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    重庆市求精中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

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    重庆市求精中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

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    这是一份重庆市求精中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案),共20页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。



    一、选择题
    1.已知复数,则( )
    A.B.C.D.
    2.已知椭圆的左右焦点分别为、,过左焦点,作直线交椭圆C于A、B两点,则三角形的周长为( )
    A.8B.10C.12D.14
    3.在空间中,若向量,,共面,则( )
    A.B.C.D.6
    4.空间内有三点,,,则点P到直线的距离为( )
    A.B.C.2.D.
    5.已知圆,直线.则直线l被圆C截得的弦长为( )
    A.B.C.4D.
    6.在三棱锥中,G为的重心,,,,其中,,若交平面于点M,且,则的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    7.圆,P是直线上的动点,过点P作圆C的切线,切点为M,N,那么的最小值是( )
    A.B.C.D.4
    8.在中,,,,则的最大值为( )
    A.B.C.D.
    二、多项选择题
    9.下列说法正确的为( )
    A.在空间直角坐标系中,点关于平面的对称点为
    B.方程表示焦点在x轴的椭圆,则
    C.向量,向量,则向量在向量上的投影向量的坐标为
    D.圆与圆的公切线有2条
    10.已知圆,直线.则下列结论正确的是( )
    A.点P,Q为圆C上两点,P,Q关于直线l对称,则
    B.当时,圆C上恰有2个点到直线l的距离等于1
    C.若动点D在圆C上,点,则线段中点M的轨迹方程为
    D.直线l与曲线有两个交点,则实数m的取值范围是
    11.正方体的棱长为2,点M为正方形内的一个动点(含边界),Q为的中点,则下列结论正确的是( )
    A.当M与D重合时,平面
    B.当时,的最大值为
    C.当时,M的轨迹长度为
    D.若,则与平面所成角正弦值的最小值为
    三、填空题
    12.已知直线l的方程为,则直线的倾斜角为________
    13.在三棱锥中,,,,则该三棱锥的体积为________
    14.已知在曲线上,O为坐标原点,则的取值范围为________
    四、解答题
    15.(1)若直线和直线平行,求m的值及到的距离.
    (2)已知直线经过点,,求点关于直线对称点的坐标.
    16.已知圆心为C的圆经过点,,且圆心C在直线上.
    (1)求圆C的方程.
    (2)斜率为2的直线l与圆C交于A,B两点,,求直线l的方程.
    17.已知椭圆的左,右焦点分别为,,,点在上,为椭圆的一个动点.
    (1)求的方程.
    (2)当时,求的面积.
    (3)求的取值范围.
    18.如图,四棱锥,底面为菱形,,且均为锐角,,
    (1)求证:
    (2)当四棱锥体积为时,
    (i)时,求二面角的余弦值.
    (ii)是否存在的值,使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
    19.已知,,动点P满足,点P的轨迹为曲线.
    (1)求的方程.
    (2)曲线,曲线与曲线的交点为M,N.以为直径的圆H与x轴,y轴正半轴交点分别为E,F.
    (i)点Q在直线上移动,过Q作圆H的切线,切点为C,D,试问直线是否过定点?若是.求出这个定点;若否,请说明理由.
    (ii)G为圆H上异于E,F的一点,直线交y轴于点J,直线交x轴于点K,求证:为定值.
    参考答案
    1.答案:A
    解析:因为复数,所以.
    故选:A
    2.答案:A
    解析:由椭圆的定义得,,
    则的周长为.
    故选:A.
    3.答案:C
    解析:若向量,,共面,
    则,
    即,解得:.
    故选:C
    4.答案:D
    解析:因为,,,所以,
    所以直线的一个单位方向向量为,
    又,
    所以点P到直线的距离为.
    故选:D
    5.答案:C
    解析:圆心,半径,
    圆心到直线的距离为,
    所以直线l被圆C截得的弦长为.
    故选:C.
    6.答案:A
    解析:连结并延长交于N,因为G为重心,则N为中点,
    ,
    ,
    M,E,F,H四点共面,则,即,
    因为,,所以,解得:,
    ,,,
    即,
    故选:A
    7.答案:B
    解析:圆的圆心,半径为,
    如图所示:,
    当最小时四边形面积最小,因为,所以当四边形面积最小时最小,
    ,
    所以只需直线上的动点P到C的距离最小即可,其最小值为圆心到直线的距离,
    此时,
    .
    故选:B
    8.答案:D
    解析:由,,则,,
    在中,有,
    即,即,
    有,
    故,,
    ,

    ,
    其中,,
    则当,即时,有最大值,
    由,则,由,则,
    故可取,故有最大值.
    故选:D
    9.答案:BCD
    解析:对A:点关于平面的对称点为,故A错误;
    对B:若方程表示焦点在x轴的椭圆,则有,
    解得,即,故B正确;
    对C:,
    则向量在向量上的投影向量的坐标为,故C正确;
    对D:圆与圆的圆心分别为、,半径分别为、,
    则有,,,
    则,故圆与圆相交,
    故圆与圆的公切线有2条,故D正确.
    故选:BCD.
    10.答案:ACD
    解析:圆的圆心C的坐标为,半径为,
    对于A,因为点P,Q为圆C上两点,且P,Q关于直线l对称,
    所以圆心在直线上,故,解得,故A正确;
    对于B,当时,直线,圆心到直线l的距离为,
    所以圆C与直线l相交,且,
    则圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1,故B错误;
    对于C,设,,由题意得,
    解得,因为点圆上,
    代入化简得,故C正确;
    对于D,曲线曲线方程可化为,,
    该曲线表示以为圆心,半径为2的圆在x轴的上半部分,
    如图所示:
    令圆心到直线l的距离为,解得,
    又直线过定点,点,则,即,
    所以若直线l与曲线有两个交点,则实数m的取值范围是,故D正确;
    故选:ACD
    11.答案:ACD
    解析:对于A,当M与D重合时,如图,连接,
    因为平面,平面,
    所以,
    又,,平面,,
    所以平面,平面,则,
    同理,,且,是平面内两条相交直线,
    所以平面,即平面,故A正确;
    对于B,以点D为坐标原点,,,分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
    则,,,设,,,
    ,,当时,
    所以,即,
    所以,
    ,,故的最大值为,故B错误;
    对于C,因为,所以M在以Q为球心,为半径的球上,
    又M为侧面上的点,所以M在球被平面截得的交线上,
    取的中点G,则平面,,,
    所以点M在以点G为圆心,1为半径的圆上,如图所示,M的轨迹长度为.
    故C正确;
    对于D,如图,,,,
    因为,设,,则,
    由选项A,同理可证平面,且,
    设与平面所成角为,

    ,,
    ,故D正确.
    故选:ACD.
    12.答案:
    解析:由可得直线l的斜率为,则直线的倾斜角为.
    故答案为:.
    13.答案:或
    解析:设平面的一个法向量为,
    则,令,得,
    所以,
    所以点D到平面的距离为,

    ,
    所以该三棱锥的体积为.
    故答案为:.
    14.答案:
    解析:因为,
    ①当时,曲线C的方程为:
    即,即,此时,所以
    即,解得,所以曲线C是右半椭圆;
    ②当时,曲线C的方程为:,
    即,即
    此时,由得;
    由,即,得,得;
    由,解得或;
    综上所述:,
    曲线C是以为圆心,2为半径的圆在y轴左侧的部分,如图所示:
    表示点和点的距离及点和点的距离的和;
    当点A位于椭圆部分时,由椭圆的定义可知;
    当点A位于圆部分时,因为圆心,半径,所以,
    当点A与点B重合时,,
    当点A与点D或点E重合时,,
    此时,
    终上所述:当在曲线上时,,
    故答案为:
    15.答案:(1),,
    (2)
    解析:(1)因为,所以,解得,
    所以,,
    所以与的距离为.
    (2)因为,所以直线的方程为,即,
    设,则,解得,
    所以点的坐标为.
    16.答案:(1)
    (2)或
    解析:(1)由题意,中点为,直线的斜率为,
    则线段的垂直平分线方程为,
    圆心C在线段的垂直平分线上,由,解得,
    所以圆心C的坐标为,半径为,
    所以圆C的方程为.
    (2)因为,可得圆心C到直线l的距离,
    设直线的方程为,
    则,解得,
    所以直线l的方程为或.
    17.答案:(1)
    (2)
    (3)
    解析:(1)由题设得到,且,即,,
    故椭圆方程为:.
    (2)为椭圆上的一点,
    ,平方得①,
    在中,由余弦定理,得,
    即②,
    由,得,即,
    所以的面积.
    (3)设,则,所以,.
    因为,,
    .
    ,.
    所以的取值范围是.
    18.答案:(1)证明见解析;
    (2)(i);
    (ii)存在,
    解析:(1)过点P作平面于H,过H分别作,于M,N两点,连结,,
    因为平面,则,又,,,平面,
    所以平面,平面,则,
    同理,
    ,且为公共边,
    ,,
    在以及中,为公共边,,
    即点H在角平分线上,即,所以平面,
    因为平面,平面,所以,
    又底面为菱形,所以,,,平面,
    平面,平面,
    .
    (2)(i),
    所以,,
    过E作交于点F,则平面,
    过F作于点G,连结,
    因为平面,
    所以,又,,,平面,
    则平面,所以为二面角的平面角,
    ,
    ,且,所以,
    则,
    设二面角的平面角为,则,
    所以.
    (ii)设,在菱形中,,
    以O为原点,为x轴,为y轴建立空间直角坐标系,如图:
    则,,,,
    ,
    ,则,
    设平面的法向量,,,
    则,令得:,
    直线与平面所成角的正弦值为,
    解得:或(舍),
    所以.
    19.答案:(1)
    (2)(i)过定点为;
    (ii)证明见解析.
    解析:(1)设
    因为
    所以有
    经整理得
    (2)方程与方程联立
    求解得或
    所以圆H的方程为
    所以有,
    (i)设,,,
    易知圆H的圆心为原点O
    所以有,
    由向量数量积的几何意义可知,,
    所以有
    故C,D两点均满足直线
    所以直线的方程为
    过定点
    (ii)设
    则有,,,
    所以得到,,
    所以,,
    所以
    因为
    不妨设,,
    所以有
    继续化简得
    所以为定值4.

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