北师大版数学七上期末考点提升练习专题29 一元一次方程应用之环形跑道问题（2份，原卷版+解析版）

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1．正方形 SKIPIF 1 < 0 的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在 SKIPIF 1 < 0 处，乙在 SKIPIF 1 < 0 处，它们沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒 SKIPIF 1 < 0 ，乙的速度为每秒 SKIPIF 1 < 0 ．
已知正方形轨道 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，求乙在第5次追上甲时在哪条线段上？
【解答】解：设乙走 SKIPIF 1 < 0 秒第一次追上甲．
根据题意，得 SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 乙走1秒第一次追上甲，则乙在第1次追上甲时的位置是 SKIPIF 1 < 0 上；
设乙再走 SKIPIF 1 < 0 秒第二次追上甲．
根据题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 乙再走2秒第二次追上甲，则乙在第2次追上甲时的位置是 SKIPIF 1 < 0 上；
同理：乙再走2秒第三次次追上甲，则乙在第3次追上甲时的位置是 SKIPIF 1 < 0 上；
SKIPIF 1 < 0 乙再走2秒第四次追上甲，则乙在第4次追上甲时的位置是 SKIPIF 1 < 0 上；
乙在第5次追上甲时的位置又回到线段 SKIPIF 1 < 0 上．
2．一天早晨，小华和爸爸在1000米的环形跑道上跑步，他们8点整时在同一地点沿着同一方向同时出发，小华跑了半圈时，看到爸爸刚好跑完一圈，8点零8分时爸爸第一次追上小华．
（1）求小华和爸爸的跑步速度；
（2）爸爸第一次追上小华后，在第二次相遇前，再经过多少分，小华和爸爸相距150米？
【解答】解：（1）设小华的跑步速度为 SKIPIF 1 < 0 米 SKIPIF 1 < 0 分，则爸爸的跑步速度为 SKIPIF 1 < 0 米 SKIPIF 1 < 0 分，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （米 SKIPIF 1 < 0 分），
答：小华的跑步速度为125米 SKIPIF 1 < 0 分，爸爸的跑步速度为250米 SKIPIF 1 < 0 分；
（2）设再经过 SKIPIF 1 < 0 分，小华和爸爸相距150米，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
答：再经过 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 分，小华和爸爸相距150米．
3．已知甲乙两人在一个200米的环形跑道上练习跑步，现在把跑道分成相等的4段，即两条直道和两条弯道的长度相同．甲平均每秒跑4米，乙平均每秒跑6米，若甲乙两人分别从 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两处同时相向出发（如图），则：
（1）几秒后两人首次相遇？请说出此时他们在跑道上的具体位置；
（2）首次相遇后，又经过多少时间他们再次相遇？
（3）他们第100次相遇时，在哪一条段跑道上？
【解答】解：（1）设 SKIPIF 1 < 0 秒后两人首次相遇，
依题意得到方程 SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
甲跑的路程 SKIPIF 1 < 0 米，
答：10秒后两人首次相遇，此时他们在直道 SKIPIF 1 < 0 上，且离 SKIPIF 1 < 0 点10米的位置；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 秒后两人再次相遇，依题意得到方程 SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
答：20秒后两人再次相遇；
（3）第1次相遇，总用时10秒，
第2次相遇，总用时 SKIPIF 1 < 0 ，即30秒，
第3次相遇，总用时 SKIPIF 1 < 0 ，即50秒，
第100次相遇，总用时 SKIPIF 1 < 0 ，即1990秒，
则此时甲跑的圈数为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 米，
此时甲在 SKIPIF 1 < 0 弯道上．
4．学校运动场环形跑道周长 SKIPIF 1 < 0 ，李老师的跑步速度是小明的 SKIPIF 1 < 0 ，他们从同一起点沿跑道的同一方向出发，5分钟后小明第一次与李老师相遇．求：
（1）小明和李老师跑步的速度各是多少？
（2）如果李老师与小明第一次相遇后立即转身沿相反方向跑，那么再过几分钟后小明第二次与李老师相遇？
【解答】解：（1）设小明的跑步速度是 SKIPIF 1 < 0 ，则李老师跑步的速度是 SKIPIF 1 < 0 ．则依题意，得
SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ．
答：小明和李老师跑步的速度各是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 分钟后他们再次相遇．由题意得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
答： SKIPIF 1 < 0 分钟后两人再次相遇．
5．列方程解应用题
甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑7米，甲每秒跑9米．
（1）如果甲、乙两人在跑道上相距16米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？
（2）如果甲在乙前面16米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？
【解答】解：（1）设经过 SKIPIF 1 < 0 秒，甲乙两人首次相遇，
根据题意，得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
答：经过24秒，两人首次相遇．
（2）设经过 SKIPIF 1 < 0 秒，甲乙两人首次相遇，
根据题意，得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
答：经过192秒后两人首次相遇．
6．如图， SKIPIF 1 < 0 是400米的环形跑道，现在把跑道分成相等的4段，即两条直道和两条弯道长度都相同．甲、乙二人沿着环形跑道 SKIPIF 1 < 0 练习跑步（匀速），甲从 SKIPIF 1 < 0 点出发，乙从 SKIPIF 1 < 0 点出发，甲比乙每秒多跑1米．
（1）如果甲按照顺时针方向跑，同时乙按照逆时针方向跑，经过25秒两人第一次相遇，求甲、乙两人的速度．
（2）如果两人按照原来（1）中的速度，沿相同的方向同时起跑，当第一次相遇时，甲在环形跑道 SKIPIF 1 < 0 的哪一条直道或弯道上？说明理由．
【解答】（1）设乙的速度为 SKIPIF 1 < 0 米 SKIPIF 1 < 0 秒，则甲的速度为 SKIPIF 1 < 0 米 SKIPIF 1 < 0 秒，由题意，得
依题意可得： SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 甲的速度为： SKIPIF 1 < 0 米 SKIPIF 1 < 0 秒．
答：甲的速度为6.5米 SKIPIF 1 < 0 秒，乙的速度为5.5米 SKIPIF 1 < 0 秒；
（2）当甲乙两人都按顺时针方向跑，设第一次相遇时用了 SKIPIF 1 < 0 秒．由题意，得
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
此时甲跑的路程为： SKIPIF 1 < 0 米，
SKIPIF 1 < 0 甲跑到弯道 SKIPIF 1 < 0 上；
当甲乙两人都按逆时针方向跑，设第一次相遇时走了 SKIPIF 1 < 0 秒，由题意，得
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 此时甲跑的路程为： SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 甲跑到弯道 SKIPIF 1 < 0 上．
7．已知甲乙两人在一个400米的环形跑道上练习跑步，现在把跑道分成相等的4段，即两条直道和两条弯道的长度相同．甲平均每秒跑4米，乙平均每秒跑6米，若甲乙两人分别从 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两处同时相向出发（如图），则：
（1）几秒后两人首次相遇？请说出此时他们在跑道上的具体位置；
（2）首次相遇后，又经过多少时间他们再次相遇？
（3）他们第100次相遇时，在哪一条段跑道上？
【解答】解：（1）设 SKIPIF 1 < 0 秒后两人首次相遇，
依题意得到方程 SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
甲跑的路程 SKIPIF 1 < 0 米，
答：20秒后两人首次相遇，此时他们在直道 SKIPIF 1 < 0 上，且离 SKIPIF 1 < 0 点20米的位置；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 秒后两人再次相遇，依题意得到方程 SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
答：40秒后两人再次相遇；
（3）第1次相遇，总用时20秒，
第2次相遇，总用时 SKIPIF 1 < 0 ，即60秒，
第3次相遇，总用时 SKIPIF 1 < 0 ，即100秒，
第100次相遇，总用时 SKIPIF 1 < 0 ，即3980秒，
则此时甲跑的圈数为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
此时甲在 SKIPIF 1 < 0 弯道上．即他们第100次相遇时，在跑道 SKIPIF 1 < 0 上．
8．甲乙两人沿400米的环形跑道进行晨跑，甲的速度为8米 SKIPIF 1 < 0 秒，乙的速度为6米 SKIPIF 1 < 0 秒．
（1）若乙站在甲前面30米处，两人同时同向起跑，几秒后两人能首次相遇？
（2）若甲站在乙前面20米处，两人同时同向起跑，几秒后两人能首次相遇？
【解答】解：（1）设 SKIPIF 1 < 0 秒后两人能首次相遇，依题意得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解之得： SKIPIF 1 < 0 ．
答：15秒后两人能首次相遇；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 秒后两人能首次相遇，依题意得，
SKIPIF 1 < 0
解之得： SKIPIF 1 < 0 ，
答：190秒后两人能首次相遇．
9．甲、乙两人在300米的环形跑道上练习长跑，甲的速度是6米 SKIPIF 1 < 0 秒，乙的速度是7米 SKIPIF 1 < 0 秒．
（1）如果甲、乙两人同地背向跑，乙先跑2秒，那么再经过多少秒两人相遇？
（2）如果甲、乙两人同时同地同向跑，乙跑几圈后能首次追上甲？
（3）如果甲、乙两人同时同向跑，乙在甲前面6米，经过多少秒后两人第二次相遇？
【解答】解：（1）设再经过 SKIPIF 1 < 0 秒甲、乙两人相遇．
根据题意，得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
答：再经过22秒甲、乙两人相遇；
（2）设经过 SKIPIF 1 < 0 秒，乙能首次追上甲．
根据题意，得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
因为乙跑一圈需 SKIPIF 1 < 0 秒，所以300秒乙跑了 SKIPIF 1 < 0 圈，
答：乙跑7圈后能首次追上甲；
（3）设经过 SKIPIF 1 < 0 秒后两人第二次相遇，
根据题意，得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
答：经过594秒后两人第二次相遇．
10．运动场的环形跑道一圈长400米，甲乙二人比赛跑步，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑200米；两人同地同方向，同时出发，经过多少时间两人第一次相遇？
【解答】解：设经过 SKIPIF 1 < 0 分钟两人第一次相遇，根据题意得：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
答：经过4分钟两人第一次相遇．
11．已知甲乙两人在一个200米的环形跑道上练习跑步，现在把跑道分成相等的4段，即两条直道和两条弯道的长度相同．甲平均每秒跑4米，乙平均每秒跑6米，若甲乙两人分别从 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两处同时相向出发（如图），试解答下列问题：
（1）几秒后两人首次相遇？请说出此时他们在跑道上的具体位置；
（2）首次相遇后，又经过多少时间他们再次相遇？
（3）他们第10次相遇时，在哪一段跑道上？（第（3）问直接写出结论即可）
【解答】解：（1）设 SKIPIF 1 < 0 秒后两人首次相遇，
依题意得到方程： SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
甲跑的路程 SKIPIF 1 < 0 米，
答：10秒后两人首次相遇，此时他们在直道 SKIPIF 1 < 0 上，且离 SKIPIF 1 < 0 点10米的位置；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 秒后两人再次相遇，依题意得到方程： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
答：20秒后两人再次相遇；
（3）第1次相遇，总用时10秒，
第2次相遇，总用时 SKIPIF 1 < 0 ，即30秒，
第3次相遇，总用时 SKIPIF 1 < 0 ，即50秒，
第10次相遇，总用时 SKIPIF 1 < 0 ，即190秒，
则此时甲跑的圈数为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 米，
所以此时甲在 SKIPIF 1 < 0 直道上．
12．你们知道时钟里面的数学知识吗？我们一起来研究一下吧．
（1）分钟走5分钟，旋转 30 度，那么分钟的旋转速度是 度 SKIPIF 1 < 0 分钟；
（2）时针走1小时，旋转 度，那么时钟的旋转速度是 度 SKIPIF 1 < 0 分钟；
（3）当时间是1点整的时刻，时针和分针的夹角是 度，你知道此时要经过多少分钟，时针和分针将第一次重合？请你算算好吗？
（4）如果是10点整的时刻，那么要经过 分钟，时针和分针将第一次重合．
【解答】解：（1）分钟走5分钟，旋转 30度，那么分钟的旋转速度是6度 SKIPIF 1 < 0 分钟；
（2）时针走1小时，旋转30度，那么时钟的旋转速度是0.5度 SKIPIF 1 < 0 分钟；
（3）假设1点 SKIPIF 1 < 0 分时，分针与时针重合，则
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故经过 SKIPIF 1 < 0 分钟，时针和分针将第一次重合．
（4）假设10点 SKIPIF 1 < 0 分时，分针与时针重合，则
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故经过 SKIPIF 1 < 0 分钟，时针和分针将第一次重合．
故答案为：30，6；30，0.5；30； SKIPIF 1 < 0 ．
13．如图所示，甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒钟跑6米，甲的速度是乙的 SKIPIF 1 < 0 倍．
（1）如果甲、乙在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？
（2）如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？
【解答】解：（1）设经过 SKIPIF 1 < 0 秒甲、乙两人首次相遇，
则： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
答：经过28秒甲、乙两人首次相遇．
（2）设经过 SKIPIF 1 < 0 秒甲、乙两人首次相遇，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
答：经过196秒甲、乙两人首次相遇．
14．甲、乙二人在400米的环形跑道上跑步，已知甲的速度比乙快，如果二人在同一地方出发，同向跑，则3分20秒，相遇一次，若反向跑，则40秒相遇，求甲跑步的速度每秒跑多少米？
【解答】解：设甲的速度是 SKIPIF 1 < 0 米 SKIPIF 1 < 0 秒，则乙的速度是 SKIPIF 1 < 0 米 SKIPIF 1 < 0 秒，由题意得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
答：甲的速度是6米 SKIPIF 1 < 0 秒．
15．如图：已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若射线 SKIPIF 1 < 0 绕 SKIPIF 1 < 0 点以每秒 SKIPIF 1 < 0 的速度顺时针旋转，射线 SKIPIF 1 < 0 绕 SKIPIF 1 < 0 点每秒 SKIPIF 1 < 0 的速度逆时针旋转，两条射线同时旋转，当一条射线与射线 SKIPIF 1 < 0 重合时，停止运动．
（1）开始旋转前， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是 SKIPIF 1 < 0 时，求旋转的时间．
（3）若射线 SKIPIF 1 < 0 也绕 SKIPIF 1 < 0 点以每秒 SKIPIF 1 < 0 的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与射线 SKIPIF 1 < 0 重合时，停止运动．当三条射线中其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线时，求旋转的时间．
【解答】解：（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设旋转时间为 SKIPIF 1 < 0 秒，
① SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相遇前 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相遇后 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
综上可得 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）①由题知， SKIPIF 1 < 0 秒时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，所以在 SKIPIF 1 < 0 秒以前设运动 SKIPIF 1 < 0 秒时， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ；
②由题知， SKIPIF 1 < 0 秒时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合， SKIPIF 1 < 0 秒时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 秒到 SKIPIF 1 < 0 秒间， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，设运动 SKIPIF 1 < 0 秒时，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
③4秒时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，所以在4秒以前设运动 SKIPIF 1 < 0 秒时， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故运动 SKIPIF 1 < 0 秒或 SKIPIF 1 < 0 秒或 SKIPIF 1 < 0 秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线．