广东省广州市华侨中学等三校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

这是一份广东省广州市华侨中学等三校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．（5分）已知空间向量＝（m+1，m，﹣2），＝（﹣2，1，4），且⊥，则m的值为（ ）
A．﹣B．﹣10C．10D．
3．（5分）圆x2+y2﹣2x+6y＝0的圆心到x﹣y+2＝0的距离为（ ）
A．B．2C．3D．3
4．（5分）有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，至少有1名女生的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（ ）
A．A与B互斥B．B与C互为对立
C．A与B相互独立D．A与C相互独立
6．（5分）已知O空间任意一点，A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，若，则2xy的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知点A（1，2）在圆C：x2+y2+mx﹣2y+2＝0外，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣3，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣3，﹣2）∪（3，+∞）
C．（﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）
8．（5分）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记P（a，b）．若斜坐标系中，x轴正方向和y轴正方向的夹角为θ，则该坐标系中M（x1，y1）和N（x2，y2）两点间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部份分。
（多选）9．（6分）下列命题正确的有（ ）
A．两平行线间的3x+4y+5＝0，3x+4y﹣5＝0距离为2
B．过点（1，1）且在两坐标轴上截距相等的直线有两条
C．直线3x+4y+5＝0的方向向量可以是＝（3，4）
D．直线ax+2y+4＝0与直线x+（a﹣1）y+2＝0平行，则a＝﹣1或1
（多选）10．（6分）已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ）
A．
B．
C．若A与B相互独立，则
D．一定有B⊆A
（多选）11．（6分）如图，点P是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一个动点，则（ ）
A．当P在平面BCC1B1上运动时，三棱锥P﹣AA1D的体积为定值4
B．当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是
C．若F是A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF∥平面B1CD1时，PF长度的最小值是
D．使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知点A（1，0），B（3，0），C（1，2）在圆上，则该圆的标准方程为 ．
13．（5分）在棱长为4的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则＝ ．
14．（5分）甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）直线l经过两直线l1：3x+4y﹣2＝0和l2：2x+y+2＝0的交点．
（1）若直线l与直线3x+y﹣1＝0垂直，求直线l的方程；
（2）若点A（3，1）到直线l的距离为5，求直线l的方程．
16．（15分）已知圆心为C的圆经过点A（﹣3，0）和点B（1，0）两点，且圆心C在直线y＝x+1上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知线段MN的端点M的坐标（3，4），另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程．
17．（15分）质量监督局检测某种产品的三个质量指标x，y，z，用综合指标Q＝x+y+z核定该产品的等级．若Q≤5，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：
（1）利用表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标均满足Q≤4”，求事件B的概率．
18．（17分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，△BCE为等边三角形，平面ACD⊥平面CDE，AC⊥CD，二面角D﹣AC﹣E的大小为60°．
（1）求证：CD∥平面ABE；
（2）若AC＝BC＝2，点G为线段AB上的点，若直线CB与平面CEG所成角的正弦值为，求线段AG的长度．
19．（17分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ADEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AE和BD上移动，且EM和DN的长度保持相等，记，活动弹子Q在EF上移动．
（1）求证：直线MN∥平面CDE；
（2）Q为线段EF上的点，求EB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
2024-2025学年广东省广州市华侨中学三校联考高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】D
【分析】根据方程可得斜率，进而可得倾斜角．
【解答】解：由直线，可得，
即其斜率，
设直线的倾斜角为0°≤α＜180°，
则，α＝150°．
故选：D．
2．（5分）已知空间向量＝（m+1，m，﹣2），＝（﹣2，1，4），且⊥，则m的值为（ ）
A．﹣B．﹣10C．10D．
【答案】B
【分析】直接利用向量垂直的充要条件和向量的坐标运算的应用求出结果．
【解答】解：空间向量＝（m+1，m，﹣2），＝（﹣2，1，4），且⊥，
所以﹣2（m+1）+m﹣8＝0，
解得m＝﹣10．
故选：B．
3．（5分）圆x2+y2﹣2x+6y＝0的圆心到x﹣y+2＝0的距离为（ ）
A．B．2C．3D．3
【答案】D
【分析】求解圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x+6y＝0的圆心（1，﹣3），
圆x2+y2﹣2x+6y＝0的圆心到x﹣y+2＝0的距离：d＝＝3．
故选：D．
4．（5分）有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，至少有1名女生的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】基本事件总数n＝＝10，至少有1名女生包含的基本事件个数m＝＝9．由此能求出至少有1名女生的概率．
【解答】解：有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，
基本事件总数n＝＝10，
至少有1名女生包含的基本事件个数m＝＝9．
∴至少有1名女生的概率为P＝＝．
故选：D．
5．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（ ）
A．A与B互斥B．B与C互为对立
C．A与B相互独立D．A与C相互独立
【答案】D
【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析A，由对立事件的定义分析B，由相互独立事件的性质分析C、D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，抛掷一枚质地均匀的骰子两次，其中第一次在前，第二次在后，
样本空间Ω如下：{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共36个样本点；
依次分析选项：
对于A，AB＝{（3，1）}，事件A、B可以同时发生，即事件A、B不互斥，A错误；
对于B，事件B、B互斥但不对立，B错误；
对于C，A＝{（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）}
B＝{（1，3），（2，2），（3，1）}；
P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（AB）＝，事件A、B不相互独立，C错误；
对于D，C＝{（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}，
AC＝{（3，4）}，
P（A）＝＝，P（C）＝＝，P（AC）＝，
则A与C相互独立，D正确．
故选：D．
6．（5分）已知O空间任意一点，A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，若，则2xy的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据四点共面得出，再分类结合基本不等式计算求解．
【解答】解：因为A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，得出，x，y都不是0，
当x＞0，y＞0时，，计算可得，2xy的最大值为，当且仅当时取最大值；
当2xy＜0时，，
所以2xy的最大值为．
故选：C．
7．（5分）已知点A（1，2）在圆C：x2+y2+mx﹣2y+2＝0外，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣3，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣3，﹣2）∪（3，+∞）
C．（﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）
【答案】A
【分析】由x2+y2+mx﹣2y+2＝0表示圆可得，由点A在圆C外得，求交集即可求出m的取值范围．
【解答】解：圆C：x2+y2+mx﹣2y+2＝0，方程可化为（x+）2+（y﹣1）2＝，
∴，∴m＜﹣2或m＞2，
∵点A（1，2）在圆C外，
∴，解得m＞﹣3，
∴﹣3＜m＜﹣2或m＞2，
∴m的取值范围为（﹣3，﹣2）∪（2，+∞）．
故选：A．
8．（5分）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记P（a，b）．若斜坐标系中，x轴正方向和y轴正方向的夹角为θ，则该坐标系中M（x1，y1）和N（x2，y2）两点间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设与x轴方向相同的单位向量为，与y轴方向相同的单位向量为，则＝x1+y1，＝x2+y2，利用向量的线性运算求出＝（x1﹣x2）+（y1﹣y2），再利用模的运算及数量积的运算即可求解|MN|，从而可得结论．
【解答】解：设与x轴方向相同的单位向量为，与y轴方向相同的单位向量为，则＝x1+y1，＝x2+y2，
则＝﹣＝（x1﹣x2）+（y1﹣y2），
所以||2＝[（x1﹣x2）+（y1﹣y2）]2
＝（x1﹣x2）22+（y1﹣y2）22+2（x1﹣x2）（y1﹣y2）•
＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2+2（x1﹣x2）（y1﹣y2）csθ，
所以|MN|＝．
故选：A．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部份分。
（多选）9．（6分）下列命题正确的有（ ）
A．两平行线间的3x+4y+5＝0，3x+4y﹣5＝0距离为2
B．过点（1，1）且在两坐标轴上截距相等的直线有两条
C．直线3x+4y+5＝0的方向向量可以是＝（3，4）
D．直线ax+2y+4＝0与直线x+（a﹣1）y+2＝0平行，则a＝﹣1或1
【答案】AB
【分析】计算平行直线的距离得到A正确；截距相等的直线有y＝x和y＝﹣x+2，B正确；直线的一个方向向量是，C错误；当a＝2时，两直线重合，D错误．
【解答】解：两平行线3x+4y+5＝0，3x+4y﹣5＝0间的距离为，A正确；
过点（1，1）且在两坐标轴上截距相等的直线有y＝x和y＝﹣x+2，B正确；
直线3x+4y+5＝0的一个方向向量是，C错误；
当a＝1时，两直线不平行，D错误．
故选：AB．
（多选）10．（6分）已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ）
A．
B．
C．若A与B相互独立，则
D．一定有B⊆A
【答案】ABC
【分析】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合相互独立事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断．
【解答】解：对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，
又0≤P（AB）≤P（A），且0≤P（AB）≤P（B），则，
所以，即，故B正确；
对于C，因为A与B相互独立，则，
则，故C正确；
对于D，记事件A＝“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，
事件B＝“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”，
则满足，，但B⊆A不成立，故D错误．
故选：ABC．
（多选）11．（6分）如图，点P是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一个动点，则（ ）
A．当P在平面BCC1B1上运动时，三棱锥P﹣AA1D的体积为定值4
B．当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是
C．若F是A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF∥平面B1CD1时，PF长度的最小值是
D．使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为
【答案】BD
【分析】对A：由△AA1D的面积不变，点P到平面AA1D1D的距离不变，求出体积即可；
对B：以D为原点，建立空间直角坐标系，设P（x，2﹣x，0），
则，，结合向量的夹角公式，可判定B正确；
对C：设P（m，n，0），求得平面CB1D1的一个法向量为＝（1，﹣1，﹣1），得到，可判定C错误；
对D：由直线AP与平面ABCD所成的角为45°，作PM⊥平面ABCD，得到点P的轨迹，可判定D正确．
【解答】解：对于A：△AA1D的面积不变，点P到平面AAD1D1的距离为正方体棱长，
所以三棱锥P﹣AA1D的体积不变，
且，所以A错误；
对于B：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，
可得A1（2，0，2），D1（0，0，2），C1（0，2，2），
设P（x，2﹣x，0），0≤x≤2，则，，
设直线D1P与A1C1所成角为θ，
＝＝，
因为0≤|x﹣1|≤1，
当|x﹣1|＝0时，
可得csθ＝0，所以，
当0＜|x﹣1|≤1时，＝，
由，
所以，
所以异面直线D1P与A1C1所成角的取值范围是，所以B正确；
对于C，由B1（2，2，2），D1（0，0，2），C（0，2，0），F（2，1，2），
设P（m，n，0），0≤m≤2，0≤n≤2，
则，，，
设平面CB1D1的一个法向量为，
则，
取a＝1，可得b＝﹣1，c＝﹣1，
所以＝（1，﹣1，﹣1），
因为PF∥平面B1CD，
所以＝（m﹣2）﹣（n﹣1）+2＝0，可得n＝m+1，
所以＝＝，
当m＝1时，等号成立，所以C错误；
对于D：因为直线AP与平面ABCD所成的角为45°，
由AA1⊥平面ABCD，得直线AP与AA1所成的角为45°，
若点P在平面DCC1D1和平面BCC1B1内，
因为∠B1AB＝45°，∠D1AD＝45°，故不成立；
在平面ADD1A1内，点P的轨迹是；
在平面ABB1A1内，点P的轨迹是；
在平面A1B1C1D1内，作PM⊥平面ABCD，如图所示，
因为∠PAM＝45°，所以PM＝AM，
又因为PM＝AB，所以AM＝AB，所以A1P＝AB，
所以点P的轨迹是以A1点为圆心，以2为半径的四分之一圆，
所以点P的轨迹的长度为，
综上，点P的轨迹的总长度为，所以D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知点A（1，0），B（3，0），C（1，2）在圆上，则该圆的标准方程为 （x﹣2）2+（y﹣1）2＝2 ．
【答案】（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2．
【分析】根据题意，由•＝0得到∠BAC＝90°，可知△ABC的外接圆是以BC为直径的圆，然后求出圆的半径与圆心坐标，可得所求圆的标准方程．
【解答】解：根据题意，经过A、B、C三点的圆是△ABC中的外接圆，
由＝（2，0），＝（0，2），•＝0，可知⊥，
因为∠BAC＝90°，所以△ABC的外接圆是以BC为直径的圆，
由|BC|＝＝，可知圆半径R＝|BC|＝，
结合圆心为BC的中点M（2，1），可得圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2．
故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2．
13．（5分）在棱长为4的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则＝ 8 ．
【答案】8．
【分析】直接利用向量的线性运算和数量积运算求出结果．
【解答】解：如所示：
所以：＝＝8．
故答案为：8．
14．（5分）甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分两种情况讨论：（1）第一局甲胜，第二局乙胜：（2）第一局乙胜，第二局甲胜．分析出每局输赢的情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率．
【解答】解：分两种情况讨论：
（1）第一局甲胜，第二局乙胜：
若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，
若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，
所以第一局甲胜，第二局乙胜的概率为；
（2）第一局乙胜，第二局甲胜：
若第一局甲执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，
若第一局乙执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，
所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为．
综上所述，甲、乙各胜一局的概率为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）直线l经过两直线l1：3x+4y﹣2＝0和l2：2x+y+2＝0的交点．
（1）若直线l与直线3x+y﹣1＝0垂直，求直线l的方程；
（2）若点A（3，1）到直线l的距离为5，求直线l的方程．
【答案】（1）x﹣3y+8＝0；
（2）x＝﹣2或12x﹣5y+34＝0．
【分析】（1）联立方程组，求得两直线的交点坐标，利用垂直关系求得斜率，结合点斜式方程，即可求解；
（2）分直线的斜率存在与不存在，结合点到直线的距离公式求得斜率，利用点斜式方程，即可求解．
【解答】解：（1）联立方程组，
解得，
所以交点坐标为（﹣2，2），
又因为直线l与直线3x+y﹣1＝0 垂直，所以直线l的斜率为，
则直线l的方程为，即x﹣3y+8＝0；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣2，满足点A（3，1）到直线l的距离为5；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2＝k（x+2），即kx﹣y+2k+2＝0，
则点A到直线l的距离为，
解得，
故直线l的方程为＝0，即12x﹣5y+34＝0，
综上可得，直线l的方程为x＝﹣2或12x﹣5y+34＝0．
16．（15分）已知圆心为C的圆经过点A（﹣3，0）和点B（1，0）两点，且圆心C在直线y＝x+1上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知线段MN的端点M的坐标（3，4），另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程．
【答案】（1）（x+1）2+y2＝4．
（2）（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1．
【分析】（1）设圆心坐标为C（a，a+1），根据A、B两点在圆上利用两点的距离公式建立关于a的方程，解出a值．从而算出圆C的圆心和半径，可得圆C的方程．
（2）设出点G、N的坐标，再由中点坐标公式用G点的坐标表示N点的坐标，再代入圆的方程，整理后得到点G轨迹方程．
【解答】解：（1）由圆心C在直线y＝x+1上，可设圆心的坐标为C（a，a+1），
再根据圆C经过点A（﹣3，0）和点B（1，0），可得|CA|＝|CB|，
即（a+3）2+（a+1）2＝（a﹣1）2+（a+1）2＝r2，解得a＝﹣1，r2＝4，
可得圆心C的坐标是（﹣1，﹣1），r＝2，
∴圆C的标准方程为（x+1）2+y2＝4；
（2）设N（x1，y1），G（x，y），
∵线段MN的中点是G，
∴由中点公式得x1＝2x﹣3，y1＝2y﹣4，
∵N在圆C上，∴（2x﹣2）2+（2y﹣4）2＝4，即（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1．
17．（15分）质量监督局检测某种产品的三个质量指标x，y，z，用综合指标Q＝x+y+z核定该产品的等级．若Q≤5，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：
（1）利用表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标均满足Q≤4”，求事件B的概率．
【答案】（1）0.6；
（2）．
【分析】（1）根据题意，用综合指标Q＝x+y+z计算出10件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求；
（2）根据题意，用列举法分析“随机抽取2件产品的所有可能结果”和“事件B发生的所有可能结果”，由古典概型公式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，计算10件产品的综合指标S，如下表：
其中Q≤5的有A1，A2，A4，A6，A9，A10共6件，故该样本的一等品率为，
从而估计该批产品的一等品率为0.6．
（2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为：{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A6}，{A1，A9}，{A1，A10}，
{A2，A4}，{A2，A6}，{A2，A9}，{A2，A10}，{A4，A6}，
{A4，A9}，{A4，A10}，{A6，A9}，{A6，A10}，{A9，A10}共15种．
在该样本的一等品中，综合指标均满足Q≤4的产品编号分别为A1，A9，A10，
则事件B发生的所有可能结果为A1，A9}，{A1，A10}，{A9，A10}共3种，
所以．
18．（17分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，△BCE为等边三角形，平面ACD⊥平面CDE，AC⊥CD，二面角D﹣AC﹣E的大小为60°．
（1）求证：CD∥平面ABE；
（2）若AC＝BC＝2，点G为线段AB上的点，若直线CB与平面CEG所成角的正弦值为，求线段AG的长度．
【答案】（1）证明见解答．
（2）AG的长为．
【分析】（1）证明AC⊥CD，推出AC⊥平面CDE．说明∠ECD为二面角D﹣AC﹣E的平面角，推出CD∥BE．然后证明CD∥平面ABE．
（2）取BE的中点F，连结CF．说明AC，CF，CD两两垂直．以C为坐标原点，的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，求出平面CEG的法向量，利用空间向量的数量积求解直线CB与平面CEG所成的角为，解得，然后求解AG的长．
【解答】（1）证明：在四棱锥A﹣BCDE中，
因为平面ACD⊥平面CDE，平面ACD∩平面CDE＝CD，AC⊥CD，AC⊂平面ACD，
所以AC⊥平面CDE．
又CE，CD⊂平面CDE，所以AC⊥CE，AC⊥CD．
所以∠ECD为二面角D﹣AC﹣E的平面角，所以∠ECD＝60°，
又∠BEC＝60°，所以CD∥BE．
又BE⊂平面ABE，CD⊄平面ABE，
所以CD∥平面ABE．
（2）解：取BE的中点F，连结CF．则CF⊥BE，又BE∥CD，所以CF⊥CD．
又AC⊥平面CDE，CF⊂平面CDE，所以AC⊥CF，所以AC，CF，CD两两垂直．
以C为坐标原点，的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，
则A（0，0，2），，C（0，0，0），，
则，，，
设，得，所以，
设平面CEG的法向量为，则，即，
不妨令，可得为平面CEG的一个法向量，
设直线CB与平面CEG所成的角为α，
则，解得，
所以AG的长为．
19．（17分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ADEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AE和BD上移动，且EM和DN的长度保持相等，记，活动弹子Q在EF上移动．
（1）求证：直线MN∥平面CDE；
（2）Q为线段EF上的点，求EB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）在平面ADEF内，过点M作MG∥DE，交AD于点G，连接NG，MN．由已知可证明GN∥CD，进而根据线面平行以及面面平行的判定定理得出平面MNG∥平面CDE，然后即可根据面面平行的性质，得出证明；
（2）以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设Q（t，0，1），0≤t≤1，求出，以及平面QCD的一个法向量，设线面角为θ，根据向量表示出，分b＝0以及0＜t≤1，结合基本不等式，即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：在平面ADEF内，过点M作MG∥DE，交AD于点G，连接NG，MN，
由MG∥DE，得，而，EM＝DN＝a，
则AM＝BN，，，于是GN∥AB，
又AB∥CD，则GN∥CD，而MG⊄平面CDE，MG∥DE，DE⊂平面CDE，
因此MG∥平面CDE，
同理GN∥平面CDE，又MG⊂平面MNG，GN⊂平面MNG，MG∩GN＝G，
则平面MNG∥平面CDE，而MN⊂平面MNG，
所以直线MN∥平面CDE．
（2）由平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，ED⊥AD，
ED⊂平面ADEF，得ED⊥平面ABCD，又DA⊥DC，
以点D为坐标原点，直线DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），C（0，1，0），E（0，0，1），B（1，1，0），设Q（t，0，1），0≤t≤1，
，，，
设是平面QCD的法向量，
则，则，
取x＝1，得，
设EB与平面QCD所成的角为θ，
则，
当t＝0时，；
当0＜t≤1时，＝，
而，当且仅当，
即t＝1时取等号，则，
因此，，
所以EB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为．产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标
（x，y，z）
（1，1，2）
（2，1，2）
（2，2，2）
（1，3，1）
（1，2，3）
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标
（x，y，z）
（1，2，2）
（2，3，1）
（3，2，1）
（1，1，1）
（2，1，1）
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标
（x，y，z）
（1，1，2）
（2，1，2）
（2，2，2）
（1，3，1）
（1，2，3）
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标
（x，y，z）
（1，2，2）
（2，3，1）
（3，2，1）
（1，1，1）
（2，1，1）
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
5
6
5
6
5
6
6
3
4