北师大版2024-2025学年八年级数学上册第一次月考模拟卷（解析版）-A4

这是一份北师大版2024-2025学年八年级数学上册第一次月考模拟卷（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试范围：一单元—三单元）
一、选择题（共10道，每题3分，共30分）
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）．
A. B. 1.0101···C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．由此即可判定选择项．
【详解】解：A、是有理数，故本选项不符合题意；
B、是无限循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C、，属于无理数，故本选项符合题意；
D、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
2. 要使二次根式有意义，则不可以取的值是（ ）．
A. 2B. 3C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0求出x的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
∴四个选项中只有A选项符合题意，
故选：A．
3. 下列各点中，位于第二象限的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了点的坐标，解题的关键是正确掌握各象限内点的坐标特点．直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．
【详解】解：A、在第一象限，不符合题意；
B、在第四象限，不符合题意；
C、在第三象限，不符合题意；
D、在第二象限，符合题意；
故选：D．
4. 如图所示，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点在数轴上（点在点A左侧），且，则点所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据正方形的面积为5，即可求得它的边长为，再根据点A表示的数为1，，即可求解．
【详解】解：正方形的面积为5，
它的边长为，
点A表示的数为1，，
点所表示的数为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，求数轴上的点所表示的数，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
5. 如图所示的是一个长方体笔筒，底面的长、宽分别为和，高为，将一支长为的签字笔放入笔筒内，则签字笔露在笔筒外的的长度最少为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】长方体内斜对角线是最长的，当签字笔在笔筒里对角放置的时候露在外面的长度最小，求出笔筒的对角线长度即可得签字笔露在外面的最短长度．
【详解】解：由题意知：笔筒底面对角长为，
∴笔筒的对角线长：，
∵签字笔长，
∴签字笔露在笔筒外面的最短长度是：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6. 若与是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（ ）
A. 3B. C. 16D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平方根，由平方根的定义可知同一个数的两个不相等的平方根互为相反数，由此列方程求出m的值，进而求出或的平方即可．
【详解】解：与是同一个数的两个不相等的平方根，
，
解得，
，
，即这个数是9．
故选D．
7. 某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼（如图），在灯笼的侧面上，从顶点到顶点缠着一圈彩带，已知此灯笼的高为，底面边长为，则这圈彩带的长度至少为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是平面展开最短路径问题．画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：将三棱柱沿展开，其展开图如图，

则．
故选：C．
8. 把根号外的因式移到根号内，所得的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的性质，把放到根号内并变为，即可得到答案．
详解】解：．
故选：C．
9. 有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图的形状，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（ ）．
A 2024B. 2025C. 2026D. 2027
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，图形类变化规律，根据勾股定理得出规律经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是，即可得解，正确得出规律是解此题的关键．
【详解】解：由勾股定理可得：
“生长”次，“生长”出的两个正方形面积和等于原来正方形的面积，所有正方形面积和为；
“生长”次，“生长”出的四个正方形面积和等于第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为；
…，
经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是，
∴“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积之和为，
故选：B．
10. 观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
按照上述规律，计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意，可得，，，⋯⋯，再相加即可得解．
【详解】解：第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
……
第n个等式：，
∴
=，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律以及分母有理化，首先要理解题意，找到规律，并进行推导得到答案．
二、填空题（共5道题，每题3分，共15分）
11. 把无理数，，，﹣表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据无理数的估算求出各个无理数的取值范围，由此即可得出答案．
【详解】解：，
，即，
，
，
则在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
12. 设，，，将用“>”进行排列，则排列后的顺序是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了分母有理化，比较二次根式的大小．先把把各式化为最简根式或分母有理化，然后用求差法比较各数的大小．
【详解】解：，，
由，则，
由，则，
∴b最大，
又∵，
则．故．
故答案为：．
13. 如图，在正方形网格中，若小方格的边长均为，则是________ 三角形．

【答案】直角
【解析】
【分析】根据勾股定理和结合正方形网格分别求出、、的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状．
【详解】解：依题意，根据勾股定理得，
，
，
；
∵
∴，
∴，
∴是直角三角形．
故答案为：直角
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，充分利用网格是解题的关键．
14. 若，则______．
【答案】2024
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义，先根据得到，再化简绝对值计算即可．
【详解】解：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，矩形ABCD中，AD=3，AB=2．点E是AB的中点，点F是BC边上的任意一点（不与B、C重合），△EBF沿EF翻折，点B落在B´处，当DB´的长度最小时，BF的长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】先确定当，，E共线时，的值最小，再根据勾股定理解题即可．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形ABCD为矩形，
∴，，
∵，
又∵，，
∴，
∴当，，E共线时，的值最小，设此时点落在DE上的点处，设，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本道题考查了两点之间，线段最短、勾股定理（在直角三角形中，两直角边的平方之和等于斜边的平方） ．解题的关键是确定当，，共线时，的值最小．
三、解答题（16题8分，17题8分，18题8分）
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加减运算和乘法运算，需要注意，括号前面为“－”，则去括号要变号．
（1）利用乘法公式去括号，然后合并同类二次根式；
（2）先将二次根式化简为最简二次根式，然后合并同类二次根式．
小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 已知a是的小数部分，b是的整数部分．
（1）______，______；
（2）求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据夹逼法得到所在整数之间的位置，即可得到所在整数之间的位置，即可得到答案；
（2）根据（1）代入求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：，
，
，
是的小数部分，b是的整数部分，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：，
．
【点睛】本题考查根数整数部分与小数部分有关解法，解题的关键是夹逼法．
18. 在如图的平面直角坐标系中，各个顶点的坐标分别是．
（1）①请在此坐标系中画出；
②判断的形状是 三角形（填“锐角、直角、钝角”）；
（2）作关于y轴对称的对称图形，并写出点的坐标为 ；
（3）已知点P是y轴上一点，若，则点P坐标是 ．
【答案】（1）①画图见解析；②直角
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形的面积，关于x轴对称的点坐标，熟练掌握这些知识是解题的关键．
（1）①根据各点坐标画出即可；
②根据勾股定理逆定理可判断的形状；
（2）根据关于y轴对称的点坐标：纵坐标不变，横坐标互为相反数即可画出，并求出坐标；
（3）根据点P是y轴上一点，且，轴，可知点P到的距离等于2，即可求出点P坐标．
【小问1详解】
解：①如图所示：
②∵，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角；
【小问2详解】
解：如图所示，
点C关于y轴的对称点的坐标为，
故答案为：；
【小问3详解】
解：∵，
∴轴，且点C到直线的距离等于2，
∵点P是y轴上一点，且，
∴点P到的距离等于2，点P的横坐标为0，
∴点P坐标为或．
故答案为：或．
四、解答题（19题7分，20题10分，21题10分）
19. 如图，在四边形中，，，，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质，由勾股定理得出，由等腰直角三角形的性质得到，再由勾股定理逆定理得出为直角三角形，即，据此根据角的和差关系可得答案．
详解】解：如图：连接，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴为直角三角形，即，
∴．
20. 如图，数轴上点、、所表示的实数分别为、、，点到点的距离比点到点的距离多，设点所表示的实数为．

（1）写出实数的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）根据点到点的距离比点到点的距离多，得，结合点、、所表示的实数和图上的位置，代入计算，即可得出实数的值；
（2）把（1）中求出的x的值代入计算得的值，再把的值代入计算即可．
【小问1详解】
点、、所表示的实数分别为、、，点到点的距离比点到点的距离多，
，
【小问2详解】
，
，
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，数轴上两点间的距离，正确表示出线段长是解题的关键．
21. 有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物．
（1）小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路程最短？请你画出最短路线，并用箭头标注．
（2）求小虫爬行的最短路程长（不计缸壁厚度）．
【答案】（1）见解析 （2）小虫爬行的最短路线长为．
【解析】
【分析】本题考查最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．
（1）作关于的对称点，连接，与交于点，此时最短；
（2）为的斜边，根据勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：如图，
作点关于所在直线的对称点，
连接，与交于点，
则为最短路线；
【小问2详解】
解：因为，，
所以．
在中，，，，
所以．
由对称性可知，
所以：．
所以：小虫爬行的最短路线长为．
五、解答题（22题12分，23题12分）
22. 规定表示一对数对，给出如下定义：，将与称为数对的一对“对称数对”．
例如：当，时，，，
数对的一对“对称数对”为与．
（1）数对的一对“对称数对”是______ 与______ ；
（2）若数对一对“对称数”相同，则的值是多少？
（3）若数对的一个“对称数对”是，则的值是多少？
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用对称数对”的规定解答即可；
（2）利用对称数对”的定义列出关于的等式解答即可；
（3）利用对称数对”的定义列出关于的等式解答即可．
【小问1详解】
，，
数对的一对“对称数对”是与
故答案为：；．
【小问2详解】
数对的一对“对称数”相同，
，
．
【小问3详解】
数对的一个“对称数对”是，
，
．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
23. （1）如图1，在中．点D，E，F分别在边上，，．求证；
（2）如图2．在中．，．点D，F分别是边上的动点．且．以DF为腰向右作等腰．使得，．连接．
①试猜想线段之间的数量关系，并说明理由．
②如图3．已知，点G是的中点，连接．求的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）①，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）证明，即可证明结论；
（2）①根据，得到：，再根据，即可得解；
②在上截取，连接，作点G关于的对称点N，连接，，证明，利用对应边相等，和线段的转化，得到：，进而得到，根据对称得到：，当A、E、N三点共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
（2）①．
理由如下：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
②在上截取，连接，作点G关于的对称点N，连接，，
∵，，
同（1）可得：，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴E点在射线上运动，
∵G点与N的关于对称，
∴，
∴，
∴当A、E、N三点共线时，的值最小，最小值为，
∵，，
∴，
∴，
由对称性可知，，
∴，
∵点G是的中点，，
∴，
∴，
在中，，
∴的最小值为，
∴，的最小值为．