河北省承德市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份河北省承德市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列不等式中成立的是（ ）
A. 若，则
B. 已知，，，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等性质分别判断各选项.
【详解】A选项：当时，，A选项错误；
B选项：因为，，，
所以，
所以，则，B选项正确；
C选项：若，则，C选项错误；
D选项：当，时，，D选项错误．
故选：B.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域.
【详解】由题意得，解得，
故定义域为.
故选：C
3. 设全集，集合，集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求集合，求出，再与集合求并集.
【详解】由不等式，解得或，∴，
∴，
∴.
故选：D.
4. 已知，则的最小值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】由，利用基本不等式求解.
【详解】解：因为，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：A
5. 集合或，，若（R为实数集），则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】表示出N中不等式的解集，确定出N，根据N与M的补集不为空集，找出a的范围即可，进而求解结论．
【详解】解：∵全集R，或，，，
∴，
结合数轴可知，当时，，
故（R为实数集）时，a的取值范围为，
故选：C．
6. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先判断函数的单调性，再结合分段函数，以及基本初等函数的定义，即可求解.
【详解】由题意可知，，则，所以单调递减，
当时，单调递减，则，得，
当时，单调递减，则，得，
在分界点处，，得，
综上可知，.
故选：A
7. 设函数，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数，分情况求解不等式，结合一元二次不等式的解法，可得答案.
【详解】当时，由，可得，，解得，则；
当时，由，可得，解得，则.
综上所述，由，解得，
当x>0时，由，可得，，解得，则；
当x=0时，由，可得，显然成立，则x=0；
当时，由，可得，，解得或，则.
综上所述，，解得.
故选：C.
8. 已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，分析其奇偶性和单调性，再解不等式即可；
【详解】令，则，
则，所以为奇函数，
又由复合函数的单调性可得在上为增函数，
因为，
所以原不等式可转化为，即，
由单调性可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 若函数的图象与x轴的两个交点是，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 方程的两根是，1
C. 不等式的解集是
D. 不等式的解集是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，求出，再逐项判断即可得解.
【详解】依题意，方程的两根是，1，B正确；
显然，即，，A正确；
不等式，即的解集为或，C错误；
不等式，即的解集是，D正确.
故选：ABD
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. “”是“”的必要条件
C. 命题“，”是假命题
D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件
【答案】CD
【解析】
【分析】根据命题的否定，命题的充分必要性直接判断各选项.
【详解】A选项：命题“，”的否定是“，”，A选项错误；
B选项：当，时，满足，但不成立，B选项错误；
C选项：当时，满足，此时，不满足，所以命题“，”是假命题，C选项正确；
D选项：当时，对于方程，有，且，，即方程有一正一负根；
当方程有一正一负根时，，解得，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，D选项正确；
故选：CD.
11. 已知函数，则（ ）
A. B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数是奇函数D. 函数的图象关于点中心对称
【答案】AD
【解析】
【分析】计算函数值即可判断选项A；计算出与比较即可判断选项B与D；由奇偶性的定义即可判断选项C.
【详解】函数，所以，
所以，故A正确；
，
，故函数的图象关于直线不对称，故B错误；
，所以函数的图象关于点中心对称，故D正确；
且，
所以函数是奇函数是非奇非偶函数，故C错误；
故选：AD
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12. 已知一元二次不等式对一切实数x都成立，则k取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】直接根据开口方向与判别式列不等式，求解即可.
详解】由题意知，且，解得.
故答案为：.
13. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，结合复合函数的定义域列式求解即得．
【详解】若函数y=fx的定义域是，则函数需要满足：
则，解得，
所以的定义域是．
故答案为：
14. 已知函数的定义域为，若对于任意的x，，都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定在上单调性，再利用单调性求出最大值.
【详解】任取，则，由当时，都有，得，
任意的，都有，
则，因此函数在上单调递增，
当时，.
故答案为：5
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知：关于的方程有实数根，：．
（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答.
（2）由命题是命题的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答.
【小问1详解】
因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
【小问2详解】
由（1）知，命题是真命题，即，
因为命题是命题的必要不充分条件，则是的真子集，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
16. 已知函数，二次函数满足：且．
（1）求的解析式；
（2）若，解关于x的不等式．
【答案】（1）
（2）答案见详解
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）不等式可整理为，根据的符号以及和的大小关系分类讨论即可.
【小问1详解】
设二次函数 ，
所以，
即，故，
解得，所以，
所以，解得，
所以.
【小问2详解】
因为，
所以，即，
当时，则不等式为，解得，此时解集为；
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为或，
综上所述，时，不等式的解集为，
时，解集为；
时，不等式的解集为或，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为.
17. 某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元．
（1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）函数关系式；
（2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．
【答案】（1）
（2）当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元.
【解析】
【分析】（1）分和两种情况，写出相应的解析式，得到答案；
（2）分和两种情况，由函数单调性和基本不等式求最值，比较后得到结论.
小问1详解】
当时，
，
当时，
，
故；
【小问2详解】
当时，
，故当百台时，取得最大值，最大值万元，
当时，
（万元），
当且仅当，即时，等号成立，
由于，故当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元.
18. 定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，.
（1）求证：是奇函数；
（2）判断的正负，并说明理由.
【答案】（1）证明见详解
（2），理由见详解
【解析】
【分析】（1）通过赋值，得，再通过赋值，结合奇函数的定义，即可证明；
（2）根据题意结合奇函数性质运算求解即可.
【小问1详解】
因为函数的定义域为−1,1，
令，得，即，
令，可得，即，
所以在−1,1上为奇函数.
【小问2详解】
，理由如下：
因为在−1,1上为奇函数，
则，
当时，，即，
所以.
19. 已知函数的定义域为，对任意的，，都有.当时，.
（1）求的值，并证明：当时，；
（2）判断的单调性，并证明你的结论；
（3）若，求不等式的解集.
【答案】（1），证明见解析
（2）单调递减，证明见解析
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）令代入可得f1的值，令，可得结合已知，即可判断其符号.
（2）运用单调性定义证明，令，可得，判断其符号即可.
（3）令，可得，进而转化为，结合单调性转化为，分别讨论、、解一元二次不等式即可.
【小问1详解】
因为，，都有，
所以令，得，则f1=0，
证明：因为时，，
所以当时，，则，
令，，得，
所以.
【小问2详解】
在0,+∞上单调递减，证明如下：
不妨设，则，，
令，，则，
所以，
即，所以在0,+∞上单调递减；
【小问3详解】
因为，令，，则，
由，得，即，
由（2）知在0,+∞上单调递减，
所以，所以，
即，则该不等式对应方程的实数根为和.
当时，，不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为，
综上：当时，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为.