵为的中点，∴∵点是的中点∴；（3）因为点是的中点．所以因为点是的中点．所以，所以，所以，的长不变．【点睛】此题考查了线段的和差计算，线段中点的计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系．【类型三 线段上动点求时间问题】例题：（2023秋·云南临沧·七年级统考期末）如图，C是线段上一点，，，点P从A出发，以的速度沿向右运动，终点为B；点Q同时从点B出发，以的速度沿向左运动，终点为A，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为s  (1)当P、Q两点重合时，求t的值；(2)是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点?若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)满足条件的值为4或7或【分析】（1）根据相遇时间=路程和速度和，列出方程计算即可求解；（2）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案；【详解】（1）由题意可得：，，∴当P、Q重合时，，解得：；（2）由题意可得：，∴①当点C是线段的中点时，，解得：；②当点P是线段的中点时，，解得：③当点Q是线段的中点时，，解得：；综上所述，满足条件的值为4或7或．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论以防遗漏【变式训练】1．（2023秋·河南安阳·七年级统考期末）A，B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为，点B对应的有理数为8．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（）．(1)当时，的长为______，点P表示的有理数为______；(2)若点P为的中点，则点P对应的有理数为______；(3)当时，求t的值．【答案】(1)6，4(2)3(3)当时，t的值为4或6【分析】（1）根据路程速度时间进行求解即可；（2）根据数轴上两点中点公式进行求解即可；（3）先求出，再由，得到，然后分点P在点B左侧和右侧两种情况，利用线段的和差关系求出的长即可得到答案．【详解】（1）解：由题意得，，∴点P表示的数为，故答案为：6，4；（2）解：∵点P为的中点，点A对应的有理数为，点B对应的有理数为8，∴点P对应的有理数为，故答案为：3；（3）解：∵，∴当时，则，①当点P在点B左边时，∵，∴，∴；②当点P在点B右边时，∵，∴，∴；综上所述，当时，t的值为4或6．【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，线段的和差计算，灵活运用所学知识是解题的关键．2．（2022秋·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知线段AB，按下列要求完成画图和计算：（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，如果点D为线段BC的中点，且AB＝2，求线段AD的长度；（3）在以上的条件下，若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，是否存在某时刻t，使得PB＝PA﹣PC？若存在，求出时间t：若不存在，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）时间t为2．【分析】（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB即可；（2）在（1）的条件下，如果点D为线段BC的中点，且AB＝2，即可求线段AD的长度；（3）在以上的条件下，若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，是否存在某时刻t，使得PB＝PA﹣PC？即可求出时间t．【详解】解：（1）如图所示：延长线段AB到点C，使BC＝3AB；（2）∵AB＝2，∴BC＝3AB＝6，∴AC＝AB+BC＝8，∵点D为线段BC的中点，∴BD＝BC＝3，∴AD＝AB+BD＝5．答：线段AD的长度为5；（3）点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，则PB＝|t﹣2|，PA＝t，PC＝8﹣t，PB＝PA﹣PC即|t﹣2|＝t﹣（8﹣t）解得t＝2或（舍去）．答：时间t为2．【点睛】本题考查作图－基本作图、两点间的距离，掌握尺规作图的方法和各线段之间的比例关系是解题的关键．3．（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）材料阅读：当点在线段上，且时，我们称为点在线段上的点值，记作．如点是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．初步感知：(1)如图1，点在线段上，若，则__________；若，则____________；(2)如图2，已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，运动速度均为，当点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为，请用含有的式子表示和，并判断它们的数量关系．拓展运用：(3)已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，若点、的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为．则当为何值时，等式成立．【答案】(1)，(2)，，(3)存在和使等式成立【分析】（1）根据定义直接得出结果即可求解；（2）根据题意，得出，，相加即可求解；（3）分在点到达点之前，在点到达点返回之后，两种情况分类讨论即可求解．【详解】（1）根据定义可得：∵，则；∵，∴,则；故答案为：．，；（2）∵∴∵∴∴∴（3）①在点到达点之前∵∴∵∴∴∵∴∴②在点到达点返回之后∵∴∵∴∴∵∴∴∴存在和使等式成立．【点睛】本题考查了几何新定义，线段的和差，理解新定义，数形结合是解题的关键．