北师大版2024-2025学年八年级数学上册 第一次月考测试卷（解析版）-A4

这是一份北师大版2024-2025学年八年级数学上册 第一次月考测试卷（解析版）-A4，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1. 在中，，，，则该三角形（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理逆定理的运用，根据勾股定理逆定理即可判断该三角形形状．
【详解】解：，，，
，，，
有，
该三角形为直角三角形．
故选：B．
2. 下列各数﹣，0，π， ，， 中是无理数的有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．
【详解】因为是开方开不尽的根式， 是无限不循环小数，
所以和 是无理数，共两个，
故选B.
【点睛】本题考查了对无理数的定义的应用，注意：无理数包括：①开方开不尽的根式，②含π的，③无理数是指无限不循环小数．熟练掌握无理数的定义是解题关键.
3. 的平方根是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根的定义，即可求解．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握平方公式的定义是解题的关键．
4. 在下列四组数中，不是勾股数是（ ）.
A. 7,24,25B. 3,5,7C. 8,15, 17D. 9,40,41
【答案】B
【解析】
【分析】求是否为勾股数，这里给出三个数，利用勾股定理，只要验证两小数的平方和等于最大数的平方即可．
【详解】解：A、72+242=252，是勾股数的一组；
B、32+52≠72，不是勾股数的一组；
C、82+152=172，是勾股数的一组；
D、92+402=412，是勾股数的一组．
故选B
【点睛】考查了勾股数，理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：本题主要考查的就是二次根式的计算.B和D中的两个二次根式不是同类二次根式，则无法进行加减法计算；C选项中的二次根式为最简二次根式，无法进行化简.
6. 如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点处，则点表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】根据勾股定理可得：正方形对角线的长度为2，则点A所表示的数为2.故选B.
7. 如图所示，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用( )
A. L1B. L2C. L3D. L4
【答案】B
【解析】
【详解】由题意可知，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=5米，∠CAD=60°，
∴∠ACD=30°，
∴AD=AC，
设AC=，则AD=，由勾股定理可得：，解得，
∵，
∴AC=（米），
∵考虑既要符合设计要求，又要节省材料，
∴选L2，故选B.
8. 在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（ ）
A. 84B. 24C. 24或84D. 42或84
【答案】C
【解析】
【分析】由于高的位置不确定，所以应分情况讨论.
【详解】（1）△ABC为锐角三角形，高AD在三角形ABC的内部，
∴BD==9，CD==5，
∴△ABC的面积为=84，
（2）△ABC为钝角三角形，高AD在三角形ABC的外部，
∴BD==9，CD==5，
∴△ABC的面积为=24，
故选C.
【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据三角形的形状进行分类讨论.
9. 实数在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为（）

A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】由数轴得出b<0＜a，原式化简为|a+b|+a，去掉绝对值符号得出-a-b+a，合并同类项即可．
【详解】∵由数轴可知：b<0＜a，
∴=|a+b|+a=−a−b+a=−b.
故选B.
【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于结合数轴进行解答.
10. 有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的x=64时，输出的y等于（ ）
A. 2B. 8C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据图中的步骤，把64输入，可得其算术平方根为8，8再输入得其算术平方根是，是无理数则输出．
【详解】由图表得，64的算术平方根是8，8的算术平方根是．
故选D.
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，看懂图表的原理，正确利用平方根的定义是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程）
11. 若 是m的一个平方根，则m+13的平方根是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方根的定义求解即可.
【详解】∵ 是m的一个平方根，
∴m=（- ）2=3，
∴m+13=16，
∴m+13的平方根是：，
故答案为
【点睛】本题考查平方根的定义， 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，而算术平方根只有一个.熟练掌握平方根的定义是解题关键.
12. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为___________．
【答案】6，8，10
【解析】
【分析】根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外两个是，根据勾股定理即可解答．
【详解】解：设中间的偶数是x，则另外两个是，根据勾股定理，得
，
解得或0（0不符合题意，应舍去），
所以它的三边是6，8，10．
故答案为：6，8，10
【点睛】本题考查的是连续偶数的特征和勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键
13. 已知：若≈1．910，≈6．042，则≈_______，±≈____．
【答案】 ①. 604.2 ②. ±0.0191
【解析】
【分析】根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案．
【详解】解：若≈1.910，≈6.042，
则≈604.2，±≈±0.0191．
故答案为604.2，±0.0191．
【点睛】本题考查了算术平方根，利用被开方数与算术平方根的关系是解题关键．
14. 已知a、b为两个连续的整数，且，则________．
【答案】11
【解析】
【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数是解题的关键．
根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a，b的值，即可得出答案．
【详解】解：∵
∴
∵a、b为两个连续的整数，且，
∴，
∴．
故答案为：11．
15. 如果一个三角形的三个内角之比是1∶2∶3，且最小边的长度是8，最长边的长度是________.
【答案】16
【解析】
【详解】设这个三角形三个内角的度数分别为：，根据三角形内角和定理可得：，解得，∴这个三角形三个内角分别为：30°、60°、90°，
又∵这个三角形的最短边是8，
∴根据在直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半可知：其最长边斜边长为：16.
16. 如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平方根的概念，图形的剪拼，剪拼图形是解题的关键．将图形剪拼成正方形，根据正方形的面积求出其边长即可．
【详解】解：分割图形如下：
这个正方形的面积为5，
故这个正方形的边长是．
故答案为：．
17. 若5+的小数部分是，5-的小数部分是b，则+5b=______．
【答案】2
【解析】
【分析】由可得，，进行可得a，b的值，从而可得结论．
【详解】∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，；
将、的值，代入可得．
故答案为2．
18. 如图是我国古代著名“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________．
【答案】76
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个即风车的外围周长．
【详解】解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为5和12，
“数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为：，
这个风车的外围周长是，
故答案为：76．
三、解答题（本大题共6小题，满分58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）在边长为1的正方形网格中，以AB为边作一个正方形．
（2）以点O为顶点作一个面积为10的正方形．
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）直接利用网格结合勾股定理得出正方形边长进而得出答案；
（2）直接利用网格结合勾股定理得出正方形边长进而得出答案．
试题解析： (1)如图所示：
四边形ABCD即为所求；
(2)如图所示：四边形EGCF即为所求．
20. 化简：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算规则是关键．
（1）先进行乘法计算去掉分母，再逐项计算即可；
（2）先分项相除和利用平方差公式进行化简，再逐项计算即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
21. 先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如的化简，我们只要找到两个数a，b，使，，即，，那么便有：.
例如化简：.
解：首先把化为，
这里，，
由于，，
所以，
所以.
根据上述方法化简：.
【答案】见解析
【解析】
【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．
【详解】根据题意，可知，，
由于，，
所以，，
所以.
【点睛】此题考查二次根式性质与化简，解题关键在于求得，.
22. 清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》，对“三边长为3，4，5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数(面积)，以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现代的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S，则求其边长的方法为：第一步：＝；第二步：＝k；第三步：分别用3，4，5乘以，得三边长”．
(1)当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；
(2)你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程．
【答案】（1）15,20,25；（2）详见解析.
【解析】
【详解】试题分析: 先由题中所给的条件找出字母所代表的关系，然后套用公式解题．
试题解析:
(1)当s＝150时，m＝＝25，k＝＝5．
∴3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25，
∴直角三角形的三边长分别为15，20，25．
(2)正确，设直角三角形的三边长分别为3k，4k，5k，
∴s＝×3k×4k＝6k²，
∴k＝，
∴三边长分别为3，4，5.
点睛: 此题信息量较大，解答此类题目的关键是要找出所给条件，然后解答．
23. 阅读下面的解题过程∶化简∶
．
请回答下列问题．
（1）按上述方法化简；
（2）请认真分析化简过程，然后找出规律，写成一般形式．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
（1）参照例子进行化简；
（2）根据上面的解题思路分析可得出这个式子的值．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：
；
∴．
24. 如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）．
（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2＋b2＝c2；
（2）用这样的两个三角形可以拼出多种四边形，画出周长最大的四边形；当a＝2，b=4时，求这个四边形的周长．
【答案】（1）证明见解析；（2）见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）观察图形可知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即可证明勾股定理；（2）已知a与b的值，根据勾股定理求出c的值，把最短的直角边重合在一起，拼成一个平行四边形，如图1所示，这个平行四边形的周长最大，求出最大周长即可．
试题解析：
（1）由图可得：，
整理得：，整理得：a2+b2=c2；
（2）当a=2，b=4时，根据勾股定理得：
；如图1：
则四边形的最大周长为．
点睛：本题考查了勾股定理的证明，用数形结合来证明勾股定理，这是典型的数形结合思想方法得运用．