北京市西城外国语学校 2024-2025学年 七年级上学期12月质量检测数学试题

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每题2分，共20分）
1．如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接AB，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（ ）
A．垂线段最短B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】C
【分析】利用线段的性质解答即可．
【详解】解：A，B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小，图2中所示的C点即为所求的码头的位置，那么这样做的理由是两点之间，线段最短.
故选：C．
【点睛】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．
2．下列方程中，方程的解为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将逐一代入各方程，判断方程左右两边是否相等，即可作出判断．
【详解】解：A、当时，，故不是此方程的解；
B、当时，，故不是此方程的解；
C、当时，，故不是此方程的解；
D、当时，，故是此方程的解；
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
3．如图框图内表示解方程3－5x＝2（2－x）的过程，其中依据“等式性质”是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
【答案】D
【分析】利用等式的性质判断即可．
【详解】解：如图框图内表示解方程3-5x=2（2-x）的流程，其中依据“等式性质”是②④，
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．如图，A地和地都是海上观测站，A地在灯塔的北偏东30°方向，，则地在灯塔的（ ）
A．南偏东方向B．南偏东方向C．南偏西方向D．东偏南方向
【答案】B
【分析】此题考查了方向角的求解，解题的关键是熟练掌握方向角的有关知识．设正南方向，正北方向以及正东方向分别为点，根据题意求得的度数即可求解．
【详解】解：设正南方向，正北方向以及正东方向分别为点，如下图：
由题意可得：，，，
∴，
即地在灯塔的南偏东方向，
故选：B．
5．如图，在 中，，，， 是 的外接圆，则下列说法正确的个数是 （ ）
① 和 都是劣弧；
②是 中最长的弦；
③，， 三点能确定一个圆；
④ 的半径为 ．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆的相关知识，涉及劣弧的定义，弦长，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关的知识．根据劣弧的定义，弦长，勾股定理逐一判断即可．
【详解】① 和 都用两个字母表示，是小于半圆的弧，是劣弧，故①正确；
②，是 的直径，又直径是圆中最长的弦，故②正确；
③过同一条直线上的三个点不能作圆，故③错误；
④ ，，，， 的半径为 ，故④正确．
故选: C．
6．线段，延长AB到C，使，再延长到D，使，则线段CD的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知分别求出、CD的长，即可得出结论．
【详解】解：如图，

∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查线段的和差，根据已知画出图形是解题的关键．
7．学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（ ）
A．11条B．10条C．9条D．8条
【答案】C
【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角的条数是边数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画条对角线，
五边形从一个顶点出发，可以画条对角线，
六边形从一个顶点出发，可以画条对角线，
∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线，
故选：C．
8．如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距50m，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距50m，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）
A．A小区B．B小区C．C小区D．D小区
【答案】B
【分析】根据题意分别计算停靠点分别在A、B、D、C各点时员工步行的路程和，选择最小的即可求解．
【详解】解：当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：5×50+20×(200+50)+6(2×50+200)＝7050(m)，
当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×50+20×200+6(50+200)＝7000(m)，
当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30(50+200)+5×200+6×50＝8800(m)，
当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×(2×50+200)+5(50+200)+20×50＝11900(m)，
因为7000＜7050＜8800＜11900，
所以当停靠点在B小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在B区．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键．
9．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了度分秒的换算，三角板内角度的求解，根据，，求出的度数，再根据，即可求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
故选：C．
10．杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．我国南宋数学家场辉所著《详解九章算术》（1261年）一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律．观察下列各式及其展开式：
……
请你推算展开式的第10项是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．根据图形中的规律即可求出的展开式的第10项．
【详解】解：找规律发现展开式的第二项为；
展开式的第三项为；
展开式的第四项为；
展开式的第五项为；
；
∴展开式的第n项为；
∴展开式的第十项是．
故选：C．
第II卷（非选择题）
二、填空题（每题2分，共12分）
11．若某多边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点相连结，可将多边形分成7个三角形，则该多边形是 边形．
【答案】九
【分析】本题主要考查了多边形对角线的问题，经过边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求边数
【详解】解：设多边形有条边，
则，
解得．
故这个多边形是九边形．
故答案为：九．
12．王小毛同学做教室卫生时，发现座位很不整齐，他思考了一下，将第一座和最后一座固定之后，沿着第一座最后一座这条线就把座位摆整齐了！他利用了数学原理： ．
【答案】两点确定一条直线
【分析】由题知，将教室座位看作一个个点，座位整齐否，只需要观察每个点是否在同一条直线即可，根据直线的性质解答．
【详解】王小毛利用的数学原理：两点确定一条直线；
故答案为：两点确定一条直线．
【点睛】本题考查直线的性质及定义，难点在于对实际问题数学模型化，寻找对应的原理．
13．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，若∠AOC＝120°，则∠BOD等于 ．
【答案】60°
【分析】由图可知∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠BOC+∠BOD=∠COD，依此角之间的和差关系，即可求解．
【详解】∠AOC+∠DOB
=∠AOB+∠BOC+∠DOB
=∠AOB+∠COD
=90°+90°
=180°，
∵∠AOC=120°，
∴∠BOD=60°，
故答案为：60°．
【点睛】本题考查了余角和补角，掌握余角和补角的定义，根据题意列出式子是解题关键．
14．选择边长相等的正多边形铺地面，下列组合能既不留缝隙也不重叠地铺满地面的是 ．
①正三角形和正四边形；②正六边形和正三角形；③正方形和正八边形；④正三角形和正八边形．
【答案】①②③
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．
【详解】①正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，能铺满；
②正三角形的每个内角是60°，正六边形每个内角120度，1×120+4×60＝360度，所以能铺满；
③正方形每个内角90度，正八边形每个内角135度，135×2+90＝360度，能铺满；
④正三角形的每个内角是60°，正八边形每个内角135度，135×2+60≠360度，所以不能铺满．
故答案为：①②③．
【点睛】此题考查镶嵌问题，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
15．若关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数，则k= ．
【答案】15
【分析】分别解两个方程，根据方程的解互为相反数，列出方程，解出k即可；
【详解】解：，
，
，
，
，
解方程：，
，
，
，
根据题意列出方程，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次方程，依据解方程步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，解题关键正确应用运算法则．
16．如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长为 ．
【答案】4或16
【分析】根据题意分两种情况画图解答即可．
【详解】解：①如图，
，，
点是折线的“折中点”，
点为线段的中点，
；
②如图，
，，
点是折线的“折中点”，
点为线段的中点，
．
综上所述，的长为4或16．
故答案为：4或16．
【点睛】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是根据题意画出两个图形进行解答．
三、解答题（共68分）
17．（8分）解方程：
(1)
(2)．
【答案】(1)x=2；
(2)x=1
【分析】本题考查了解一元一次方程；
（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解．
【详解】（1）解： ，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
化系数为，x=2；
（2）去分母得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为，得：x=1．
18．（6分）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情境请你作出判断．
情境一：从教室到图书馆，总有少数同学不走校园道路而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．
情境二：要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是 ．你赞同以上哪种做法？ （填情境一或情境二）
【答案】两点之间，线段最短；两点确定一条直线；情境二
【分析】此题考查两点之间线段最短的应用，两点确定一条直线，掌握线段的性质是解题的关键．教室和图书馆、两个树坑之间的路线可看做是一条线段，接下来，根据根据线段的性质来分析得出即可．
【详解】解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短；
情景二：两个树坑可以抽象成两个点，是根据两点确定一条直线的原理来做的；我们必须注意保护我们周围赖以生存的生态环境，所以赞同情景二．
故答案为：两点之间，线段最短；两点确定一条直线；情境二．
19．（6分）已知：点，，在同一条直线上，线段，且线段，画图并计算：
(1)若点在线段上，求的长；
(2)若点在射线上，点是的中点，求线段的长．
【答案】(1)图见解析，4；
(2)图见解析，2或4；
【分析】（1）在线段MN上截取PN=2，再计算线段的差即可；
（2）分两种情况讨论：①当点在点左侧时，由线段差求得MP，再由线段中点计算求值即可；②当点在点右侧时，由线段和求得MP，再由线段中点计算求值即可；
【详解】（1）解：如图，点在线段上时，
；
（2）解：①当点在点左侧时，如图所示：
，
∵点为的中点，
∴；
②当点在点右侧时，如图所示：
由图形可知：，
∵点为的中点，
∴，
综上所述，的长为2或4；
【点睛】本题考查了线段的和差计算，线段中点的有关计算；根据线段位置关系分情况讨论是解题关键．
20．（6分）如图，已知线段，借助圆规和直尺作一条线段，使得（保留作图痕迹，不要求写出作法）．

【答案】见解析
【分析】）根据作一条线段等于已知线段的作图步骤解答即可；
【详解】解：如图所示，即为所求．

【点睛】本题考查了尺规作图，解题的关键是用圆规依次截取一条线段等于已知线段即可．
21．（8分）已知关于x的方程与方程的解互为相反数，求m的值．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，可先求出一个方程的解，再代入第二个含有的方程，从而求出即可．先将的解求出，然后将的相反数代入求出的值．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
解得：，
是方程的解，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，
答：的值为．
22．（8分）如图，已知轮船在灯塔的北偏西的方向上，轮船在灯塔的南偏东的方向上．
(1)求从灯塔看两轮船的视角（即）的度数；
(2)轮船在的平分线上，则轮船在灯塔的什么方向上？
【答案】(1)
(2)轮船在灯塔的北偏东方向上
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据平分求出，然后根据即可解答．
本题主要考查方向角的知识点，解答本题的关键是搞懂方向角的概念和利用好角平分线的知识点．
【详解】（1）解：如图所示，因为轮船在灯塔的北偏西的方向上，
轮船在灯塔的南偏东的方向上，
所以

．
（2）解：因为平分，
所以，
所以
，
所以轮船在灯塔的北偏东方向上．
23．（8分）请在括号中注明根据，在横线上补全步骤．
如图，直线AB、CD相交于O，∠EOC＝90°，OF是∠AOE的角平分线，∠COF＝34°，求∠BOD的度数．
解：∵∠EOC＝90°，∠COF＝34°（已知），
∴∠EOF＝ °．
∵OF是∠AOE的角平分线，
∴∠AOF＝ ＝56°（角平分线的性质）．
∴∠AOC＝ °．
∵∠AOC+ ＝90°，
∠BOD+∠EOB＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC＝ °（ ）．
【答案】56；∠EOF；22；∠EOB；22；同角的余角相等
【分析】根据角平分线的定义、余角的概念解答．
【详解】解：∵∠EOC＝90°，∠COF＝34°，
∴∠EOF＝90°-∠COF =90°-34°=56°，
∵OF是∠AOE的角平分线，
∴∠AOF＝∠EOF＝56°，
∴∠AOC＝∠AOF-∠COF＝56°-34°=22°，
∵∠AOC+∠EOB＝180°-∠EOC=180°-90°＝90°，
∠BOD+∠EOB＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC＝22°（同角的余角相等），
故答案为：56；∠EOF；22；∠EOB；22；同角的余角相等．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义、余角和补角、邻补角的概念，掌握所有知识点及相关概念是解题的关键．
24．（8分）如图，线段在射线上运动，，且．
(1)求线段、的长；
(2)点M、N分别为线段、的中点，若，求的长；
(3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查非负数的性质，线段和差倍分的计算，分类讨论是解题的关键．
（1）依据非负数的性质可知，，从而可求得m、n的值；
（2）需要分类讨论：①如图1，当点C在点B的右侧时，根据“M、N分别为线段、的中点”，先计算出、的长度，然后计算；②如图2，当点C位于点B的左侧时，利用线段间的和差关系求得的长度；
（3）先求得，然后求得，从而可求得答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：①点C在点B右边时，如图：
M、N分别为线段的中点，
，
，
；
②点C在点B左边时，如图：
M、N分别为线段的中点，
，
，
；
综上，．
（3）证明：当点B与点D重合时，如图：
，
，
．
，
即．
25．（10分）已知直线，点为平面上一点，连接与．

(1)如图①，点在直线、之间，说明：；
(2)如图②，点在直线、之间，与的平分线相交于点，利用（1）中的结论，写出与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，点落在与外，与的角平分线相交于点，（2）中与之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)；理由见解析
(3)成立；理由见解析
【分析】本题主要考查平行的性质，角之间的关系，角平分线的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．
（1）过点P作，根据平行的性质得到，即可证明结论；
（2）根据，分别平分，，得到即可证明．
（3）分别过点P，Q作，根据平行的性质得到，角平分线的性质得到，即可得到答案．
【详解】（1）说明：过点P作，
，
，
，
，
∠ABP=∠BPQ，
，
；

（2）解：
说明：由（1）知，，
，分别平分，，
，，
，
即；
（3）解：成立
说明：分别过点P，Q作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又与的角平分线相交于点Q，
，，
，
即．