广东省名校联盟2024-2025学年高二上学期期中联合质量检测数学试卷(含答案)

这是一份广东省名校联盟2024-2025学年高二上学期期中联合质量检测数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知A与B是互斥事件，且，，则( )
A.0.5B.0.6C.0.8D.0.9
2．已知直线的倾斜角为，则实数m的值为( )
A.B.C.D.
3．已知坐标原点不在圆的内部，则m的取值可能为( )
A.1B.C.2D.
4．从三名男生和两名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为( )
A.B.C.D.
5．已知空间向量，，满足，，则与的夹角为( )
A.B.C.D.
6．若过点的直线l与圆交于M，N两点，则弦长的最小值为( )
A.4B.C.D.
7．已知点，，直线，若A，B位于直线l的两侧，则k的取值范围为( )
A.B.
C.D.
8．在中，，，若动点M满足，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“两次掷出的点数之和是5”，事件B表示“第二次掷出的点数是偶数”，C表示“两次掷出的点数相同”，D表示“至少出现一个奇数点”，则( )
A.A与C互斥B.A与B相互独立
C.B与D对立D.B与C相互独立
10．如图，已知正方体的棱长为2，O为正方体的中心，点E满足，则( )
A.平面
B.平面
C.在上的投影向量为
D.二面角的余弦值为
11．已知点P在圆上，点，，则下列说法正确的是( )
A.圆与圆O的公共弦方程为
B.满足的点P有2个
C.若圆N与圆O、直线均相切，则圆N的半径的最小值为
D.的最小值是
三、填空题
12．两个篮球运动员罚球时命中的概率分别是0.4和0.5，两人各罚一次球，则他们至少有一人命中的概率是________.
13．若点和点关于直线对称，则________.
14．已知，，是球M上三点，球心M的坐标为，P是球M上一动点，则三棱锥的体积的最大值为________.
四、解答题
15．在四棱柱中，四边形为菱形，，，，O为的中点.
(1)用，，表示，并求的值；
(2)求的值.
16．已知圆M经过点和，其圆心在直线上.
(1)求圆M的标准方程；
(2)若直线l过点且与圆M相切，求l的方程.
17．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
(1)求p和q的值；
(2)试求两人共答对3道题的概率.
18．如图，在四棱台中，平面，底面为正方形，，点P在线段上运动.
(1)证明：.
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
(3)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
19．定义：P是圆C外一点，过点P所作的圆C的两条切线，（M，N为切点）相互垂直，记圆D经过点P，M，N，C，则称P为圆C的“伴随点”，圆D为“伴随圆”.已知O为坐标原点，圆，P为圆O的“伴随点”，圆G为“伴随圆”.
(1)求点P所在曲线的方程.
(2)已知点P的横坐标为6，且位于第一象限.
（i）求圆G的方程；
（ii）已知M，N为过点P所作的圆O的两条切线的切点，直线与x，y轴分别交于点E，F，过点且斜率为k的直线l与圆G有两个不同的交点A，B，若，求l的方程.
参考答案
1．答案：D
解析：由，可得.
由于A与B是互斥事件，
故.
故选：D
2．答案：C
解析：直线的倾斜角为，
所以斜率一定存在，且，
直线即，
所以斜率，即.
故选：C
3．答案：A
解析：依题意，方程表示圆，则，解得.
因为坐标原点不在圆的内部，所以.
综上所述，，结合选项可知A符合题意.
故选：A
4．答案：B
解析：记三名男生为A，B，C，两名女生为1，2，
任意选出两人的样本空间为，共10个样本点，恰好一男生和一女生的样本点有6个，
所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为.
故选：B.
5．答案：C
解析：设与的夹角为.由，得，
两边平方得，所以，
解得.又，所以.
故选：C.
6．答案：C
解析：可化为，可得圆心，半径.
当时，最小，此时点C到l的距离，
所以的最小值为.
故选：C
7．答案：B
解析：由，可得，
所以直线l恒过点，
则，，
由题意，直线只需与线段相交（不包括端点）即可，
故k的取值范围为.
故选：B
8．答案：C
解析：设，则，即，
即点M的轨迹是以为圆心，2为半径的圆.
又，所以的取值范围为.
故选：C
9．答案：ABD
解析：试验的样本空间
，
，
，
.
事件，
，
，
.
对于A，A与C没有公共的基本事件，A与C互斥，A正确；
对于B，，，，，A与B相互独立，B正确；
对于C，显然，B与D可以同时发生，C错误；
对于D，，，，B与C相互独立，D正确.
故选：ABD.
10．答案：AD
解析：以D为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图，
则，，，，，，，，
所以，，，，.
设平面的法向量为，
则令，则.
因为，所以平面，A正确.
，所以不与平面平行，B错误.
在上的投影向量为，C错误.
易知平面的一个法向量为，设二面角的大小为，
则，D正确.
故选：AD
11．答案：ABD
解析：对于A，和两式作差，
可得，故A正确.
对于B，由，可得点P的轨迹是以为直径，3为半径的圆，
圆心的坐标为，两圆的圆心距为，
半径和与半径差分别为，，
由，得两圆相交，则满足条件的点P有2个，故B正确.
对于C，直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以圆N的半径的最小值为，故C错误.
对于D，设存在定点，使得点P在圆O上任意移动时均有.
设，则有，
化简得.因为，所以，
解得，则，所以，故D正确.
故选：ABD
12．答案：0.7/
解析：他们至少有一人命中的概率是.
故答案为：0.7
13．答案：
解析：因为点和点关于直线对称，
所以l是线段的垂直平分线，由，可得，解得.
又的中点坐标为，所以，解得.
故.
故答案为：.
14．答案：
解析：依题意，，，则，，
则，的面积为，，则球M的半径，
设平面的法向量为，则，令，得，
则点M到平面的距离，球面上的点到平面距离最大值为，
所以三棱锥的体积的最大值为.
故答案为：
15．答案：(1)，；
(2)
解析：（1）由题意可知：，
且，，，
则
；
（2）易知，
所以
.
16．答案：(1)；
(2)或
解析：（1）设圆M的标准方程为，
所以，
解得，，，
故圆M的标准方程为.
（2）由（1）可知圆心为，.
①当直线l的斜率不存在时，易得直线l的方程为，符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即
由题意，圆心到直线l的距离等于半径2，即，解得，此时直线l的方程为.
综上，所求直线l的方程为或.
17．答案：(1)，；
(2)
解析：（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，.
设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
则，.
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A与B相互独立，与相互互斥，所以，
.
由题意可得
即解得或
由于，所以，.
（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，.
由题意得，，，
，.
设{甲乙二人共答对3道题}，则.
由于和相互独立，与相互互斥，
所以.
所以，甲乙二人共答对3道题的概率为.
18．答案：(1)证明见详解；
(2)；
(3).
解析：（1）证明：因为平面，平面，
所以，，又为正方形，所以，，两两垂直，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
则，
所以
（2）由（1）可得，，
所以，
故异面直线与所成角的余弦值为
（3）设.
因为，所以，
则
由（1）可得，.
设平面的法向量为，
则取
设直线与平面所成的角为，
则
.
令，则，
所以
当，即时，取得最大值，最大值为1；
当，即时，取得最小值，最小值为.
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
19．答案：(1)；
(2)（i）；（ii）.
解析：（1）因为P为圆O的“伴随点”，所以四边形为正方形，
则，
所以点P的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，
故点P所在曲线的方程为.
（2）由题可知.
（i）因为四边形为正方形，所以圆心G的坐标为，
半径为，
故圆G的方程为.
（ii）因为直线为圆G与圆O的公共弦所在直线，
所以直线的方程为.
令，可得，令，可得，
所以.
由题意，可知直线l的方程为，
代入方程，整理得.
设，，则，，
所以
.
由题意可得，解得或.
经检验，当时，不满足；
当时，满足.
故l的方程为.