北师大版2024-2025学年八年级数学上册月考模拟卷（解析版）-A4

这是一份北师大版2024-2025学年八年级数学上册月考模拟卷（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 的算术平方根等于（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了求一个数的算术平方根，计算，由此解答即可，正确掌握算术平方根的定义：一个正数的平方等于a，则这个数是a的算术平方根，熟记定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴的算术平方根是，
故选：．
2. 下列各组数中不是勾股数的是（ ）
A 9，15，12B. 11，60，61C. 6，8，10D. 0.3，0.4，0.5
【答案】D
【解析】
【分析】若三个整数中两个小数的平方和等于大数的平方，则称这组数为勾股数，根据此含义即可判断．
【详解】根据勾股数的含义知，A、B、C三个选项的三组数均是勾股数， 选项D中的三个数都不是整数，故不是勾股数．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股数，关键是清楚勾股数的含义，特别注意它们必须是整数．
3. 下列六个数：，0，0.080080008，，，，其中无理数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的定义，二次根式，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
【详解】解：无理数有：，，，共3个，
故选：C．
4. 实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断，可得，再结合算术平方根的含义可得时，，再化简绝对值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴


．
故选A．
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，化简绝对值，整式的加减运算，掌握“算术平方根的含义与化简绝对值”是解本题的关键．
5. 的三边为、、，且，则是（ ）
A. 以为斜边的直角三角形B. 以为斜边的直角三角形
C. 以为斜边的直角三角形D. 钝角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，用勾股定理逆定理的条件去判断图中三角形是否为直角三角形即可，熟练掌握勾股定理的逆定理：若三角形三边满足，那么这个三角形是直角三角形是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
则是以为斜边的直角三角形，
故选：．
6. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二次根式的性质，除法法则和加减法则进行计算即可．
【详解】解：A、，故原题计算正确；
B、=3，故原题计算错误；
C、和不能合并，故原题计算错误；
D、=|-4|=4，故原题计算错误；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则．
7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（ ）
A. 1cmB. cmC. cmD. 2cm
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理求得，进而根据折叠的性质求得，设的长为，则，勾股定理求得，进而求得的长
【详解】 AC＝4 ，BC＝3，∠C＝90°，
翻折
,
设的长为，则，
在中，
即
解得
故选B
【点睛】本题考查了勾股定理与折叠，掌握勾股定理是解题的关键．
8. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，用二次根式的加减，乘除运算法则逐一判定即可求解，掌握二次根式的性质化简，二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，计算正确，故选项符合题意；
故选：D．
9. 如图，正方形的边落在数轴上，，以为圆心，长为半径作圆弧与数轴交于点，则点表示的数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理求出的长，即的长，由此即可求出点对应的数．
【详解】解：根据题意可得：，，
∴，
，
又∵点D在原点O的左侧，
点表示的数为，
故选：．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用以及实数与数轴的关系，得出的长是解题的关键．
10. 勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断．
【详解】解：A、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
，
整理可得，故A选项可以证明勾股定理；
B、大正方形面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，故B选项可以证明勾股定理，
C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，故C选项可以证明勾股定理，
D、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和，
，
以上公式为完全平方公式，故D选项不能说明勾股定理，
故选：D．
二、填空题（每题4分，共20分）
11. 若式子有意义，则实数x的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式以及分式有意义的条件得到，进行求解即可．
【详解】解：式子有意义，
，
，
故答案为：．
12. 比较大小：________．（填“>”、“<”或“=”）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了用作差法比较实数的大小；，可判断，即可求解；能根据“若，则．”进行比较大小是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
，
，
，
，
；
故答案：．
13. 已知一个数的两个平方根分别是和，则这个数是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一个数的平方根互为相反数，列式求解，可得平方根，再根据平方，可得这个数．
【详解】解：一个数的两个平方根分别是和，
，
解得，
，
的平方是，
故这个数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根，解题的关键是先根据平方根互为相反数，求出的值，再求出这个数．
14. 如图，圆柱形玻璃杯高为5cm，底面周长为12cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离是（杯壁厚度不计）_______cm．
【答案】10
【解析】
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′D=12=6，BD=BE+DE=5+3=8，
在直角△A′DB中，由勾股定理得，
A′B=．
则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
15. 如果，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，从而得到，，再代入，然后根据二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握二次根式有意义的条件，二次根式的性质是解题的关键．
三、计算题（共20分）
16. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）5 （4）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后进行合并；
（2）利用平方差运算；
（3）先化简二次根式，再根据混合运算法则运算；
（4）将括号内二次根式化为最简二次根式再合并，然后利用二次根式的除法法则计算．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
，
，
，
；
【小问3详解】
；
【小问4详解】
．
17. 求下列各式中的x：
（1）．
（2）．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等式的性质转化为，然后用直接开平方法解方程即可；
（2）根据等式的性质，可得乘方的形式，根据开立方的意义，可得一元一次方程，解一元一次方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
或，
或；
【小问2详解】
两边都乘以4得
开方得
．
【点睛】本题考查平方根、立方根的意义，等式的性质，掌握等式的性质和平方根、立方根的求法是正确计算的前提．
四、解答题（共70分）
18. 已知的立方根是4，的算术平方根是5，c是9的算术平方根，
（1）求a，b，c的值
（2）求的平方根．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据立方根的概念和算术平方根的概念进行求解即可；
（2）先代值计算，再根据平方根的定义进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，∴，∴；
∵，∴，∵，∴；
∵，∴；
【小问2详解】
把：代入得：
，
∵，
∴的平方根是：．
【点睛】本题考查平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根：一个数的平方是，叫做的平方根；算术平方根：一个非负数的平方是，叫做的算术平方根；立方根：一个数的立方是，叫做的立方根，是解题的关键．
19. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）风筝的高度为21.6米
（2）他应该往回收线8米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用；
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：由题意得：，
在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米)，
答：风筝的高度为21.6米；
【小问2详解】
解：由题意得，米，
米，
（米)，
（米)，
他应该往回收线8米．
20. 设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．
【答案】．
【解析】
【详解】试题分析：先找到介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可．
试题解析：因为4＜6＜9，所以2＜＜3，
即的整数部分是2，
所以2+的整数部分是4，小数部分是2+-4=-2，
即x=4，y=-2，所以=．
考点：1．估算无理数的大小；2．算术平方根．
21. 如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽米，求这辆送家具的卡车能否通过这个通道．

【答案】卡车可以通过
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，把本题转化为直角三角形利用勾股定理进行解答是关键．
卡车能否通过，关键是车高4米与的比较，为米，只需求AB，在直角三角形中，半径为米，车宽的一半为米，运用勾股定理求出AB即可．
【详解】解：通道宽米，高米，
∴通道上方半圆的直径为米，则半径为米，设圆心为，
∵装满家具的卡车，高米，宽米，如图所示，过直径的中点作直径的垂线，交下底边于点，车宽的一半为米，延长CB交半圆与点，
在中，由题意知，，
所以，
因为，
所以卡车可以通过．
22. 一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒，长方体高，底面是边长为的正方形，从顶点到顶点如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？

【答案】最短长度为．
【解析】
【分析】将长方体的侧面展开为一个平面，连接，即为最短路径；用勾股定理求出的长，即可得到答案．
【详解】解：把长方体的面沿棱展开至面上，构成矩形，连接，则点到的最短距离为的长度，

根据题意可得：，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
如图，把长方体的面沿棱展开至面，构成矩形，连接，则点到的最短距离为的长度，

根据题意可得：，，
由勾股定理得：，
∴，
∵
∴最短长度为．
【点睛】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解题的关键是将立体几何的问题转化成平面几何的问题来解决，勾股定理反映了直角三角形三条边的关系，利用勾股定理，给出任意两条边的长度，就可以求出第三条边的长度．
23. 如图，四边形中，．
（1）求证：
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）见详解 （2）234
【解析】
【分析】（1）连接，根据勾股定理计算出长，再利用勾股定理逆定理判定直角三角形，即可得到结论；
（2）利用和的面积求和，即可．
【小问1详解】
连接，
∵ ，
，
∵ ，即，
∴ ，
∴；
【小问2详解】
解：四边形的面积=．
故面积为：234．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理．关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
24. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．

（1）海港C会受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）海港C会受到台风影响，理由见解析
（2）台风影响该海港持续的时间有
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）过点C作于D点，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，再由三角形的面积公式可得，即可求解；
（2）当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形，根据勾股定理求出，从而得到，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，过点C作于D点，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
∴海港C会受到台风影响；
【小问2详解】
解：由（1）得，
如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形，
，
∴，
∵台风的速度为，
∴，
∴台风影响该海港持续的时间有．
25. 小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：
因为，所以．
所以，即．所以．
所以．
请根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ；
（2）计算：；
（3）若，求值．
【答案】（1）
（2）9 （3）5
【解析】
【分析】（1）根据分母有理化的方法求解即可；
（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解；
（3）首先化简，然后把所求的式子化成代入求解即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
原式
；
【小问3详解】
，
则原式，
当时，原式．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键．
26. 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法如图，火柴盒的一个侧面ABCD（是一个长方形）倒下到AB＇C＇D＇的位置连接AC、AC＇、CC＇，设AB=a ，BC=b，AC=c．
（1）试用a，b有关的代数式表示梯形BCC＇D＇的面积；
（2）试用a，b，c有关的代数式分别表示△ABC，△AD＇C＇，△AC＇C的面积
（3）由（1）和（2）的结论证明勾股定理：．
【答案】（1）；（2），；（3）证明见详解．
【解析】
【分析】（1）根据梯形面积公式表示梯形的面积；
（2）根据三角形面积公式分别表示ΔABC、△、△的面积；
（3）根据，列出方程并整理可证．
【详解】解：（1）梯形的面积；
（2），
为直角三角形，
，；
（3）由图形可知，
则
．
因此，．
【点睛】本题考查了代数式，三角形的面积和勾股定理的证明，熟悉相关性质并能结合图形进行求解是解题的关键．