江苏省南京市联合体2024-2025学年八年级上学期期中数学练习试卷

这是一份江苏省南京市联合体2024-2025学年八年级上学期期中数学练习试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则≌的依据是( )
A. SASB. ASAC. AASD. SSS
3.图中的两个三角形全等，则等于( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，若，，下列条件中不能判定≌的是( )
A. B. C. D.
5.桌面上有A，B两个球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示4个点中，可以瞄准的点是( )
A. D
B. E
C. F
D. G
6.在中，，，的对边分别为a，b，c，满足下列条件的，不是直角三角形的是( )
A. a：b：：4：5B. ：：：4：5
C. D.
7.如图，在中，，AB的垂直平分线DE交AC于点E，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点F，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨100米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长200米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.等边三角形有______条对称轴．
10.已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为______.
11.如图，中，，D是AB的中点，，则______.
12.如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点下列结论：①；②；③；④，其中说法错误的是______.
13.如图，，，若，，则D到AB的距离为______.
14.如图，两个阴影部分都是正方形，两个正方形的面积分别为36，64，则c的值为______.
15.如图，AB垂直平分CD，，，则四边形ADBC的周长是______.
16.在中，，，则的度数为______.
17.在中，若，，则AC边上的高______.
18.如图，在边长为16的等边三角形ABC中，M是高AH上的一个动点，连接若将线段BM绕点B顺时针旋转得到线段BN，连接HN，则点M在运动的过程中，线段HN长度的最小值是______.
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题8分
已知：如图，，求证：
20.本小题8分
在四边形ABCD中，，，，，，求四边形ABCD的面积.
21.本小题8分
如图所示是每一个小正格都是边长为1的正方形网格.
利用网格线作图：
①在BC上找一点M使点M到AB和AC的距离相等；
②在射线AM上找一点N，使
在中连接CN与BN，直接写出的面积.
22.本小题8分
证明：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
已知：如图，点P在内，______.
求证：______.
证明：
23.本小题8分
如图，在中，，的高BH，CM交于点
求证：
若，，求
24.本小题8分
已知要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明
如图①，在AC边上找一点D，使点D到AB的距离等于D到BC的距离；
如图②，在AC边上找一点E，使点E到点C的距离等于E到AB的距离.
25.本小题8分
在中，，，如图①，当时，
如图②，当时，小明猜想，理由如下：
过点A作，垂足为D，设，…，完成小明的证明过程；
如图③，当时，猜想与的大小关系，并证明你的猜想.
26.本小题8分
在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动.
定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.
概念理解
如图①，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形判断四边形ABCD的形状：______筝形填“是”或“不是”；
性质探究
如图②，已知四边形ABCD纸片是筝形，对角线AC，BD相交于点O，从不同角度写出三个正确的结论；
拓展应用
如图③，AD是锐角的高，将沿边AB翻折后得到，将沿边AC翻折后得到，延长EB，FC交于点
①求证：四边形AEGF是筝形；
②若，当是等腰三角形时，直接写出的度数；
③若，，，，求CD的长.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：在和中，
，
≌，
故选：
根据全等三角形的判定定理推出即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键.
3.【答案】B
【解析】解：
两三角形全等，
、c两边的夹角相等，
，
故选：
由全等三角形的对应角相等可求得答案．
本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、根据条件，，，不能判定≌，故A选项符合题意；
B、，得出，符合AAS，能判定≌，故B选项不符合题意；
C、，符合SAS，能判定≌，故C选项不符合题意；
D、，符合ASA，能判定≌，故D选项不符合题意．
故选
根据普通三角形全等的判定定理，有AAS、SSS、ASA、SAS四种．逐条验证．
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，本题是一道较为简单的题目．
5.【答案】A
【解析】解：根据题中所给的信息进行判断可得：将B球射向桌面的点D，可使一次反弹后击中A球，
故选：
根据入射角等于反射角，结合网格特点即可求解．
本题考查轴对称的性质，解题关键是根据轴对称性质找到使入射角等于反射角相等的点．
6.【答案】B
【解析】解：A、设，，，
，，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、：：：4：5，，
，
不是直角三角形，故本选项符合题意；
C、，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，
，
，
，
，即是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：
根据勾股定理的逆定理判断A、C即可；根据三角形内角和定理判断B、D即可．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，解题的关键是能理解勾股定理的逆定理的内容．
7.【答案】A
【解析】解：是等腰三角形，
①，
是线段AB的垂直平分线，
，
的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点可知是等腰三角形，
是的平分线，
，即②，
①②联立得，
故，
故选：
先根据等腰三角形的性质得出，再由垂直平分线的性质得出，根据CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点可知是等腰三角形，故BF是的平分线，故，把所得等式联立即可求出的度数．
本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，解答此类问题时往往用到三角形的内角和为这一隐含条件．
8.【答案】D
【解析】解：当车长为底时，，
得到的等腰三角形是；
当车长为腰时，，，，，分别得到的等腰三角形是，，
，
故得到的等腰三角形共有5个．
故选
在火车自左向右运动的过程中，车长BC可以是腰，也可以是底边．所以共有5个等腰三角形．
本题考查了等腰三角形的判定；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
9.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查等边三角形的性质和轴对称图形，正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键，本题是一个基础题. 沿着一条直线对折，能够和另一部分完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．
【解答】
解：等边三角形有3条对称轴．
故答案为：
10.【答案】17
【解析】解：①当腰是3，底边是7时，，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3，腰长是7时，，能构成三角形，则其周长
故答案为：
等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．
11.【答案】10
【解析】解：在中，，D是AB的中点，
线段CD是斜边AB上的中线；
又，
故答案是：
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
12.【答案】②
【解析】解：如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，
；；；，
说法错误的有，
故答案为：②．
依据轴对称的性质，即可得到；；；，进而得出结论．
本题主要考查了轴对称的性质，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
13.【答案】4
【解析】解：，，
，
，，
点D到边AB的距离等于，
故答案为：
由已知条件首先求出线段CD的大小，接着利用角平分线的性质得点D到边AB的距离等于CD的大小，问题可解．
此题考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等；题目较为简单，属于基础题．
14.【答案】10
【解析】解：如图，
两个正方形的面积分别为36，64，
，，
根据勾股定理，得，
负值舍去
故答案为：
根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求解即可．
本题考查了勾股定理，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是关键．
15.【答案】20
【解析】【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
根据线段的垂直平分线的性质得到，，计算即可．
【解答】
解：垂直平分CD，
，，
则四边形ADBC的周长，
故答案为：
16.【答案】
【解析】解：在中，，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
根据勾股定理得到，根据题意、完全平方公式得到，根据等腰直角三角形的性质解答即可．
本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：过A作，
，
是等腰三角形，
，
，
在中，，
的面积为，
，
，
解得
故答案为：
首先根据题意画出图形，再根据勾股定理计算出底边上的高，然后计算三角形的面积，再以AC为底，利用三角形的面积计算出AC边上的高h即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形底边上的高和中线重合．
18.【答案】4
【解析】解：如图，取AB的中点G，连接MG，则，
线段BM绕点B顺时针旋转得到线段BN，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形的高，
，，
，
≌，
，
根据垂线段最短，当时，MG最短，即HN最短，
，
，
，
线段HN长度的最小值是
故答案为：
取AB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质和旋转可以证明≌，可得，根据垂线段最短，当时，MG最短，即HN最短，由直角三角形的性质可求得线段HN长度的最小值．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
19.【答案】证明：在与中
，
≌

【解析】根据SAS可得≌解决问题；
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
20.【答案】解：连接BD，
在中，，，，
，
，，
，
是直角三角形，
，
，
即四边形ABCD的面积为
【解析】连接BD，先根据勾股定理求出BD长，然后根据勾股定理的逆定理判断，再根据解题即可．
本题考查勾股定理和逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：点M就是所要求作到AB和AC的距离相等的点，
点N就是所要求作的使的点；
连接CN与BN，
，，，
，
，
是直角三角形，

【解析】根据网格特点作出的角平分线与BC的交点就是M，作BC的垂直平分线与AM的交点就是N；
首先利用勾股定理计算出，，，然后利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形进而计算出面积即可．
本题考查了利用网格结构作角的平分线，线段垂直平分线，解决本题的关键是掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
22.【答案】于点C，于点D， OP平分
【解析】已知：如图，点P在内，于点C，于点D，
求证：OP平分
证明：如图，连接OP，
，，
，
在和中，
，
，
，
平分
根据题意写出已知和求证，连接OP，根据HL证明，根据全等三角形的性质证明结论．
本题考查的是角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
23.【答案】证明：，
，CM为的高，
，
解：，，
，，
设，则
在中，
，
即
【解析】欲证明，只需推知即可；
设，则在中，利用勾股定理列出方程并解答．
考查了勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
24.【答案】解：如图①，点D即为所求；
如图②，过C作AC的垂线交AB的延长线于D，再作的平分线与AC的交点E即为所求．

【解析】作的平分线即可；
过C作AC的垂线交AB的延长线于D，再作的平分线，根据角平分线的性质可证，E到AB的距离和E到CD的距离相等，也即E到点C的距离等于E到AB的距离，E为所求．
本题考查了作图-复杂作图，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握基本作图．
25.【答案】解：设，，，
则，
，，
，
，
当为锐角三角形时，
当为钝角三角形时，与的大小关系为：
证明：如图，过点A作，交BC的延长线于点D，
设
，，
，
，，
，
即当为钝角三角形时，
【解析】根据勾股定理得出，，得，推理得出，即可得出答案；
过点A作，交BC的延长线于点D，设根据勾股定理得出；，整理得出，根据即可证明结论．
本题主要考查了勾股定理的应用，完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么
26.【答案】是
【解析】概念理解：由折叠性质得：，，
四边形ABCD是“筝形”，
故答案为：是；
性质探究：解：，，；；；理由如下：
如图②，
在和中，
，
≌，
，，，
，
；；
拓展应用：①证明：如图③，连接AG，
，
和是直角三角形，
在和中，
，
，
，
四边形AEGF是四边形是“筝形”；
②解：的度数为或或；理由如下：
分三种情况讨论：
当时，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当时，
，
，
，
；
当时，
，
，
，
，
综上，的度数为或或；
③解：由折叠性质可得：，，，，，
，
，
，
四边形AEGF是正方形，
，
设，则，，
在中，，即，
解得：，
概念理解：根据题意得，，即可证明；
性质探究：如图②，根据折叠性质可证明≌，可得，，，再利用等腰三角形的三线合一的性质即可得到结论；
拓展应用：①先证≌，再根据“筝形”的定义判断即可；
②分情况讨论：当时，由折叠性质即可求解；当时，当时，同理可得；
③有折叠性质可证四边形AEGF是正方形，设，根据勾股定理即可求解．
本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解决此题的关键．