人教版（2024）八年级下册18.1.1 平行四边形的性质优秀课后测评

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知识点01 平行四边形的概念
平行四边形的概念：
有两组对边分别 平行 的四边形叫做平行四边形。用符号“▱”来表示。平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”。
知识点02 平行四边形的性质
平行四边形的性质：
①边的性质：平行四边形的两组对边分别 平行且相等 （平行由定义证明，相等由连接对角线证明全等可得）。
②角的性质：平行四边形的邻角 互补 ，对角 相等 。（由平行与邻角转换可得）
③对角线的性质：平行四边形的对角线 相互平分 （连接两条对角线证明全等可得）。
④平行四边形的面积计算：等于 底×高 。
⑤平行四边形的对称性：是一个中心对称图形。
⑥过对角线交点的直线把平行四边形分成两个全等的图形。直线与对边的交点到对角线的交点的距离相等。
【即学即练1】
1．以下平行四边形的性质错误的是（ ）
A．对边平行B．对角相等
C．对边相等D．对角线互相垂直
【解答】解：A、平行四边形的对边相互平行，故本选项不符合题意；
B、平行四边形的对角相等，故本选项不符合题意；
C、平行四边形的对边相等，故本选项不符合题意；
D、平行四边形的对角线相互平分，但不一定互相垂直，故本选项符合题意；
故选：D．
【即学即练2】
2．如图，在▭ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（ ）
A．80°B．40°C．70°D．140°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A+∠C＝80°，
∴∠A＝∠C＝40°，
∴∠D＝180°﹣∠A＝140°，
故选：D．
【即学即练3】
3．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝12，CD＝4，则△ABO的周长是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD＝4，
∵AC+BD＝12，
∴AO+BO＝6，
∴△ABO的周长＝AO+OB+AB＝6+4＝10．
故选：B．
知识点03 平行线间的距离
平行线间的距离的定义：
一组平行线中，其中一条平行线上任意一点到另一条平行线的 距离 是这一组平行间的距离。
平行线间的距离的性质：
①两条平行线间的距离 处处相等 。
②平行线间的平行线段 相等 。
【即学即练1】
4．如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，则下列说法中错误的是（ ）
A．AB＝CD
B．CE＝FG
C．A、B两点间距离就是线段AB的长度
D．l1与l2两平行线间的距离就是线段CD的长度
【解答】解：A、∵l1∥l2，AB∥CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AB＝CD，故本选项正确；
B、∵l1∥l2，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，
∴四边形CEGF是平行四边形，
∴CE＝FG，故本选项正确；
C、∵AB是线段，
∴A、B两点间距离就是线段AB的长度，故本选项正确；
D、∵CE⊥l2于点E，
∴l1与l2两平行线间的距离就是线段CE的长度，故本选项错误．
故选：D．
题型01 平行线的性质的理解判断
【典例1】关于平行四边形的性质，下列描述错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线相等
B．平行四边形的对角相等
C．平行四边形的对角线互相平分
D．平行四边形的对边平行且相等
【解答】解：∵平行四边形的性质是：对边相等且平行；对角相等，邻角互补；对角线互相平分．
∴B、C、D正确，A错误，
故选：A．
【变式1】平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等B．对角相等
C．对角线相等D．对角线互相平分
【解答】解：∵平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，
∴平行四边形不一定具有的性质是C选项．
故选：C．
【变式2】如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC⊥BDB．OA＝OCC．AC＝ABD．OA＝OB
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝DC，
故A、C、D错误，不符合题意；
故选：B．
【变式3】平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，若∠AOB＝180°﹣2∠BAO，那么下列说法正确的是（ ）
A．AB＝OBB．AB＝OAC．AC＝BDD．AC⊥BD
【解答】解：∵∠AOB+∠BAO+∠OBA＝180°，∠AOB＝180°﹣2∠BAO，
∴∠BAO＝∠OBA，
∴OA＝OB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AC＝2OA，BD＝2OB，
∴AC＝BD，
故选：C．
题型02 平行四边形的性质与角度的计算
【典例1】在▱ABCD中，若∠A＝∠B+50°，则∠B的度数为 65 度．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B+50°，
∴∠B＝65°，∠A＝115°，
故答案为：65．
【变式1】在▱ABCD中，∠A+∠C＝220°，则∠D的度数是（ ）
A．70°B．80°C．90°D．110°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∵∠A+∠C＝220°，
∴∠A＝∠C＝110°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝70°．
故选：A．
【变式2】如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，则∠A的度数为（ ）
A．155°B．130°C．125°D．110°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝180°﹣∠BED＝25°，
∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝130°．
故选：B．
【变式3】如图，在▱ABCD中，∠A＝68°，DB＝DC，CE⊥BD于E，则∠BCE的度数为 22° ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝68°，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠BCD＝68°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣68°＝22°．
故答案为：22°．
【变式4】如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠ACE的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠ADC＝60°，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝60°，
∴∠B＝∠DAE，△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE，∠AEB＝∠BAE＝60°，
在△BAC和△AED中，
，
∴△BAC≌△AED（SAS），
∴∠BAC＝∠AED＝80°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝80°﹣60°＝20°，
∴∠ACE＝∠AEB﹣∠EAC＝60°﹣20°＝40°．
故选：C．
题型03 平行四边形的性质与线段长度的计算
【典例1】如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（ ）
A．16B．18C．20D．22
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，
∴OB＝OD，OA＝OC＝AC＝6，
∵AB⊥AC，
由勾股定理得：OB＝＝＝10，
∴BD＝2OB＝20．
故选：C．
【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABF＝∠F，∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE＝∠F＝∠DEF，
∴AE＝AB＝3，
∴DF＝DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2，
故选：C．
【变式2】在▱ABCD中，尺规作图后留下的痕迹如图所示，若AB＝3cm，AD＝10cm，则EF的长为（ ）
A．3cmB．3.5cmC．4cmD．4.5cm
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝3cm，AD∥BC，
由尺规作图后留下的痕迹可知，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠CBE，∠DCF＝∠BCF，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，∠DFC＝∠BCF，
∴∠ABE＝∠AEB，∠DCF＝∠DFC，
∴AE＝AB＝3cm，CD＝DF＝3cm，
∴EF＝AD﹣AE﹣DF＝10﹣3﹣3＝4（cm），
故选：C．
【变式3】如图，在▱ABCD中，∠ABC、∠BCD的角平分线交于边AB上一点E，且BE＝AB＝，线段CE的长为（ ）
A．2B．3C．﹣2D．3
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC＝，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC、∠BCD的角平分线交于边AB上一点E，
∴∠ABE＝∠CBE，∠DCE＝∠BCE，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE＝∠ABE，∠DEC＝∠BCE＝∠DCE，
∴AB＝AE＝，DE＝DC＝，
∴AD＝BC＝2，
∴CE＝＝＝3，
故选：D．
【变式4】如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝5，AB＝CF＝3，则CG的长为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，
∵AD＝5，AB＝CF＝3，
∴CD＝3，BC＝5，
∴BF＝BC+CF＝8，
∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，
∴BF＝BE＝8，DG＝EG，
延长CG交BE于点H，
∵DC∥AB，
∴∠CDG＝∠HEG，
在△DCG和△EHG中，
，
∴△DCG≌△EHG（ASA），
∴DC＝EH，CG＝HG，
∵CD＝3，BE＝8，
∴HE＝3，BH＝5，
∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝5，
∴△CBH是等边三角形，
∴CH＝BC＝5，
∴CG＝CH＝，
故答案为：．
题型04 平行四边形的面积
【典例1】观察如图中的三个平行四边形，你认为说法正确的是（ ）
A．它们形状相同，面积相等
B．它们形状相同，面积不相等
C．它们形状不相同，面积相等
D．它们形状不相同，面积不相等
【解答】解：图中三个平行四边形的形状不相同，但面积均为：3×5＝15（cm2），
故选：C．
【变式1】一个平行四边形两条邻边的长度分别是6cm、8cm，且一条底边上的高是7cm，则这个平行四边形的面积是（ ）cm2．
A．42cm2B．56cm2
C．48cm2D．42cm2或者56cm2
【解答】解：∵一个平行四边形两条邻边的长度分别是6cm、8cm，且一条底边上的高是7cm，
当底是8时，高如果为7，则7＞斜边6，不符合题意，
∴这个平行四边形的面积＝6×7＝42（cm2），
故选：A．
【变式2】图中，平行四边形的面积是30平方厘米，下列说法错误的是（ ）
A．S甲＝S乙+S丙B．S甲：S乙：S丙＝5：2：3
C．S甲＝15平方厘米D．S丙＝6平方厘米
【解答】解：∵平行四边形的面积是30平方厘米，
∴甲的面积＝（平方厘米），乙的面积＝（平方厘米），丙的面积＝（平方厘米），
故选：D．
【变式3】如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（ ）cm2
A．24B．17C．18D．10
【解答】解：连接EF，
∵F是▱ABCD的边CD上的点，
∴BE∥CF，
∴∠EBF＝∠CFB，∠BEC＝∠FCE，
∵BQ＝FQ，
∴△EBQ≌△CFQ，
∴EQ＝CQ，
∴四边形EBCF是平行四边形，
∴，
∵S△AED＝S△AEF，
∴，
∴，
故选：C．
题型05 平行四边形的周长
【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，AC＝4m，若△ACD的周长为13cm，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．26cmB．24cmC．20cmD．18cm
【解答】解：∵AC＝4cm，△ADC的周长为13cm，
∴AD+DC＝13﹣4＝9（cm）．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴平行四边形的周长为2（AD+DC）＝18cm．
故选：D．
【变式1】如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝24，则△BOC的周长为 22 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AD＝BC＝10，
∵AC+BD＝24，
∴OC+BO＝12，
∴△BOC的周长＝OC+OB+BC＝12+10＝22．
故答案为：22．
【变式2】如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，▱ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．30B．25C．20D．15
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴AB＝CD，AD＝CB，AD∥CB，OA＝OC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF＝5，AE＝CF，
∴EF＝OE+OF＝5+5＝10，AE+BF＝CF+BF＝CB，
∵▱ABCD的周长为30，
∴2AB+2CB＝30，
∴AB+CB＝15，
∴AB+AE+BF+EF＝AB+CB+EF＝15+10＝25，
∴四边形ABFE的周长是25，
故选：B．
【变式3】如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BE＝4，EC＝3，则平行四边形ABCD的周长为（ ）cm．
A．11B．18C．20D．22
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD与BC平行，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BA＝BE＝4，
∵BC＝BE+EC＝4+3＝7＝AD，
∴平行四边形ABCD的周长为2×（7+4）＝22（cm），
故选：D．
【变式4】在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．13或14B．26或28C．13D．无法确定
【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠DAE，
∵∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝EB，
当EB＝5，EC＝4时，如图1，
则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9，
∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28；
当EB＝4，EC＝5时，如图2，
则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，
∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26，
∴平行四边形ABCD的周长为26或28，
故选：B．
题型06 利用平行四边形的性质求坐标
【典例1】在平面直角坐标系xOy中，▱ABCD的对角线交于点O．若点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为 （2，﹣3） ．
【解答】解：∵▱ABCD的对角线交于点O．点A的坐标为（﹣2，3），
∴点C的坐标为（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）．
【变式1】（多选）29．如图，在直角坐标系中，以点O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（0，2）为四边形的三个顶点构造平行四边形，则下列各点中可以作为第四个顶点的是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣3）C．（3，3）D．（2，3）
【解答】解：∵O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（0，2），
∴OB＝2，
当OB为边时，第四个点的坐标为（﹣2，1），（﹣2，﹣3）；
当OB为对角线时，设第四个点的坐标为（x，y），
∴0+0＝﹣2+x，0+2＝﹣1+y，
∴x＝2，y＝3，
∴第四个点的坐标为（2，3），
故选：ABD．
【变式2】在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（ ）
A．（7，3）B．（8，2）C．（3，7）D．（5，3）
【解答】解：∵平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），
∴DC∥AB，DC＝AB＝5，
∴点C的横坐标＝5+2＝7，纵坐标＝点D的纵坐标＝3，
即点C的坐标是（7，3），
故选：A．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的边AD在x轴上，顶点B在y轴上，点A，D的坐标分别是（2，0），（7，0），∠OBA＝30°，则顶点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵A（2，0），则OA＝2，
∵∠OBA＝30°，
∴AB＝2OA＝4，
在Rt△AOB中，，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，A，D的坐标分别是（2，0），（7，0），
∴BC＝AD＝5，
∴C，
故选：C．
题型07 平行线间的距离
【典例1】如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4mm，则两平行线l1和l2之间的距离是（ ）
A．2B．4C．D．
【解答】解：如图，作AC⊥BC，
∵直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，
∴∠ABC＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝×AB＝2．
故选：D．
【变式1】如图，已知直线a∥直线b，点A，B分别在直线a和直线b上，若AB＝6，∠1＝60°，则直线a与直线b之间的距离是 3 ．
【解答】解：作AC⊥b于点C，
∵a∥b，∠1＝60°，
∴∠ABC＝∠1＝60°，
∴AC＝AB•sin60°＝6×＝3，
∴直线a与直线b之间的距离是3．
故答案为：3．
【变式2】如图，a∥b，点A、B分别在直线a、b上，∠1＝45°，点C在直线b上，且∠BAC＝105°，若a、b之间的距离为3，则线段AC的长度为 6 ．
【解答】解：作AH⊥BC于H，
∵a∥b，
∴AH＝3，∠ACH＝∠2，
∵∠1＝45°，∠BAC＝105°，
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∴AC＝2AH＝6．
故答案为：6．
【变式3】在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a、b之间的距离为7cm，直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为（ ）
A．4cm或10cmB．4cmC．10cmD．不确定
【解答】解：当直线c在直线a、b之间时，如图（1），
直线a、c间的距离为7﹣3＝4（cm）；
当直线c在直线a、b外部时，如图（2），
直线a、c间的距离为7+3＝10（cm），
∴直线a、c间的距离是4或10cm．
故选：A．
1．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论错误的是（ ）
A．ABCDB．OB＝ODC．AB＝ADD．∠ABC＝∠ADC
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，
∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，∠ABC＝∠ADC，
故A正确、B正确、D正确；
∵任意平行四边形的邻边不一定相等，
∴AB与AD不一定相等，
故C错误，
故选：C．
2．在▱ABCD中，如果∠A+∠C＝160°，那么∠C等于（ ）
A．20°B．40°C．60°D．80°
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝160°，
∴∠A＝∠C＝80°，
故选：D．
3．如图，若直线m∥n，则下列哪条线段的长可以表示平行线m与n之间的距离（ ）
A．ABB．ACC．ADD．DE
【解答】解：∵m∥n，AC⊥n，
∴AC⊥m，
∴AC可以表示平行线m与n之间的距离，
故选：B．
4．如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝8，BC＝6，则EC等于（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝6．CD∥AB，
∵∠DAB的平分线AE交CD于E，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠AED．
∴ED＝AD＝6，
∴EC＝CD﹣ED＝8﹣6＝2．
故选：C．
5．平面直角坐标系中，A、B、C三点坐标分别为（0，0），（0，﹣4），（﹣3，3），以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵A（0，0），B（0，﹣4），C（﹣3，3），
∴AB＝4，
当AB为边时，第四个点的坐标为（﹣3，﹣1），（﹣3，7）；
当AB为对角线时，设第四个点的坐标为（x，y），
∴0+0＝﹣3+x，0﹣4＝3+y，
∴x＝3，y＝﹣7，
∴第四个点的坐标为（3，﹣7），
故选：A．
6．已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为3cm，则a与c之间的距离是（ ）
A．2cmB．8cm
C．2cm或8cmD．以上都不对
【解答】解：如图①，a与c之间的距离为5+3＝8（cm）；
如图②，a与c之间的距离为5﹣3＝2（cm）．
∴a与c之间的距离为8cm或2cm．
故选：C．
7．如图，在▱ABCD中，AD：AB＝3：4，AE平分∠DAB交CD于点E，交BD于点F，则的值是（ ）
A．3：4B．9：16C．4：3D．16：9
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB交CD于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴AD＝DE，
∵AD：AB＝3：4，
∴DE：AB＝3：4，
故选：A．
8．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（ ）
A．6sB．6s或10sC．8sD．8s或12s
【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，
如图，过点D作DG⊥AB于点G，
∵∠A＝45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴AG＝DG＝AD＝8，
过点F作FH⊥AB于点H，
得矩形DGHF，
∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，
∵EF＝10cm，
∴EH＝＝6cm，
由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，
∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，
∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，
∴2t﹣2＝22﹣t，
解得t＝8，
当F点在E点左侧时，
由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，
∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，
∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，
∴2t﹣14＝22﹣t，
解得t＝12，
∵点E到达点B时，两点同时停止运动，
∴2t≤22，解得t≤11．
∴t＝12不符合题意，舍去，
∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，
故选：C．
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BF＝BE；④PF＝PC．其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵BC＝EC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CEB＝∠EBF，
∴∠CBE＝∠EBF，
∴①BE平分∠CBF，正确；
∵BC＝EC，CF⊥BE，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴②CF平分∠DCB，正确；
∵DC∥AB，
∴∠DCF＝∠CFB，
∵∠ECF＝∠BCF，
∴∠CFB＝∠BCF，
∴BF＝BC，
∴③错误；
∵FB＝BC，CF⊥BE，
∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，
∴PF＝PC，故④正确．
正确的有3个，
故选：C．
10．如图所示，以▱ABCD的边AB为边向内作等边△ABE，使AD＝AE，且点E在平行四边形内部，连接DE，CE，则∠CED的度数为（ ）
A．150°B．145°C．135°D．120°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠BAD+∠ABC＝180°，
∵△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，
∵AD＝AE，
∴AD＝AE＝BE＝BC，
∴∠ADE＝∠AED，∠BCE＝∠BEC，
设∠ADE＝∠AED＝x，∠BCE＝∠BEC＝y，
∴∠DAE＝180°﹣2x，∠CBE＝180°﹣2y，
∴∠BAD＝180°﹣2x+60°＝240°﹣2x，∠ABC＝240°﹣2y，
∴∠BAD+∠ABC＝240°﹣2x+240°﹣2y＝180°，
∴x+y＝150°，
∴∠CED＝360°﹣150°﹣60°＝150°，
故选：A．
11．如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B、C在直线l2上，AC⊥l2．如果AB＝5cm，BC＝4cm．那么平行线l1，l2之间的距离为 3 cm．
【解答】解：∵AC⊥l2，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝5cm，BC＝4cm．
∴AC＝＝3（cm），
∴平行线l1，l2之间的距离为3cm．
故答案为：3．
12．如图，▱ABCD的对角线交于坐标原点O．若点A的坐标为（﹣，1），点B的坐标为（﹣1，﹣1），则BC＝ +1 ．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，
又∵点O为坐标原点，
∴点A和点C关于原点对称，
∵点A的坐标为（﹣，1），
∴C点坐标为（，﹣1），
∵B（﹣1，﹣1），
∴BC＝+1．
故答案为：+1．
13．在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AE为边BC上的高，，CE＝2，则平行四边形ABCD的周长为 14或22 ．
【解答】解：当E在BC上时，如图，
∵∠AHB＝90°，∠B＝60°，
∴sinB＝，
∴AB＝＝＝6，
∵BE＝AB＝3，
∴BC＝BE+CE＝3+2＝5，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（6+5）＝22；
当E在BC延长线上时，如图，
由以上解答知：AB＝6，BE＝3，
∴BC＝BE﹣CE＝3﹣2＝1，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（6+1）＝14，
∴平行四边形ABCD的周长是14或22．
故答案为：14或22．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为 6 ．
【解答】解：如图所示：
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AO＝CO，OP＝OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
过点O作OE⊥AB，当点P与E重合时，OP最短，OE即为所求，
∵∠BAC＝30°，
∴OE＝OA，
∵AB＝AC＝12，
∵AO＝AC＝×12＝6，
∴OE＝3，
∴PQ的最小值＝2OE＝6，
故答案为：6．
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，延长CD至点G，使DG＝CD，以DG，DE为边向平行四边形ABCD外构造平行四边形DGME，连接BM交AD于点N，连接FN．若DG＝DE＝2，∠ADC＝60°，则FN的长为 ．
【解答】解：如图所示，连接EF、AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC
∵点E，F分别是AD，BC边的中点，
∴AE＝DE＝BF＝CF，
∴四边形ABFE，CDEF是平行四边形，
∵DG＝DE＝2，DG＝DC，四边形DGME是平行四边形，
∴AE＝EF＝AB＝ME＝2，
∵EF∥CD，
∴∠AEF＝∠ADC＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∵ME∥CD，EF∥CD，
∴M、E、F三点共线，
∴MF∥AB，
∴∠MEN＝∠BAN，
在△EMN和△ABN中
，
∴△ABN≌△EMN（AAS），
∴AN＝NE，
∴，FN⊥AE，
∴，
故答案为：．
16．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝AD，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．证明AE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠ACE，
∵AE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠AEC＝∠AFD＝90°，
在△ADF与△ACE中，
，
∴△ADF≌△ACE（AAS），
∴AE＝DF．
17．如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C．
（1）若∠1＝70°，求∠2的度数；
（2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离．
【解答】解：（1）∵a∥b，∠1＝70°，
∴∠3＝∠1＝70°，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠BAC﹣∠3＝20°．
（2）如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AC⊥AB，AC＝5，AB＝12，BC＝13，
∴，即，
解得，
即直线a与b的距离为．
18．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，EB＝5，DE＝4．
（1）求证：∠DEA＝90°；
（2）求CE的长．
【解答】（1）证明：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝5，
∵EA＝3，ED＝4，32+42＝52，
∴EA2+ED2＝AD2，
∴△ADE是直角三角形，且∠DEA＝90°；
（2）解：由（1）可知，∠DEA＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠CDE＝∠DEA＝90°，CD＝AB＝AE+EB＝3+5＝8，
在Rt△EDC中，由勾股定理得：CE＝＝＝4，
即CE的长为4．
19．如图，在▱ABCD中，BC＝3AB﹣6，点E，F分别在边AB，CD上，AE＝CF，直线EF分别交AD，CB的延长线交于点H，G．
（1）求证：DH＝BG．
（2）作HM∥AB，交BC延长线于点M，AM交GH于点O．若BE＝1，GB＝3，AB⊥AM，∠AEH＝45°，求AE的长．
【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，AD＝CB，
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠H．
∵∠BAD＝∠C，AE＝CF，
∴△AEH≌△CFG（AAS），
∴AH＝CG，
∵AD＝CB，
∴AH﹣AD＝CG﹣CB，
即DH＝BG；
（2）解：由AB⊥AM，∠AEH＝45°，得∠MOH＝∠AOE＝45°，
由HM∥AB，得∠OHM＝∠AEO＝45°，
设AO＝AE＝x，
则OM＝HM＝AB＝x+1，
∴BC＝3AB﹣6＝3x﹣3，CM＝DH＝BG＝3，BM＝BC+CM＝3x，
在Rt△ABM中，由勾股定理，得AB2+AM2＝BM2，
即（x+1）2+（2x+1）2＝（3x）2，
解得x＝或x＝（舍去），
∴AE的长为．
20．如图①▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F．
（1）求证：OE＝OF
（2）如图②，已知AD＝1，BD＝2，AC＝2，∠DOF＝∠α，
①当∠α为多少度时，EF⊥AC？
②在①的条件下，连接AF，求△ADF的周长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OB＝OD，AB∥CD．
∴∠EBO＝∠FDO．
又∵∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF（ASA）．
∴OE＝OF；
（2）①∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OD＝BD＝1，OA＝AC＝，
又AD＝1，
∴AD2+OD2＝OA2．
∴∠ADO＝90°，∠AOD＝45°．
∴∠α＝90°﹣45°＝45．
②由（1）可得：EF垂直平分AC，
∴AF＝FC，
又AB＝＝＝CD，
∴△ADF的周长＝AD+DF+FA＝AD+CD＝1+．
课程标准
学习目标
①平行四边形的概念
②平行四边形的性质
③平行线间的距离
掌握平行四边形的概念并能够进行简单的判断。
掌握平行四边形的性质并能够熟练的进行相关的应用。
掌握平行线间的距离并熟练应用