人教版2024-2025学年九年级数学上册第一次月考(第二十一章至第二十三章)（解析版）-A4

这是一份人教版2024-2025学年九年级数学上册第一次月考(第二十一章至第二十三章)（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别，轴对称图形指的是延某条直线折叠，两边的图形能够完全重合；将图形旋转，能够与原图形重合的图形叫做中心对称图形，掌握定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
2. 方程的解为（ ）
A. B. C. D. ，
【答案】D
【解析】
分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得：，，
故选：D．
3. 抛物线 向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图像平移法则“左加右减、上加下减”，将题中文字描述转化为数学符号即可解决问题．
【详解】∵抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位，
∴所得的抛物线的解析式为，
即
故选：A
【点睛】本题主要考查了抛物线平移，熟练掌握函数图像平移法则“左加右减、上加下减”是解决问题的关键．
4. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：B．
5. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若，，则下列结论不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD知∠AOC=∠BOD=60°，AO=CO=4、BO=DO，可判断C正确；由△AOC、△BOD是等边三角形可判断A选项；由∠AOB=35°，∠AOC=60°可判断B选项，据此可得答案．
【详解】∵△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD，
∴∠AOC=∠BOD=60°，AO=CO=4、BO=DO，
故C选项正确；
则△AOC、△BOD是等边三角形，
∴∠BDO=60°，
故A选项正确；
∵∠AOB=35°，∠AOC=60°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°-35°=25°，
故B选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等及等边三角形的判定和性质．
6. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）
A. ac＞0B. b＞0C. a+c＜0D. a+b+c＝0
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】A.由图象可知：a＜0，c＞0，
∴ac＜0，故A错误；
B.由对称轴可知：x＝＜0，
∴b＜0，故B错误；
C由对称轴可知：x＝＝﹣1，
∴b＝2a，
∵x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴a+c＝a﹣3a＝﹣2a＞0，故C错误；
故选D．
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
7. 已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，且满足x12+x22＝3，则m的值是（ ）
A. 0B. ﹣2C. 0 或﹣D. ﹣2或0
【答案】C
【解析】
【分析】根据根与系数的关系得到,,再由，然后整体代入即可得到关于m方程，解方程即可得到m的值．
【详解】解：∵方程的两个根分别是x1，x2，
∴，
∵，即，
∴，
解得m＝0或m＝﹣，
∵方程的两个根，
∴，
∴m为任意实数，方程均有实数根，
当m＝0， ＞0；当 m＝﹣，＞0
∴m＝0或m＝﹣均符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键．
8. 如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用抛物线刻画，斜坡可以用直线刻画．下列结论错误的是（ ）
A. 小球落地点与点O的水平距离为
B. 当小球抛出高度达到时，小球与点O的水平距离为
C. 小球与点O的水平距离超过时呈下降趋势
D. 小球与斜坡的距离的最大值为
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，令，解得，，即可判断A；把代入得，求解即可判断B；将抛物线解析式化为顶点式即可判断C；设抛物线上一点的坐标为，作轴交直线于，则，表示出，结合二次函数的性质即可判断D，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：令，解得，，
∴小球落地点与点O的水平距离为，故A正确，不符合题意；
把代入得，
解得：，，
∴当小球抛出高度达到时，小球与点O的水平距离为或，故B错误，符合题意；
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴当时，随的增大而减小，
∴小球与点O的水平距离超过时呈下降趋势，故C正确，不符合题意；
设抛物线上一点的坐标为，
作轴交直线于，则，
，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴小球与斜坡的距离的最大值为，故D正确，不符合题意；
故选：B．
9. 如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，
∵，令，
即，
解得：，
∴,
令，解得，
∴，
∵点是对称轴上的一个动点，
∴，
∵
∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键．
10. 如图，在中，顶点，，，将与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A. B. C. ）D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，再利用正方形的性质确定，由于，所以第70次旋转结束时，相当于与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转，此时旋转前后的点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标．
【详解】解：，，
，
四边形ABCD为正方形，
，
，
，
每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转，
点D的坐标为．
故选D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 已知是关于的一元二次方程，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键．
直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x的最高次幂为2，得出m的值进而得出答案．
【详解】解：由题意知：且，
解得，
故答案为：．
12. 图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来个小正方形组成的图形是中心对称图形，则这个位置是_______．
【答案】③
【解析】
【分析】如果一个图形绕着某一点旋转180°后，能够与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形的定义和性质思考判断即可．
【详解】当放置在①位置时，构成的图形不是中心对称图形，
∴①不符合题意；
当放置在②位置时，构成的图形不是中心对称图形，
∴②不符合题意
当放置在③位置时，构成的图形是中心对称图形，
∴③符合题意
当放置在④位置时，构成的图形不是中心对称图形，
∴④不符合题意
故答案为：③．
【点睛】本题考查了拼图中的中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义和性质是解题的关键．
13. 抛物线，当时，y的最小值与最大值的和是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据解析式得到抛物线顶点坐标为2,3，且抛物线开口向下，则y的最大值为3，离对称轴越远，函数值越小，且对称轴为直线，再根据自变量的取值范围推出当时，函数有最小值，据此求出最小值即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为
∴抛物线顶点坐标为2,3，且抛物线开口向下，
∴y的最大值为3，离对称轴越远，函数值越小，且对称轴为直线，
∵，
∴当时，当时，函数有最小值，最小值为，
∴y的最小值与最大值的和是，
故答案为：．
14. 《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为_____岁．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为，则个位数字为，
则根据题意：，
整理得：，解得，，
由题意，而立之年督东吴，则舍去，
∴这位风流人物去世的年龄为岁，
故答案为：．
15. 函数在有最大值6，则实数的值是______．
【答案】或
【解析】
【分析】先求出二次函数对称轴为，再分，和三种情况，分别利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】二次函数的对称轴为，
由题意，分以下三种情况：
（1）当时，
在内，y随x的增大而增大，
则当时，y取得最大值，最大值为，
因此有，解得，符合题设；
（2）当时，
在内，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而 增大，
则当或时，y取得最大值，
因此有或，
解得或（均不符题设，舍去）；
（3）当时，
在内，y随x的增大而减小，
则当时，y取得最大值，最大值为，
因此有，解得，符合题设；
综上，或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 解一元二次方程：
（1）
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和因式分解法是解此题的关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
17. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）求当a为正整数时方程的根．
【答案】（1）a的取值范围为
（2）若a为正整数时，方程的根为1和3
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，解一元一次不等式和解一元二次方程，能根据根的判别式和已知得出不等式是解题的关键．
（1）根据判别式即可求出答案；
（2）根据a的范围可知，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【小问1详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴a的取值范围为．
小问2详解】
解：∵a为正整数，
∴，
∴原方程为，
即，
解得：，，
∴若a为正整数时，方程的根为1和3．
18. 在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点都在格点上，A的坐标是(4，4)，请回答下列问题：
（1） 将△ABC向下平移六个单位长度， 画出平移后的△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标；
（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；
（3）判断△A1B1C1与△A2B2C2是否关于某点成中心对称；若是，请画出对称中心M，并写出点M的坐标
【答案】（1）图形见解析，A1（4，-2）（2）图形见解析，A2（-4，-4）（3）图形见解析，M（0，-3）
【解析】
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C向下平移6个单位的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标；
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A2的坐标即可；
（3）根据中心对称的定义判断，对称中心是各个对应点连线的交点.
【详解】(1) 如图，△A1B1C1即为所求，点A的对应点A1的坐标： (4，-2)
(2)如图，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标(-4，-4)
(3)如图，△A1B1C1与△A2B2C2关于点M成中心对称，M (0，-3)
.
【点睛】本题考查作图，旋转变换，平移变换，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.
19. 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为6m，宽为4m，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为5米．
（1）求出抛物线的解析式．
（2）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高4.5米，宽3米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
【答案】（1）
（2）这辆货运卡车能通过该隧道
【解析】
【分析】（1）抛物线的解析式为，把代入计算即可；
（2）把时代入（1）的解析式，求出x的值即可求出结论．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
设抛物线的解析式为，
把代入
得：
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
这辆货运卡车能通过该隧道，理由如下：
在中，令得：
，
解得：，
，
，
这辆货运卡车能通过该隧道．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出二次函数的解析式．
20. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
【解析】
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案．
【小问1详解】
解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
【小问2详解】
解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法．
21. 已知二次函数 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
（1）求该二次函数的关系式．
（2）当x为何值时，y有最小值？ 最小值是多少？
（3）若，两点都在该函数的图象上，当时，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）当时，有最小值，最小值为
（3）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数最值、二次函数的对称性，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用待定系数法计算即可得出答案；
（2）将二次函数解析式化为顶点式即可得出答案；
（3）由（1）得出，将二次函数解析式化为顶点式即可得出抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，得出关于直线对称的点的坐标为，即可得解．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴该二次函数的关系式是；
【小问2详解】
解：∵，
∴当时，有最小值，最小值为；
【小问3详解】
解：由（1）可得：，即，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，
∴关于直线对称的点的坐标为，
∵，两点都在该函数的图象上，，
∴．
22. 如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点．
（1）求和的值；
（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
（3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．
【答案】（1），；（2）不等式>的解集为或x>2；（3）点M的横坐标的取值范围是：或．
【解析】
【分析】（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值；
（2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；
（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．
【详解】解：（1）∵点A(2，0)同时在与上，
∴，，
解得：，；
（2）由（1）得抛物线的解析式为y=x2-2x，直线的解析式为，
解方程，得：．
∴点B的横坐标为，纵坐标为，
∴点B的坐标为(-1，3)，
观察图形知，当或x>2时，抛物线在直线的上方，
∴不等式>的解集为或x>2；
（3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1，
∵点A(2，0)，点B(-1，3)，
∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)，
∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段，
对于抛物线，
∴顶点为(1，-1)，
如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线y=x2-2x只有一个公共点，
此时，
当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线y=x2-2x也只有一个公共点，
此时点M1的纵坐标为-1，则，解得，
综上，点M的横坐标的取值范围是：或．
．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．
23. 在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，连接，M是的中点，连接，．
（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）探究证明：把绕点B顺时针旋转一周，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为2,0，点B的坐标为，点C的坐标为，P为平面内一动点，且，连接，D是的中点，连接．请直接写出的最值．
【答案】（1），
（2）成立，证明见解析
（3）的最小值为，最大值为
【解析】
【分析】（1）由直角三角形的性质得出，，从而得出，由等边对等角得出，，由三角形外角的定义及性质得出，最后再由等腰直角三角形的性质即可得出答案；
（2）延长到点，使，连接，，延长到点，使，连接，，证明，得出，，同理可得：，，证明，得出，，由三角形中位线定理可得，，，，得出，由平行线的性质得出，，求出，即可得解；
（3）连接，，由题意得出，，，以为斜边作等腰直角三角形，连接，，由等腰直角三角形的性质得出，由（2）可得，，，同理可得：，结合，得出当点在线段上时，取得最小值，即取得最小值，当点在的延长线上时，取得最大值，即取得最大值，即可得解．
小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，M是的中点，
∴，，
∴，，，
∴，
∵三角形是等腰直角三角形，
∴，
∴，即；
故答案为：；
【小问2详解】
解：成立，证明如下：
如图，延长到点，使，连接，，延长到点，使，连接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
同理可得：，，
∴，即，
∴，
∴，，
∵，M是的中点，，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∴，，，
∴，
∴，即；
【小问3详解】
解：如图，连接，，
，
∵点A的坐标为2,0，点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，，，
以为斜边作等腰直角三角形，连接，，
∵，，
∴，
∴，
由（2）可得，，，
同理可得：，
∵，
∴当点在线段上时，取得最小值，即取得最小值，此时，；
当点在的延长线上时，取得最大值，即取得最大值，此时，；
综上所述，的最小值为，最大值为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、坐标与图形、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
x

0
1
2
3
4

y

5
2
1
2
5