2024-2025学年苏科版数学九年级上册期末真题重组卷-（解析版）-A4

这是一份2024-2025学年苏科版数学九年级上册期末真题重组卷-（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了5C等内容，欢迎下载使用。

1. 如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数字不同外无其他差别，现从中任取一张卡片，将其数字记为，则使一元二次方程有实数根的概率是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、根据概率公式求概率，由一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式得出且，从而得出的取值可以是，，最后再由概率公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：一元二次方程有实数根，
，，
解得：，且，
的取值可以是，，
使一元二次方程有实数根的概率，
故选：D．
2. 若一组数据1、3、5、7、x的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，则x不可以是（ ）
A. 10B. 8C. 6D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查方差，观察两组数据分布特点，根据方差表示的是数据波动大小求解．
【详解】数据11、13、15、17、19中，相邻两个数相差为2，一组数据1，3，5，7，前4个数据也是相差2，数据波动一致，
∴若或时，两组数据方差相等，
当时1，3，5，7，的数据波动比11、13、15、17、19小，即方差更小，
当或时1，3，5，7，的数据波动比11、13、15、17、19大，即方差更大，
则的值不可能是10．
故选：A．
3. 若关于x的方程 是一元二次方程，则a的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的一般形式得到，即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
4. 为调查某班学生每天使用零花钱的情况，童老师随机调查了30名同学，结果如下表：
则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ）
A. 20、15B. 20、17.5C. 20、20D. 15、15
【答案】B
【解析】
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据.
【详解】20出现了9次,出现的次数最多,所以这30名同学每天使用的零花钱的众数为20元;
30个数据中,第15个和第16个数分别为15、20,它们的平均数为17.5,所以这30名同学每天使用的零花钱的中位数为17.5元.
故选B.
【点睛】本题为统计题,考查众数与中位数的意义.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错
5. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查配方法的掌握，关键在于一次项的系数等于2倍的二次项系数和常数项的乘积，根据配方法的原理，凑成完全平方式即可．
【详解】解：，
配方得：，
∴，
故选：A．
6. 高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面宽，净高，则此圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是圆的综合运用，熟练掌握垂径定理是解题的关键，先设此圆的半径为，则，，再由垂径定理求出的长，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：设此圆的半径为，则，，
∵，
∴米，
在中，
∴，
即，
解得米，
故选：A．
7. 如图，菱形的顶点A，B，C在上，过点B作的切线交的延长线于点D．若的半径为2，则的长为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，连接，根据切线的性质，菱形的性质推出为含30度角的直角三角形，进行求解即可．
【详解】解：连接，
∵过点B作的切线交的延长线于点D，
∴，
∵菱形的顶点A，B，C在上，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选D．
8. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程应用．设有x个球队参加比赛，根据“参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设有x个球队参加比赛，根据题意得：
．
故选：D
9. 如图，点A，B在上，且点A，O，B不在同一条直线上，点P是上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：①恰好存在一点P，使得；②若直线垂直于，则；③的大小始终不变．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理逐项分析即可得解，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．
【详解】解：①当点B，O，P三点在同一条直线上时，为的直径，
∴，故正确，符合题意；
②∵垂直于，，
则垂直平分AB，
∴，
又∵，
∴，
∴；故正确，符合题意；
③如图，当点P在优弧上时，
，
当点P在劣弧上时，，
∵与不一定相等，
∴的大小会变化，故③错误，不符合题意，
故选：A．
10. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角为60°，若圆曲线的半径千米，则这段圆曲线的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查弧长公式，切线的性质等知识，解题的关键是记住弧长公式．求出，再利用弧长公式求解．
【详解】解：∵，是切线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11. 若一组数据3，4，x，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查众数、中位数的意义和求法，众数指在一组数据中出现次数最多的数，而中位数是将一组数据排序后处在中间位置的一个数或两个数的平均数，根据众数的意义求出x的值，再根据中位数的意义，从小到大排序后，找出处在第3位的数即可．
【详解】解：∵数据3，4，x，6，7的众数是3，
因此，
将数据3，4，3，6，7排序后处在第3位的数是4，
因此中位数是4．
故答案为：4．
12. 甲、乙、丙三名运动员在5 次射击训练中，平均成绩都是8.5 环，方差分别是，，，则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是___________（填“甲”或“乙”或“丙”）．
【答案】乙
【解析】
【分析】本题考查了方差．根据方差的定义：方差反映一组数据的大小，方差越大，波动性越大，反之也成立”即可求解．
【详解】解：∵，，，，
∴这三名运动员中5次射击训练成绩最稳定的是乙，
故答案为：乙．
13. 如图，一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的9个小正方形构成．假设飞镖击中每1块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中黑色区域的概率是 ___．
【答案】
【解析】
【分析】用黑色小正方形的个数除以小正方形的总个数可得．
【详解】解：∵共有9种小正方形，其中黑色正方形的有3个，
∴小刚任意投掷飞镖一次，刚好击中黑色区域的的概率是=，
故答案为：．
【点睛】本题考查简单概率的计算，解决本题的关键是要知道黑色区域的面积和整个大正方形面积的比值.
14. 若关于x的一元二次方程的一个实数根是a，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了理解方程解的含义，把代入得，利用方程进行等式变形即可求解．
【详解】解：把代入得，
∴，
∴
，
故答案：．
15. 等腰三角形的边长是方程的解，则这个三角形的周长是________．
【答案】10或6或12
【解析】
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程．由等腰三角形的边长是方程的解，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当2是等腰三角形的腰时与当4是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可．
详解】解：，
，
解得：或，
等腰三角形的边长是方程的解，
当是等腰三角形的腰时，，不能组成三角形，舍去：
当是等腰三角形的腰时，，则这个三角形的周长为．
当边长为的等边三角形，得出这个三角形的周长为．
当边长为的等边三角形，得出这个三角形的周长为．
这个三角形的周长为10或或．
故答案为：10或或．
16. 如图所示，在宽为米、长为米的矩形地面上，修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，则道路的宽为______米．
【答案】
【解析】
【分析】将竖直方向的道路平移到矩形地面的右侧，将水平方向的道路平移至矩形的下方，从而得到空白部分为矩形，得出矩形的长和宽，运用面积公式得出一元二次方程，求解即可．
【详解】解：将竖直方向的道路平移到矩形地面的右侧，将水平方向的道路平移至矩形的下方，
设道路的宽为米，草坪的长为米，草坪的宽为米，
则，
解得：，（舍），
故道路的宽为米，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，运用平移的方式将原图形进行转化是解本题的关键．
17. 如图，点O是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则______°．

【答案】105
【解析】
【分析】连接，，根据正六边形的性质可得，是等边三角形，再证明四边形是菱形，以及是等腰三角形，分别求出，从而可得出结论．
【详解】解：∵六边形是正六边形，
∴
∵四边形是正方形，
∴
连接，，如图，

则是等边三角形，
∴
∴
∴四边形是菱形，，
∴
∴，
故答案为：105．
【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，正方形的性质，菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
18. 如图，是外一点，分别和相切于点，是弧上任意一点，过作的切线分别交于点，若，则的周长为______．
【答案】24
【解析】
【分析】本题考查切线长定理．由分别和相切于点，得出，由过作的切线分别交于点，得出，，由此进行计算即可．
【详解】解：分别和相切于点，，
，
过作的切线分别交于点，
，，
，
的周长为24，
故答案为：24．
三．解答题（共9小题）
19. 解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）移项得到，然后利用因式分解法解方程．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴或，
∴，；
【小问2详解】
解：，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
20. 如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．
（1）当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？
（2）当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为且．
（1）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域3，5，7有3种结果，根据概率公式求解即可．
（2）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于5区域2，3，4，5有4种结果，根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域3，5，7有3种结果，
所以指针指向奇数区域的概率是；
【小问2详解】
解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于5区域2，3，4，5有4种结果，
所以指针指向的数小于或等于5的概率是．
21. 方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为．
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得一元二次方程有两个实数根，判别式，求解一元一次不等式即可；
（2）根据根与系数的关系，求得，，代入求解即可．
【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，
∴，解得；
（2）由根与系数的关系，可得，
∵，
∴，
∴，符合题意，
∴
【点睛】此题考查了一元二次方程判别式与根的情况以及根与系数的关系，熟练掌握相关基本知识是解题的关键．
22. 已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，垂足为，的半径为，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定、同弧所对的圆周角相等、等边对等角、圆周角定理、三角形内角和定理、垂径定理、含度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，灵活运用知识点推理证明是解题的关键．
（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，由等边对等角得到，利用圆周角定理得到，利用三角形内角和定理，求得，即可证明直线是的切线；
（2）根据垂径定理得到，根据含度角的直角三角形的性质，得到，根据勾股定理计算，由，得出答案即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接，

∵是的直径，，垂足为，的半径为，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23. 配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值．
例如：求代数式的最值．
解：
（分离常数项）
（提二次项系数）
（配方）
当时，代数式取得最小值是3
运用以上方法，解答下列问题：
（1）求代数式的最值；
（2）关于的方程．求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根．
【答案】（1）代数式取得最大值是5
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的判别式．
（1）根据非负数得性质得，所以当时，式子有最大值5；
（2）由题意得，整理得，即可判断，进而得证结论．
【小问1详解】
解：
当时，代数式取得最大值是5；
【小问2详解】
证明：
无论取何值，方程总有两个不相等的实数根．
24. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD、CE交于点G，DG=2．
（1）求正六边形ABCDEF的边长；
（2）求阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算；
（1）根据圆内接正六边形的性质以及正三角形的性质进行计算即可；
（2）由扇形面积、三角形面积公式以及图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可．
【小问1详解】
解：如图，连接，则，
正六边形内接于，
是正三角形，
，
，
，
，
即正六边形的边长为；
【小问2详解】
在中，，，
，
．
25. 某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
【答案】(1) A社区居民人口至少有2.5万人；(2)50.
【解析】
【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；
（2）A社区的知晓人数＋B社区的知晓人数＝7.5×76%，据此列出关于m的方程并解答．
【详解】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5−x）万人，
依题意得：7.5−x≤2x，
解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
（2）依题意得：1.2（1＋m%）2＋1×（1＋m%）×（1＋2m%）＝7.5×76%，
设m%＝a，方程可化为：1.2（1＋a）2＋（1＋a）（1＋2a）＝5.7，
化简得：32a2＋54a−35＝0，
解得a＝0.5或a＝−（舍），
∴m＝50，
答：m的值为50．
【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．
26. 大数据监测显示，我国中学生的总体近视率达．为了了解学生的视力健康情况，某校从八、九年级各随机抽取20名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分4组：A．视力，视力正常；B．视力，轻度视力不良；C．视力，中度视力不良；D．视力，重度视力不良．下面给出了部分信息：
抽取的八年级学生的视力在C组的数据是：；
抽取的九年级学生的视力在C组的数据是；
被抽取的八、九年级学生视力的平均数、中位数、众数如下表：
（1）填空：______，______．
（2）根据以上数据分析，你认为该校八年级和九年级学生的视力情况谁更健康，请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级共有学生500人，请估计八年级学生视力正常的人数．
【答案】（1）；25
（2）八年级学生的视力健康情况总体更好一些，理由见解析
（3）150人
【解析】
【分析】本题考查了平均数、中位数的意义以及频数分布表，样本估计总体：
（1）根据中位数的定义解答即可；
（2）从平均数、中位数、众数各个方面分析即可；
（3）用样本估计总体即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：抽取的八年级学生的视力位于正中间的两个数均在B组，
∴；
，
∴；
故答案为：；25
【小问2详解】
解：八年级学生的视力健康情况总体更好一些，理由如下：
从平均数来看，两个班一样；
从众数和中位数来看，八年级学生的视力健康情况总体更好一些；
综上，八年级学生的视力健康情况总体更好一些；
【小问3详解】
解：，
即八年级学生视力正常的人数为150人．
27. 在△ABC中，，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F
（I）如图①，连接AD，若，求∠B的大小；
（Ⅱ）如图②，若点F为的中点，的半径为2，求AB的长．

【答案】(1)∠B=40°；(2)AB= 6.
【解析】
【分析】（1）连接OD，由在△ABC中, ∠C=90°，BC是切线,易得AC∥OD ,即可求得∠CAD=∠ADO ,继而求得答案;
（2）首先连接OF,OD,由AC∥OD得∠OFA=∠FOD ,由点F为弧AD的中点,易得△AOF是等边三角形,继而求得答案.
【详解】解:(1)如解图①,连接OD,

∵BC切⊙O于点D,
∴∠ODB=90°,
∵∠C=90°,
∴AC∥OD,
∴∠CAD=∠ADO,
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO=∠CAD=25°,
∴∠DOB=∠CAO=∠CAD＋∠DAO=50°,
∵∠ODB=90°,
∴∠B=90°－∠DOB=90°－50°=40°;
(2)如解图②,连接OF,OD,

∵AC∥OD,
∴∠OFA=∠FOD,
∵点F为弧AD的中点,
∴∠AOF=∠FOD,
∴∠OFA=∠AOF,
∴AF=OA,
∵OA=OF,
∴△AOF为等边三角形,
∴∠FAO=60°,则∠DOB=60°,
∴∠B=30°,
∵在Rt△ODB中,OD=2,
∴OB=4,
∴AB=AO＋OB=2＋4=6.
每天使用零花钱（单位：元）
5
10
15
20
25
人数
2
5
8
9
6
平均数
中位数
众数
八年级
482
4.9
九年级
4.82
4.8
4.7