河北省保定市第十三中学2024-2025学年八年级上学期10月测试数学试题（解析版）-A4

这是一份河北省保定市第十三中学2024-2025学年八年级上学期10月测试数学试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

满分：120分；考试时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本大题共16小题，1～10小题每题3分，11～16每题2分，共42分）
1. 在实数中无理数的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的定义进行判断即可．
【详解】解：中是无理数，有2个；
故选B
【点睛】本题考查无理数．熟练掌握无理数的定义：无限不循环小数，是解题的关键．
2. 实数9的算术平方根是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可．
【详解】A．2，此选项错误；
B．是最简二次根式，此选项正确；
C．2，此选项错误；
D．，此选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断．
4. 下列说法中正确的是（ ）
A. 没有立方根B. 的立方根是
C. 立方根是D. 的立方根是
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了立方根的定义，正确得出各数的立方根是解题关键．
利用立方根的定义分别分析得出正确答案即可．
【详解】解：A、的立方根是，故此选项错误；
B、的立方根是，故此选项错误；
C、的立方根是，故此选项错误；
D、的立方根是，故此选项正确；
故选：D．
5. 如图，如果小明的位置用表示，小华的位置用表示，那么小刚的位置可以表示成( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用小军和小华的位置表示的坐标建立直角坐标系，然后写出小刚所在点的坐标即可．
【详解】解：∵小明的位置用表示，小华的位置用表示，
∴建立平面直角坐标系如下图，
∴小刚的位置可以表示为．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面直角坐标系中特殊位置点的坐标特征．
6. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A. B. aC. D. b
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值性质和实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．直接利用数轴上，的位置，进而得出，，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：由图可知：，，
．
故选：D
7. 下列根式不能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同类二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：、，与能合并，故本选项不符合题意；
、，不能与合并，故本选项符合题意；
、，与能合并，故本选项不符合题意；
、，与能合并，故本选项不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义的内容是解此题的关键．
8. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A. ﹣1﹣B. C. ﹣D. ﹣1 +
【答案】A
【解析】
【分析】根据图示，可得：点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出a的值为多少即可．
【详解】解：由勾股定理得：，
∴，
∴点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴和实数及勾股定理，能求出BD的长是解此题的关键．
9. 设面积为18的正方形的边长为a，下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③；④a是18的算术平方根；其中正确的是（ ）
A. ①③B. ②③C. ①②④D. ①③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数中无理数的概念，算术平方根的概念，实数与数轴的关系，估算无理数大小，有一定的综合性．
由于正方形的面积为18，利用正方形的面积公式即可计算其边长；
对于①结合无理数的定义即可判断其正误；
对于②根据实数与数轴上点的关系即可判断其正误；
对于③，估算这个数的取值范围即可判断其正误；
对于④，结合算术平方根的概念进行判断，问题即可解答．
【详解】由正方形的面积公式可得：．
①，是无理数，故①正确；
②实数与数轴上的点一一对应，故可用数轴上的一个点来表示，②正确；
③，故③错误；
④是18的算术平方根，故④正确．
所有正确说法的序号是①②④．
故选：C．
10. 若m＝，则m的取值范围是（ ）
A. 3＜m＜4B. 4＜m＜5C. 5＜m＜6D. 6＜m＜7
【答案】B
【解析】
【分析】估算出的范围即可．
【详解】解：∵16<17<25
∴4<<5
∴4＜m＜5
故选:B
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
11. 小明和小文相约去游乐园游玩，以下是他们的一段对话，根据两人的对话纪录，小文能从M超市走到游乐园门口的路线是（ ）
A. 向北直走，再向西直走B. 向北直走，再向西直走
C. 向北直走，再向西直走D. 向南直走，再向西直走
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据题意，画出坐标系，利用数形结合的思想进行求解即可．
【详解】解：根据题意建立直角坐标系，
由图可知：小文向北直走，再向西直走就能到游乐园门口了；
故选A．
12. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的加法法则，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了二次根式的加法运算，熟练掌握二次根式的加法法则是解题的关键．
13. 如图，正四棱柱的底面边长为10cm，侧棱长为16cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱侧面到点C′处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）cm
A 8B. 4C. 2D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形求出路径，比较即可解答．
【详解】解：把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形：
如图1中，，
如图2中，，
∵ ，
∴爬行的最短路径是cm．
故选B
【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，涉及了勾股定理的应用，解题的关键是将问题进行转化，然后根据勾股定理求解．
14. 的整数部分为，小数部分为，的值为（ ）
A. B. 2C. 7D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的运算、利用平方差公式进行计算，先估算出，得出，从而得出，，代入式子，利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：，
，即，
，
的整数部分为，小数部分为，
，，
，
故选：C．
15. 若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了实数比较大小，平方差公式，完全平方公式，通过得到，通过，利用完全平方公式和算术平方根得到，利用平方差公式得到，从而推出，据此可得答案．
【详解】解：
，
，
，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
16. 如图，在中，于点D，在上取点F，使得，，连结并延长交于点E，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，全等三角形的性质和判定．首先根据勾股定理求出，然后证明出，得到，然后利用等面积法求出，进而求解即可．
【详解】∵
∴
∵，
∴
∵，
又∵，
∴
∴
∴，
∴
∴
解得
∴．
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共3个小题，17题18题19题各3分，共9分）
17. 的倒数为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据倒数和实数运算的性质计算，即可得到答案.
【详解】的倒数
故答案为：.
【点睛】本题考查了实数的知识；解题的关键是熟练掌握倒数、实数运算的性质，从而完成求解.
18. 如图，有一张的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，得到折痕，则的面积为________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，明确翻折前后对应边相等是解题关键．
求解即可．设，由翻折易得，利用直角三角形，利用勾股定理列方程可求得长，即可求得，最后运用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：由题意得，
设，则，
∵，
∴在中，
根据勾股定理得：，
∵，
∴，解得，即：，
∴，
∴的面积为．
故答案为6．
19. 如图，，正方形和正方形的面积分别是和，则以为直径的半圆的面积是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得出，然后根据圆的面积公式即可求解．
【详解】解：，正方形和正方形的面积分别是289和225，
，
，
以为直径的半圆的面积是，
故答案为：
三、解答题
20. 把下列二次根式化成最简二次根式：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把32写成16×2，然后化简；
（2）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以2，然后化简；
（3）分子分母都乘以3，然后化简．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：；
【小问3详解】
解：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
21. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【答案】（1）1 （2）
（3）
（4）
（5）3
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算及实数的混合运算，熟练掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再计算除法和减法即可；
（2）先化简二次根式，再计算二次根式乘法，最后计算加减即可；
（3）先计算乘法，再计算加减法即可；
（4）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减法即可；
（5）先计算零指数幂的、负整数指数幂，化简绝对值，化简二次根式，再计算二次根式乘法，最后计算加减即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
；
【小问3详解】
解：原式
；
【小问4详解】
解：原式
；
【小问5详解】
解：原式
．
22. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了．

（1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
（2）这片绿地的面积是多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，问题随之得解；
（2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，再根据三角形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
如图，连接，
∵，，，
∴，
∴，
答：居民从点A到点C将少走路程．
【小问2详解】
∵，．，
∴，
∴是直角三角形，，
∴， ，
∴，
答：这片绿地的面积是．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．
23. 观察下列各式：①，②；③，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式：______；
（2）请用含的式子写出你猜想的规律：______；
（3）请证明（2）中的结论．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查二次根式有关的规律题，根据题意列递推等式，最终找出规律是解题关键．
（1）观察等式左右两边的式子结构，即可得出答案．
（2）观察等式左右两边的式子结构，即可得出第的式子．
（3）将化成，再进行完全平方公式因式分解，并开方即可．
【小问1详解】
解：根据规律，第④个等式为：．
【小问2详解】
解：根据规律，第的式子为：．
【小问3详解】
证明：∵，
∴．
24. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
因为，所以
所以，即．所以．
所以．
请你根据小明分析过程，解决如下问题：
（1）计算：______；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）9 （3）5
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）分子，分母都乘以即可化简；
（2）先分母有理化，再算加减即可；
（3）小根据例子求出，得到，再变形计算代数式的值即可．
【小问1详解】
．
故答案为：；
【小问2详解】
小问3详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
25. 先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样+＝m，•＝，那么便有＝＝±（a＞b）例如：化简
解：首先把化为，这里m=7，n=12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即，，
∴＝＝＝
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．
（2）先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．
（3）先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
【小问3详解】
解：．
【点睛】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子．
26. （1）在中，，，过点作直线垂线，垂足为．
（i）如图1，若，求线段的长；
（ii）若，求线段的长．
（2）如图2，在中，，过点作直线的垂线，交线段于点．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长．
【答案】（1）（i）12；（ii）14或4；（2）．
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理、折叠问题等知识．
（1）（i）设，则，利用勾股定理得到，则，求出，则；
（i）分为锐角和钝角两种情况进行解答即可；
（2）连接交于点，则，过点作于，在中，，在中，，根据折叠得到，设，则，由勾股定理得到，求出，进一步由勾股定理进行解答即可．
【详解】解：（1）（i）设，则，
，
，
在中，，
在中，，
，
，，
，
，
，
；
（i）在中，，
在中，，
当为锐角时，如图，，
当为钝角时，如图，；
（2）如图2，连接交于点，则，过点作于，
在中，
在中，
垂直平分，
∴
，
，
，
设，则
，
，
，