人教版数学八下同步讲练第18章第08讲 专题3 平行四边形（特殊的平行四边形）中的动点问题（2份，原卷版+解析版）

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第08讲专题3 平行（特殊平行）四边形中的动点问题类型一：平行四边形中的动点问题类型二：矩形中的动点问题类型三：菱形中的动点问题类型四：正方形中的动点问题类型一：平行四边形中的动点问题1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝6，BC＝9，点P从点A出发，沿射线AD以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点C出发，沿CB方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点Q到达点B时，点P，Q停止运动，设点Q运动时间为t秒．在运动的过程中，当t＝　2或6　时，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？【解答】解：由题意知，可分两种情况：①当CD为平行四边形的边，则P在D点左侧，PD＝6﹣2t，CQ＝t，∵PD＝CQ，∴6﹣2t＝t，解得t＝2；②当CD为平行四边形的对角线，P在D点右侧，PD＝2t﹣6，CQ＝t，∵PD＝CQ，∴2t﹣6＝t，解得t＝6，综上所述，当t＝2或6时，以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形．故答案为：2或6．2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　）A． B． C．或 D．或【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．设运动时间为t．当0＜t≤4时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t，BQ＝10﹣2.5t，∴10﹣t＝10﹣2.5t，1.5t＝0，∴t＝0（舍去）；当4＜t≤8时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝2.5t﹣10，∴10﹣t＝2.5t﹣10，解得：t＝；当8＜t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t﹣20，BQ＝30﹣2.5t，∴10﹣t＝30﹣2.5t，解得：t＝（舍去）；综上所述，t的值为时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形．故选：B．3．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（　　）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，如图，过点D作DG⊥AB于点G，∵∠A＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝AD＝8，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，∵EF＝10cm，∴EH＝＝6cm，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，∴2t﹣2＝22﹣t，解得t＝8，当F点在E点左侧时，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，∴2t﹣14＝22﹣t，解得t＝12，∵点E到达点B时，两点同时停止运动，∴2t≤22，解得t≤11．∴t＝12不符合题意，舍去，∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，故选：C．4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（　　）A． B．3 C．3或 D．或【解答】解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝9+3t﹣12，解得t＝，②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝12﹣9﹣3t，解得t＝，综上所述，t＝或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．故选：D．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（　　）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形A．1 B．1.5 C．1或3.5 D．1.5或2【解答】解：∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝8，由题意可知：AP＝t，则DP＝6﹣t，CQ＝3t，①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，∴3t﹣8＝6﹣t，解得：t＝3.5；②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，∴8﹣3t＝6﹣t，解得：t＝1，∴当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，故选：C．6．如图，在▱ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、BC的于点E、F，交BD于点O．（1）试说明：BF＝DE；（2）试说明：△ABE≌△CDF；（3）如果在▱ABCD中，AB＝5，AD＝10，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形BPDQ是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ODE＝∠OBF，∵EF垂直平分BD，∴OB＝OD，在△OBF和△ODE中，，∴△BOF≌△DOE（ASA），∴BF＝DE；（2）∵四边新ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠C，AD＝BC，∵BF＝DE，∴AE＝CF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），（3）解：∵EF垂直平分BD，∴BF＝DF，∵△ABE≌△CDF，∴DF＝BE，AE＝CF，∴△DFC的周长是DF+CF+CD＝BF+CF+CD＝BC+CD＝15，△ABE的周长也是15，①当P在AB上，Q在CD上，∵AB∥CD，∴∠BPO＝∠DQO，∵∠POB＝∠DOQ，OB＝OD，∴△BPO≌△DQO，∴BP＝DQ，∴m+n＝BP+DF+CF+CQ＝DF+CF+CQ+DQ＝DF+CF+CD＝15 　　　 ②当P在AE上，Q在CF上，∵AD∥BC，∴∠PEO＝∠QFO，∵△EOD≌△FOB，∴OE＝OF，∵∠PEO＝∠QFO，∠EOP＝∠FOQ，∴△PEO≌△QFO，∴PE＝QF，∵AE＝CF，∴CQ＝AP，m+n＝AB+AP+DF+PQ＝CD+CQ+DF+FQ＝DF+CF+CD＝15；③当P在BE上，Q在DF上，∵AD＝BC，AE＝CF，∴DE＝BF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF，BE∥DF，∴∠PEO＝∠FQO，∵∠EOP＝∠FOQ，OE＝OF，∴△PEO≌△FQO，∴PE＝FQ，∴m+n＝AB+AE+PE+DQ＝CD+CF+QF+DQ＝DF+CF+CD＝15．类型二：矩形中的动点问题7．如图，在长方形ABCD中，AD＝16cm，AB＝8cm．点P从点A出发，沿折线A﹣B﹣C方向运动，速度2cm/s；点Q从点B出发沿线段BC方向向点C运动，速度4cm/s；点P、Q同时出发，当一方到达终点时，另一方同时停止运动，设运动时间是t（s）．下列说法错误的是（　　）A．点P运动路程为2tcm B．CQ＝（16﹣4t）cm C．当时，PB＝BQ D．运动中，点P可以追上点Q【解答】解：A．由点P的速度为2cm/s，时间为t（s），得点P运动路程为2tcm，正确，故本选项不符合题意；B．由点Q的速度为4cm/s，时间为t（s），得点Q运动路程为4tcm，则CQ＝（16﹣4t）cm，正确，故本选项不符合题意；C．当t＝时，PB＝8﹣2t＝8﹣2×＝，BQ＝4t＝4×＝，则PB＝BQ正确，故本选项不符合题意；D．假设运动中点P可以追上点Q，则2t﹣4＝4t，解得：t＝﹣2，假设不成立，原表述错误，故本选项符合题意；故选：D．8．在平面直角坐标系中，长方形ABCD按如图所示放置，O是AD的中点，且A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），点P是BC上的动点，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则点P的坐标为 　（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4）　．【解答】解：如图，∵A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），∴OD＝OA＝5，AB＝CD＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠CDO＝90°，设BC与y轴交于E，当DP＝DO＝5，∴CP＝＝3，∴PE＝2，∴P（﹣2，4），当OD＝OP＝5时，PE＝＝3，∴P（﹣3.4）或（3，4），综上所述，点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4），故答案为：（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4）．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝　　．【解答】解：连接OP，如图所示：∵矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝5，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OD＝，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝×（PE+PF）＝3，∴PE+PF＝，故答案为：．10．如图，在长方形ABCD中，AB＝DC＝3cm，BC＝AD＝2cm，现有一动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿长方形的边A→B→C→D→A运动，到达点A时停止；点Q在边DC上，DQ＝BC，连接AQ．设点P的运动时间为t s，则当t＝　1或2或7　s时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△ADQ全等．（不考虑两个三角形重合的情况）【解答】解：当t＝1s时，AP＝1cm，则BP＝2cm，如图1，在△AQD和△CPB中，，∴△AQD≌△CPB（SAS）；当t＝2时，AP＝2cm，如图2，∴AP＝DQ，在△AQD和△DPA中，，∴△AQD≌△DPA（SAS）；当t＝7时，AB+BC+CP＝7cm，如图3，∴CP＝2cm，∴DQ＝CP，在△AQD和△BPC中，，∴△AQD≌△BPC（SAS）；故答案为：1或2或7．11．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②∠BFG＝∠ADE；③DE⊥FG；④FG的最小值为2．其中正确结论的有 　①②③④　．（填序号）【解答】解：如图所示，连接BE，交FG于点O，∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠EFB＝∠EGB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴四边形EFBG为矩形，∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，∴DE＝FG，即①正确；∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE，∴∠BFG＝∠ADE，即②正确，延长DE，交FG于M，交FB于点H，由①得，∠ABE＝∠ADE，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE，∴∠OFB＝∠ADE，∵∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠AHD＝90°，∴∠OFB+∠AHD＝90°，即∠FMH＝90°，∴DE⊥FG，即③正确；∵E为对角线AC上的一个动点，∴当DE⊥AC时，DE最小，∵AB＝AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，∴AC＝＝4，∴DE＝AC＝2，由①知，FG＝DE，∴FG的最小值为2，即④正确，综上，①②③④正确，故答案为：①②③④．12．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．（1）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？（2）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；否则，说明理由．【解答】解：（1）若△ABP与△DCE全等，∴BP＝CE或AP＝CE，当BP＝CE＝3时，则t＝3÷1＝3，当AP＝CE＝3时，则t＝（6+6+4﹣3）÷1＝13，∴当t为3或13时，△ABP和△DCE全等；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC，在Rt△DCE中，CE＝3，∴DE＝＝5，若△PDE为等腰三角形，则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，当PD＝DE时，∵PD＝DE，DC⊥BE，∴PC＝CE＝3，∵BP＝BC﹣CP＝3，∴t＝3÷1＝3，当PE＝DE＝5时，∵BP＝BE﹣PE，∴BP＝9﹣5＝4，∴t＝4÷1＝4，当PD＝PE时，∴PE＝PC+CE＝3+PC，∴PD＝3+PC，在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2．∴（3+PC）2＝16+PC2，∴PC＝，∵BP＝BC﹣PC，∴BP＝，∴t＝÷1＝，综上所述：当t＝3或4或时，△PDE为等腰三角形．类型三：菱形中动点问题13．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点E是BD上不与点B和点D重合的一个动点，过点E分别作AB和AD的垂线，垂足为F，G，则EF+EG的值为（　　）A． B．2 C． D．4【解答】解：连接AC交BD于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝4，∵AB＝4，∴AO＝AB＝2，∴AC＝2AO＝4，OB＝＝2，∴，连接AE，∴S△ABD＝S△ABE+S△ADE，∴，∴EF+EG＝2，故选：A．14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从O点出发在线段AC上以1cm/s的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为t s．连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为6cm的等边三角形，当t＝　3　s时，四边形DEBF为正方形．【解答】解：由题意得OE＝OF＝t cm，∴EF＝2t cm，∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OB＝OD，AC⊥BD，∴四边形DEBF是菱形，∴当EF＝BD时，四边形DEBF是正方形，∵△ABD是边长为6cm的等边三角形，∴BD＝6cm，∴由EF＝BD得2t＝6，解得t＝3，∴当t＝3s时，四边形DEBF是正方形，故答案为：3．15．如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（　　）A． B． C． D．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠ADB＝∠ADC＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD，又∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF＝∠DEF＝60°，又∵∠ADB＝60°，∴∠ADE＝∠BDF，在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF（ASA），∴AE＝BF，∵AE＝t，CF＝2t，∴BF＝BC﹣CF＝5﹣2t，∴t＝5﹣2t∴t＝，故选：D．16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝16，BD＝12，则EF的最小值为（　　）A．8 B．6 C．4.8 D．2.4【解答】解：连接OP，作OH⊥AB于点H，∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×16＝8，OB＝OD＝BD＝×12＝6，∴∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝10，∵AB•OH＝OA•OB＝S△AOB，∴×10OH＝×8×6，解得OH＝4.8，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°，∴四边形PEOF是矩形，∴EF＝OP，∴OP≥OH，∴EF≥4.8，∴EF的最小值为4.8，故选：C．17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝12cm，AB＝18cm，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）用含t的式子表示PB．（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？（3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？【解答】解：（1）由于P从A点以1cm/s向B点运动，∴t s时，AP＝t×1＝t cm，∵AB＝18 cm，∴BP＝AB﹣AP＝（18﹣t）cm；（2）过B点作BN⊥CD于N点，∵AB∥CD，∠ADC＝90°，∴四边形ACNB是矩形，∴BN＝AD＝12 cm，AD＝DN＝18 cm，∵CD＝23 cm，∴CN＝CD﹣CN＝5 cm，∴Rt△BNC中，根据勾股定理可得：BC＝＝＝13 cm，则Q在BC上运动时间为13÷2＝6.5s，∵BC+CD＝23+13＝36 cm，∴Q运动时间最长为36÷2＝18 s，∴6.5 s≤t≤18 s时，Q在CD边上，此时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：①四边形PQCB是平行四边形，如图所示：∵AB∥CD即PB∥CQ，∴只需PB＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，∵Q以2cm/s沿沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，∴运动时间为t s时，CQ＝2 t﹣BC＝（2 t﹣13）cm，∴18﹣t＝2 t﹣13，解得：t＝ s；②四边形ADQP是平行四边形，如图所示：同理∵AP∥DQ，∴只需AP＝DQ，四边形ADQP是平行四边形，由（1）知：AP＝t cm，点DQ＝CD+CB﹣2 t＝（36﹣2t）cm，∴36﹣2t＝t，解得：t＝12 s，综上所述：当t＝ s或12 s时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；（3）设Q的速度为x cm/s，由（2）可知：Q在CD边上，此时四边形PBCQ可为菱形，∵PB∥CQ，∴只需满足PB＝BC＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，由（2）知：CQ＝（xt﹣13）cm，BC＝1 cm，∴18﹣t＝13，xt﹣13＝13，解得：t＝5 s，x＝5.2 cm/s，∴当Q点的速度为5.2 cm/s时，四边形PBCQ为菱形．类型四：正方形中动点问题18．如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延长BC到点E，使CE＝1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为 　2或7　．【解答】解：∵△DCE是直角三角形，∴△PBC为直角三角形，∴点P只能在AB上或者CD上，当点P在AB上时，有BP＝CE，∴BP＝CE＝1，∴AP＝2，∴t＝2÷1＝2，当点P在CD上时，有CP＝CE＝1，∴t＝（3+3+1）÷1＝7，故答案为：2或7．19．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为 　90°　；连接CP，线段CP的最小值为 　﹣1　．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．故答案为：90°，﹣1．20．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE交BC于点H，过H作GH⊥BD于G，连结AH．以下四个结论中：①AF＝HE；②∠HAE＝45°；③；④△CEH的周长为12．正确的结论有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①连接FC，延长HF交AD于点L，如图1，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝∠CDF＝45°．∵AD＝CD，DF＝DF，∴△ADF≌△CDF（SAS）．∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．∵∠ALH+∠LAF＝90°，∴∠LHC+∠DAF＝90°．∵∠ECF＝∠DAF，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC．∴FH＝AF，∵FH⊥AE，∴FH＜EH，∴AF＜EH，故①错误；∵FH⊥AE，FH＝AF，∴∠HAE＝45°，故②正确；∵F是动点，∴FG的长度不是定值，不可能，故③错误；④延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，如图2，则四边形LHCI为平行四边形，∴LI＝HC，∵HL⊥AE，CI∥HL，∴AE⊥CI，∴∠DIC+∠EAD＝90°，∵∠EAD+∠AED＝90°，∴∠DIC＝∠AED，∵ED⊥AM，AD＝DM，∴EA＝EM，∴∠AED＝∠MED，∴∠DIC＝∠DEM，∴180°﹣∠DIC＝180°﹣∠DEM，∴∠CIM＝∠CEM，∵CM＝MC，∠ECM＝∠CMI＝45°，∴△MEC≌△CIM（AAS），∴CE＝IM，∵E，F，H共圆，∠HFE＝90°，∴HE为直径，∵∠HCF＝90°，∴点C在以HE为直径的圆上，∴∠FHE＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠FAD＝∠FHE，∵∠AFL＝∠HFE，AF＝HF，∴△AFL≌△FHE（ASA），∴AL＝HE，∴HE+HC+EC＝AL+LI+IM＝AM＝12．故△CEH的周长为12，④正确．综上所述，②④正确．故选：B．21．如图，正方形ABCD的边长为2cm，E是边AD的中点，P为对角线BD上一动点，连接PA、PE，当点P移动到使∠BPA＝∠DPE时，AP+PE的值为（　　）A． B． C． D．【解答】解：取CD的中点F．∵正方形ABCD的边长为2cm，E是边AD的中点，∴∠ADB＝∠CDB，DE＝DF＝1cm，∵DP＝DP，∴△DPE≌△DPF，∴∠DPF＝∠DPE，PE＝PF，∴AP+PE＝AP+PF．∵∠BPA＝∠DPE，∴∠DPF＝∠BPA．∵∠BPA+∠APE+∠DPE＝180°，∴∠DPE+∠APE+∠DPE＝180°，∴A，P，F共线，∴AP+PE＝AP+PF＝AF．∵，∴．故选：B．22．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E为AB上一动点．连接OE，作OF⊥OE交BC于点F，已知AB＝2，则四边形EBFO的面积为（　　）A．1 B．2 C． D．4【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠ABC＝∠BCD＝90°，AC⊥BD，∴AC＝BD＝2，∠ABO＝∠OBC＝∠BCO＝∠ACD＝45°，∴OB＝OC＝OD＝OA＝，∵AC⊥BD，∴∠AOB＝∠BOC＝90°，∴∠AOE+∠BOE＝90°，∠COF+∠BOF＝90°，∵OF⊥OE，∴∠BOE+∠BOF＝90°，∴∠BOE＝∠COF，在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF（SAS），∴S△BOE＝S△COF，∴S四边形EBFO＝S△COF+S△DOF＝S△DOC，∵AB＝2，∴S正方形ABCD＝4，∴SS正方形ABCD＝1，∴四边形EBFO的面积为1．故选：A．23．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿B→C→D方向，向点D运动；动点Q从点A出发，以1cm/s的速度、沿A→B方向，向点B运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为ts．（1）连接PD、PQ、DQ，求当t为何值时，△PQD的面积为11cm2；（2）当点P在BC上运动时，是否存在这样的t，使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当点P在BC上时，即0≤t≤2，如图1，AQ＝t，BQ＝4﹣t，BP＝2t，PC＝4﹣2t，∵S△PDQ＝S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△CPD，∴16﹣•4•t﹣•（4﹣t）•2t﹣•4•（4﹣2t）＝11，整理得t2﹣2t﹣3＝0，解得t1＝﹣1，t2＝3，都不合题意舍去；当点P在CD上时，即2＜t≤4，AQ＝t，DP＝8﹣2t，∵S△PDQ＝BC•DP，∴•4（8﹣2t）＝11，解得t＝（不合题意舍去），∴不存在t的值，使△PQD的面积为11cm2；（2）存在．如图2，AQ＝t，BQ＝4﹣t，BP＝2t，PC＝4﹣2t（0≤t≤2），当DP＝DQ时，∵DC＝DA∴Rt△DPC≌Rt△DAQ，∴PC＝AQ，即4﹣2t＝t，解得t＝；当PD＝PQ时，在Rt△PBQ中，PQ2＝PB2+BQ2＝（2t）2+（4﹣t）2，在Rt△PBCD中，PD2＝PC2+CD2＝（4﹣2t）2+42，∴（2t）2+（4﹣t）2＝（4﹣2t）2+42，整理得t2+8t﹣16＝0，解得t1＝﹣4﹣4（舍去），t2＝4﹣4，∴t＝或4﹣4时，△PQD是以PD为一腰的等腰三角形．