初中数学人教版（2024）八年级下册18.2.3 正方形优秀精练

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知识点01 正方形的定义与性质
正方形的定义：
四条边都 ，四个角都是 的四边形叫做正方形。
所以正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，还是特殊的菱形。
正方形的性质：
同时具有平行四边形、矩形以及菱形的一切性质。
【即学即练1】
1．下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（ ）
A．菱形的对角线相等
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的四个角相等
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
【即学即练2】
2．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则CP的长为（ ）
A．B．C．0.5D．1
【即学即练3】
3．在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠CEF＝（ ）
A．75°B．60°C．50°D．45°
知识点02 正方形的判定
直接判定：
四条边相等，四个角也相等的四边形是正方形。
符号语言：∵AB BC CD AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝ 。
∴四边形ABCD是正方形
利用平行四边形、矩形以及菱形判定：
先判定四边形是平行四边形，在判定它是矩形和菱形即可判定为正方形。
①平行四边形＋邻边相等＋一个角是90°。
符号语言：在▱ABCD中，
∵AB＝BC，且∠ABC=90°
∴▱ABCD是正方形
②平行四边形＋邻边相等＋对角线相等。
符号语言：▱ABCD中
∵AB＝BC且AC＝BD
∴▱ABCD是正方形
③平行四边形＋对角线垂直＋一个角是90°
符号语言：▱ABCD中
∵AC⊥BD且∠ABC＝90°
∴▱ABCD是正方形
④平行四边形＋对角线垂直＋对角线相等。
符号语言：▱ABCD中
∵AC⊥BD且AC＝BD
∴▱ABCD是正方形
可先证矩形再证菱形，也可先证菱形，再证矩形。
【即学即练1】
4．若▱ABCD中对角线AC、BD相交于点O，则下列说法正确的是（ ）
A．当OA＝OD时，▱ABCD为菱形
B．当AB＝AD时，▱ABCD为正方形
C．当∠ABC＝90°时，▱ABCD为矩形
D．当AC⊥BD时，▱ABCD为矩形
【即学即练2】
5．已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，添加条件 可使菱形ABCD成为正方形．
【即学即练3】
6．如图，已知矩形ABCD 中，∠BAD 和∠ADC 的平分线交于BC边上一点E．点F为矩形外一点，四边形AEDF为平行四边形．求证：四边形AEDF是正方形．
知识点03 中点四边形
中点四边形的定义：
连接四边形各边的 得到的四边形叫做中点四边形。
中点四边形的形状：
①任意四边形的中点四边形是 。
②对角线相等的四边形的中点四边形是 。
③对角线相互垂直的四边形的中点四边形是 。
【即学即练1】
7．顺次连接菱形的四边中点所得的图形为 。
【即学即练2】
8．如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是（ ）
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．一组对边平行而另一组对边不平行
D．对角线互相平分
题型01 利用正方形的性质求线段或周长
【典例1】如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，作EF⊥AD于点F，连接DE，若DF＝2．则DE的长为（ ）
A．B．C．4D．2.5
【变式1】如图，点M是正方形ABCD边AB上一点，DN⊥CM于N，DN＝2CN＝2，则BN的长度为（ ）
A．2B．C．D．
【变式2】如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式3】如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点F是AB边上一点，点E是BC延长线上一点，AF＝CE，BF＝2AF．连接DF、DE、EF，EF与对角线AC相交于点G，则线段BG的长是（ ）
A．B．C．D．
【变式4】如果一个长方形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称为“优美长方形”如图，“优美长方形”ABCD的周长为78，则正方形c的边长为（ ）
A．6B．9C．12D．15
【变式5】如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP、EF．给出下列结论：①；②四边形PECF的周长为8；③EF的最小值为2；④AP＝EF；⑤AP⊥EF．其中正确的结论有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
题型02 利用正方形的性质求角度
【典例1】如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点．连接BE，且AB＝AE，则∠EBC的度数是（ ）
A．45°B．30°C．22.5°D．20°
【变式1】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，AB上，满足DE＝AF，连接CE，DF，点P，Q分别是DF，CE的中点，连接PQ．若∠ADF＝α．则∠PQE可以用α表示为（ ）
A．αB．45°﹣αC．D．3α﹣45°
【变式2】如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接DE，AF⊥DE于点F，连接CF，设∠DAF＝α，若AF＝2DF，则∠DCF一定等于（ ）
A．45°﹣αB．90°﹣3αC．D．
【变式3】如图，在正方形ABCD中，点E是AC上一点，过点E作EF⊥ED交AB于点F，连接BE，DF，若∠ADF＝α，则∠BEF的度数是（ ）
A．2αB．45°+αC．90°﹣2αD．3α
【变式4】如图，正方形ABCD中，点M、N、P分别在AB、CD、BD上，∠MPN＝90°，MN经过对角线BD的中点O，若∠PMN＝α，则∠AMP一定等于（ ）
A．2αB．45°+αC．90﹣D．135°﹣α
题型03 利用正方形的性质求点的坐标
【典例1】在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O的坐标是（0，0），顶点B的坐标是（2，0），则顶点A的坐标是（ ）
A．（1，1）B．（﹣1，1）或（1，1）
C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（1，1）
【变式1】如图，正方形ABCO中，O是坐标原点，A的坐标为，则点C的坐标为 ．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°，则点C的坐标为 ．
【变式3】在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正方形ABCD的顶点C，D在第二象限，若点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），则点C的坐标为 ．
【变式4】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，4），B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM＝6，则点C的坐标为 ．
题型04 正方形的判定与性质
【典例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，仍不能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）
A．AC⊥BDB．AC平分∠BAD
C．AB＝BCD．△OCD是等边三角形
【变式1】如图，AC和BD是菱形ABCD的对角线，若再补充一个条件能使其成为正方形，下列条件：①AC＝BD；②AC⊥BD；③AB2+AD2＝BD2；④∠ACD＝∠ADC．其中符合要求的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
【变式2】如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN．求证：四边形EFMN是正方形．
【变式3】如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，求点F到线段AE的距离．
【变式4】如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【变式5】如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OF的长．
【变式6】如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A＝ °时，四边形BECF是正方形；
（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 ．
题型05 中点四边形
【典例1】如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
【变式1】顺次连接矩形ABCD各边中点得到四边形EFGH，它的形状是（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
【变式2】四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，下列条件中能使四边形EFGH为矩形的是（ ）
A．AB⊥BCB．AB＝BDC．AC＝BDD．AC⊥BD
【变式3】如图，已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合）．下列说法错误的是（ ）
A．若E、F、G、H分别为各边的中点，则四边形EFGH是平行四边形
B．若四边形ABCD是任意矩形，则存在无数个四边形EFGH是菱形
C．若四边形ABCD是任意菱形，则存在无数个四边形EFGH是矩形
D．若四边形ABCD是任意矩形，则至少存在一个四边形EFGH是正方形
1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．四条边相等，四个角相等
D．两组对边分别平行且相等
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形
B．当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形
C．当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形
D．当AC⊥BD，平行四边形ABCD是正方形
3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列三个结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是矩形；③当∠ABC＝90°时，它是正方形．其中结论正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6cm，BC＝8cm，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．48cm2B．32cm2C．24cm2D．12cm2
5．随着科技的进步，机器人在各个领域的应用越来越广泛．如图为正方形形状的擦窗机器人，其边长是28cm．在某次擦窗工作中，PM、PN为窗户的边缘，擦窗机器人的两个顶点A、B分别落在PM、PN上，PA＝14cm，将擦窗机器人绕中心O逆时针旋转一定的角度，使得AD∥PM，则旋转角度是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
6．如图，正方形ABCD的边长为10，且AE＝FC＝8，BF＝DE＝6，则EF的长为（ ）
A．2B．C．D．
7．小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），∠DAB＝60°，则图2中对角线AC的长为（ ）
A．20cmB．C．D．
8．如图，正方形ABCD的边长为9，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，下列结论中不正确的是（ ）
A．矩形DEFG是正方形B．∠CEF＝∠ADE
C．CG平分∠DCHD．
9．如图，P为正方形ABCD内一点，过P作直线PD交BC于点E，过P作直线GH交AB、DC于G、H，且GH＝DE．若∠APD＝∠DEC，∠EDC＝15°．以下结论：
①△ABP为等边三角形；
②PG＝PD
③S△PBE＝PD2
④BP＝PE+PG
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为（ ）
A．B．C．D．
11．小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如图所示的框架图，④号箭头处可以添加的条件是 ．（写出一种即可）
12．已知正方形ABCD，分别以BC，DC为边长作等边△BEC和等边△DCF，连接EF，则∠CEF＝ °．
13．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形A'B'C'O的一个顶点．若两个正方形的边长均为2，则图中阴影部分图形的面积为 ．
14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从O点出发在线段AC上以1cm/s的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为t s．连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为6cm的等边三角形，当t＝ s时，四边形DEBF为正方形．
15．如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，则GE的长为 ．
16．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且∠PAE＝∠E，PE交CD于点F．
（1）求证：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数．
17．定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题．
（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在CB边的延长线上，且DE＝BF，连接AE，AF，请根据定义判断四边形AFCE是否是“直等补”四边形，并说明理由．
（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝AD，若AB＝20，CD＝4，求BC的长．
18．已知四边形ABCD和AEFG均为正方形．
（1）如图①，当点A，B，G三点在一条直线上时，连接BE，DG，请判断线段BE与DG的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图②，当点A，B，G三点不在一条直线上时，则（1）的结论是否成立？请说明理由．
19．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）∠EAF＝ 45 °（直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求DF的长．
20．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
课程标准
学习目标
①正方形的定义与性质
②正方形的判定
③中点四边形
熟悉正方形的定义，掌握正方形的性质，并能够熟练的应用性质。
掌握正方形的判定方法，能够熟练的选择合适的判定方法判定正方形。
掌握中点四边形的定义，能够熟练的根据四边形的性质判断中点四边形的形状。