浙教版（2024）七年级下册1.3平行线的判定综合训练题

这是一份浙教版（2024）七年级下册1.3平行线的判定综合训练题，文件包含浙教版数学七年级下册重难点培优训练专题12平行线的判定与性质重点题原卷版doc、浙教版数学七年级下册重难点培优训练专题12平行线的判定与性质重点题解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。

【典例1】如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若FP⊥AC，∠2+∠C＝90°，求证：∠1＝∠B；
（3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．
【思路点拨】
（1）根据，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，结合对顶角相等可得∠E＝∠BQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论；
（2）根据垂直的定义可得∠PGC＝90°，由两直线平行同旁内角互补可得∠EAC+∠C＝180°，结合∠2+∠C＝90°，可求得∠BAC＝90°，利用同位角相等两直线平行可得AB∥FP，进而可证明结论；
（3）根据同旁内角互补可判定AB∥FP，结合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度数，根据平行线的性质可得∠B＝∠F，即可求解．
【解题过程】
（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，
∴∠E＝∠BQM，
∴EF∥BC；
（2）证明：∵FP⊥AC，
∴∠PGC＝90°，
∵EF∥BC，
∴∠EAC+∠C＝180°，
∵∠2+∠C＝90°，
∴∠BAC＝∠PGC＝90°，
∴AB∥FP，
∴∠1＝∠B；
（3）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，
∴∠3+∠MNF＝180°，
∴AB∥FP，
∴∠F+∠BAF＝180°，
∵∠BAF＝3∠F﹣20°，
∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，
解得∠F＝50°，
∵AB∥FP，EF∥BC，
∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，
∴∠B＝∠F＝50°．
1．（2021•鞍山一模）如图，∠1＝∠2＝∠3＝56°，则∠4的度数是（ ）
A．56°B．114°C．124°D．146°
【思路点拨】
根据对顶角相等得到∠2＝∠5，结合∠1＝∠2，得到∠1＝∠5，即可判定l1∥l2，根据平行线的性质得出∠6＝56°，再根据邻补角的定义求解即可．
【解题过程】
解：如图，
∵∠1＝∠2，∠2＝∠5，
∴∠1＝∠5，
∴l1∥l2，
∴∠3＝∠6，
∵∠3＝56°，
∴∠6＝56°，
∵∠4+∠6＝180°，
∴∠4＝180°﹣56°＝124°，
故选：C．
2．（2021•雁塔区校级模拟）如图，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，∠1＝∠2＝36°，则∠3＝（ ）
A．36°B．52°C．72°D．80°
【思路点拨】
由平行线的判定定理可得AC∥DE，由平行线的性质可得∠ACB＝∠3，由平分线的定义可得∠ACB＝2∠1＝72°，即得∠3的度数．
【解题过程】
解：∵∠1＝∠2＝36°，
∴AC∥DE，
∴∠ACB＝∠3，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠1＝72°，
∴∠3＝72°．
故选：C．
3．（2021春•单县期末）如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF，则下列结论正确的有（ ）
①∠BAD+∠ADC＝180°；②AF∥DE；③∠DAF＝∠F．
A．3个B．2个C．1个D．0个
【思路点拨】
①证明AB∥CD，可做判断；
②根据平行线的判定和性质可做判断；
③根据AF∥ED得内错角相等和同位角相等，再由角平分线的定义得∠ADE＝∠CDE，从而可做判断．
【解题过程】
解：①∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
故①正确；
②∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠BAF＝180°，
∵∠BAF＝∠EDF，
∴∠AFD+∠EDF＝180°，
∴AF∥DE，
故②正确；
③∵AF∥ED，
∴∠DAF＝∠ADE，∠F＝∠CDE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠DAF＝∠F，
故③正确；
故选：A．
4．（2021春•德宏州期末）如图所示，AC⊥BC，DC⊥EC，则下列结论：①∠1＝∠3；②∠ACE+∠2＝180°；③若∠A＝∠2，则有AB∥CE；④若∠2＝∠E，则有∠4＝∠A．其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．③④D．①②③④
【思路点拨】
由已知可得∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，等量代换即可得出①结论；
延长EC，如图1，由已知条件可得∠1+∠5＝90°，∠1+∠2＝90°，可得∠2＝∠5，根据平角的性质可得∠ACE+∠5＝180°，等量代换即可得出②结论；
由已知条件可得∠A＝∠2，∠ACE+∠2＝180°，等量代换可得∠A+∠ACE＝180°，根据平行线的判定即可得出③结论；
由平行线的性质可得∠E＝∠4，由已知条件∠2＝∠E，∠2＝∠A，等量代换可得∠4＝∠A．即可得出④结论．
【解题过程】
证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3．
故结论①正确；
延长EC，如图1，
∵DC⊥CE，AC⊥BC，
∴∠1+∠5＝90°，∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠5，
∵∠ACE+∠5＝180°，
∴∠ACE+∠2＝180°．
故结论②正确；
∵∠A＝∠2，∠ACE+∠2＝180°，
∴∠A+∠ACE＝180°，
∴AB∥CE．
故结论③正确；
∵AB∥CE，
∴∠E＝∠4，
∵∠2＝∠E，∠2＝∠A，
∴∠4＝∠A．
故结论④正确．
所以结论正确的有①②③④．
故选：D．
5．（2021春•汉川市期末）如图，AD∥BC，∠B＝∠D，延长BA至点E，连接CE，∠EAD和∠ECD的角平分线交于点P．下列三个结论：①AB∥CD；②∠AOC∠EAD+∠ECD；③若∠E＝60°，∠APC＝70°，则∠D＝80°．其中结论正确的个数有（ ）
A．0B．1C．2D．3
【思路点拨】
①根据平行线的性质与判定即可判断；②∠AOC＝∠EAP+∠E，而∠EAP∠EAD，∠E＝∠ECD，即可判断；③利用平行线的性质和角平分线定义即可判断．
【解题过程】
解：∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180，
∵∠B＝∠D，
∴∠BAD+∠D＝180，
∴AB∥CD，故①正确；
∵AB∥CD，
∴∠ECD＝∠E，
∵AP平分∠EAD，
∴∠EAP∠EAD
∵∠AOC＝∠EAP+∠E，
∴∠AOC∠EAD+∠ECD，故②正确；
∴∠ECD＝∠E＝60，
∵CP平分∠ECD，
∴∠ECP∠ECD＝30°，
∵∠APC＝70°，∠AOE＝∠COP，
∴∠EAP＝40°，
∵AP平分∠EAD，
∴∠EAD＝2∠EAP＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠EAD＝80°，故③正确；
故选：D．
6．（2021春•夏津县期末）如图，CB平分∠ACD，∠2＝∠3，若∠4＝60°，则∠5的度数是 ．
【思路点拨】
由∠2与∠3间关系，可得到AB与CD的位置关系，利用角平分线的性质和平行线的性质可求得∠5度数．
【解题过程】
解：∵CB平分∠ACD，
∴∠1＝∠2∠ACD．．
∵∠2＝∠3，
∴AB∥CD．
∴∠5＝∠2，∠4＝∠ACD＝60°．
∴∠5＝∠2＝30°．
故答案为：30°．
7．（2021秋•嵩县期末）如图，AE∥CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③与∠DBE互余的角有2个；
④若∠A＝α，则∠BDF＝180°．其中正确的是 ．（请把正确结论的序号都填上）
【思路点拨】
根据平行线的性质得出∠A和∠ACB的关系，再根据角平分线的性质找出图中相等的角，由等角的余角相等即可得出结论．
【解题过程】
解：∵CBD＝90°，
∴∠ABC+∠EBD＝90°，
又∵∠DBG＝∠EBD，
∴∠ABC＝∠CBG，
∴BC平分∠ABG，
∴①正确，
∵∠GBC＝∠ABC＝∠ACB，
∴AC∥BG，
∴②正确，
∵∠DBE＝∠DBG，
∴与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，
∴③错误，
∵∠BDF＝180°﹣∠BDG，∠BDG＝90°﹣∠CBG＝90°﹣∠ACB，
又∵∠ACB（180°﹣α）＝90°，
∴∠BDF＝180°﹣[90°﹣（90°）]＝180°，
∴④错误，
故答案为：①②．
8．（2021春•凤山县期末）如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠F．请指出∠A与∠D的数量关系，并说明理由．
【思路点拨】
根据∠1＝∠2，∠3＝∠2，可得∠1＝∠3，得BF∥CE，根据平行线的性质得∠ABF＝∠C，由∠C＝∠F，得∠ABF＝∠F，即可得出AC∥DF，得∠A和∠D的数量关系是相等．
【解题过程】
解：∠A和∠D的数量关系是相等．
理由是：如图，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴BF∥CE，
∴∠ABF＝∠C，
∵∠C＝∠F，
∴∠ABF＝∠F，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠D．
9．（2021春•陇县期末）如图，∠AEM+∠CDN＝180°，EC平分∠AEF．若∠EFC＝62°，求∠C的度数．
【思路点拨】
根据同角的补角相等可得出∠AEM＝∠CDM，利用“同位角相等，两直线平行”可得出AB∥CD，由“两直线平行，同旁内角互补”及∠EFC＝62°可求出∠AEF＝118°，结合角平分线的定义可求出∠AEC的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出∠C的度数．
【解题过程】
解：∵∠CDM+∠CDN＝180°，
又∵∠AEM+∠CDN＝180°，
∴∠AEM＝∠CDM，
∴AB∥CD，
∴∠AEF+∠EFC＝180°，
∵∠EFC＝62°，
∴∠AEF＝118°，
∵EC平分∠AEF，
∴∠AEC＝59°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠AEC＝59°．
10．（2021春•江都区校级期中）已知：如图，CD⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为D、G，点E在AC上，且∠1＝∠2．
（1）那么DE与BC平行吗？为什么？
（2）如果∠B＝40°，且∠A比∠ACB小10°，求∠DEC的度数．
【思路点拨】
（1）根据CD⊥AB，FG⊥AB，可判定CD∥FG，利用平行线的性质可知∠2＝∠BCD，已知∠1＝∠2，等量代换得∠1＝∠BCD，故可证DE与BC平行；
（2）根据三角形内角和求出∠ACB＝75°，再根据平行线的性质即可求解．
【解题过程】
解：（1）DE∥BC，理由如下：
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG．
∴∠2＝∠BCD，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DE∥BC；
（2）∵∠B＝40°，∠ACB﹣10°＝∠A，
∴∠ACB+（∠ACB﹣10°）+40°＝180°，
∴∠ACB＝75°，
由（1）知，DE∥BC，
∴∠DEC+∠ACB＝180°，
∴∠DEC＝105°．
11．（2021春•老河口市期末）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：AD∥CE；
（2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于E，∠FAB＝55°，求∠1的度数．
【思路点拨】
（1）根据同位角相等，两直线平行可判定AB∥CD，得到∠2＝∠ADC，等量代换得出∠ADC+∠3＝180°，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解；
（2）由CE⊥AE，AD∥CE得出∠DAF＝∠CEF＝90°，再根据平行线的性质即可求出∠ADC＝∠2＝35°，再根据角平分线的定义即可得解．
【解题过程】
（1）证明：∵∠1＝∠BDC，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠ADC，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠ADC+∠3＝180°，
∴AD∥CE；
（2）解：∵CE⊥AE于E，
∴∠CEF＝90°，
由（1）知AD∥CE，
∴∠DAF＝∠CEF＝90°，
∴∠ADC＝∠2＝∠DAF﹣∠FAB，
∵∠FAB＝55°，
∴∠ADC＝35°，
∵DA平分∠BDC，∠1＝∠BDC，
∴∠1＝∠BDC＝2∠ADC＝70°．
12．（2021春•镇江期中）已知：如图所示，∠BAC和∠ACD的平分线交于E，AE交CD于点F，∠1+∠2＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）试探究∠2与∠3的数量关系，并说明理由．
【思路点拨】
（1）根据角平分线定义得出∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，根据∠1+∠2＝90°得出∠BAC+∠ACD＝180°，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线定义得出∠1＝∠3，即可求出答案．
【解题过程】
（1）证明：∵∠BAC和∠ACD的平分线交于E，
∴∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∠2+∠3＝90°，理由如下：
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠1，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2+∠3＝90°．
13．（2021秋•禅城区期末）已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠AGE+∠AHF＝180°，求证：∠B＝∠C；
（3）在（2）的条件下，若∠BFC＝4∠C，求∠D的度数．
【思路点拨】
（1）由对顶角相等可得∠AGE＝∠DGC，从而可得∠AEG＝∠C，则可判定AB∥CD；
（2）由平角的定义可得∠AGE+∠EGH＝180°，从而可求得∠EGH＝∠AHF，则可判定EC∥BF，则有∠B＝∠AEG，从而可求证；
（3）由（2）得BF∥EC，则有∠C+∠BFC＝180°，从而可求∠C的度数，利用三角形的内角和即可求∠D的度数．
【解题过程】
（1）证明：∵∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，
∴∠AEG＝∠C，
∴AB∥CD；
（2）证明：∵∠AGE+∠EGH＝180°，∠AGE+∠AHF＝180°，
∴∠EGH＝∠AHF，
∴EC∥BF，
∴∠B＝∠AEG，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠AEG，
∴∠B＝∠C；
（3）解：∵BF∥EC，
∴∠C+∠BFC＝180°，
∵∠BFC＝4∠C，
∴∠C+4∠C＝180°，
解得∠C＝36°，
∵∠C＝∠DGC，
∴∠DGC＝36°，
∴∠D＝180°﹣∠C﹣∠DGC＝108°．
14．（2021秋•南岗区期末）已知：在四边形ABCD中，∠B＝∠D，点E在边BC的延长线上，连接AE交CD于点F，若∠BAF+∠AFC＝180°．
（1）如图1，求证：AD∥BC；
（2）如图2，过点D作DG∥AE交BE的延长线于点C，若∠G＝∠B，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中除∠B以外的四个与∠G相等的角．
【思路点拨】
（1）由已知条件可得AB∥CD，从而有∠B＝∠ECD，则可求得∠D＝∠ECD，即可得AD∥BC；
（2）利用平行线的性质进行求解即可．
【解题过程】
（1）证明：∵∠BAF+∠AFC＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠ECD，
∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠ECD，
∴AD∥BC；
（2）∵DG∥AE，
∴∠G＝∠AEB，
由（1）得AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE，∠ADC＝∠DCG，
∴∠G＝∠DAE，
∵∠B＝∠ADC，∠G＝∠B，
∴∠G＝∠ADC＝∠DCG，
综上所述，所∠G相等的角有：∠AEB，∠DAE，∠ADC，∠DCG．
15．（2021秋•安居区期末）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由．
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
（3）若BE平分∠ABC．试说明：①∠ABC＝2∠E；②∠E+∠F＝90°．
【思路点拨】
（1）由∠ADE+∠BCF＝180°结合邻补角互补，可得出∠BCF＝∠ADC，再利用“同位角相等，两直线平行”可得出AD∥BC；
（2）根据角平分线的定义及∠BAD＝2∠F，可得出∠BAF＝∠F，再利用“内错角相等，两直线平行”可得出AB∥EF；
（3）①由AB∥EF，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠ABE＝∠E，结合角平分线的定义可得出∠ABC＝2∠E；
②由AD∥BC，利用“两直线平行，同旁内角互补”可得出∠BAD+∠ABC＝180°，再结合∠BAD＝2∠F，∠ABC＝2∠E可得出∠E+∠F＝90°．
【解题过程】
解：（1）AD∥BC，理由如下：
∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，
∴∠BCF＝∠ADC，
∴AD∥BC．
（2）AB∥EF，理由如下：
∵AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F，
∴∠BAF∠BAD＝∠F，
∴AB∥EF．
（3）①∠ABC＝2∠E，理由如下：
∵AB∥EF，
∴∠ABE＝∠E．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE＝2∠E．
②∠E+∠F＝90°，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°．
∵∠BAD＝2∠F，∠ABC＝2∠E，
∴2∠E+2∠F＝180°，
∴∠E+∠F＝90°．
16．（2021春•铁西区期末）如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．
（1）请直接写出直线AC与DG的位置关系；
（2）求证：BE∥CF；
（3）若∠C＝35°，求∠BED的度数．
【思路点拨】
（1）由对顶角相等可得∠ABF＝∠1，从而有∠ABF＝∠2，即可得AC∥DG；
（2）求出∠1＝∠BFG，根据平行线的判定得出AC∥DG，求出∠EBF＝∠BFC，根据平行线的判定得出即可；
（3）根据平行线的性质得出∠C＝∠CFG＝∠BEF＝35°，再求出答案即可．
【解题过程】
解：（1）AC∥DG，理由如下：
∵∠ABF＝∠1，∠1＝∠2，
∴∠ABF＝∠2，
∴AC∥DG；
（2）由（1）知AC∥DG，
∴∠ABF＝∠BFG，
∵∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C，
∴，∠CFB∠BFG，
∴∠EBF＝∠CFB，
∴BE∥CF．
（3）∵AC∥DG，∠C＝35°，
∴∠C＝∠CFG＝35°，
∵BE∥CF，
∴∠CFG＝∠BEG＝35°，
∴∠BED＝180°﹣∠BEG＝145°．
17．（2021春•广陵区校级期中）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，EP延长线与CD交于点G，点H是MN上一点，且PF∥GH，试判断直GH与EG的位置关系，并说明理由．
【思路点拨】
（1）利用邻补角的定义及已知得出∠1＝∠CFE，即可判定AB∥CD；
（2）利用（1）中平行线的性质推知∠AEF+∠EFC＝180°，然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF＝90°，即EG⊥PF，故结合已知条件PF∥GH，易证GH⊥EG；
【解题过程】
解：（1）AB∥CD，理由如下：
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2＝180°，
又∵∠2+∠CFE＝180°，
∴∠1＝∠CFE，
∴AB∥CD；
（2）GH⊥EG，理由如下：
由（1）知，AB∥CD，
∴∠AEF+∠EFC＝180°．
又∵∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP（∠BEF+∠EFD）＝90°，
∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF，
∵PF∥GH，
∴GH⊥EG．
18．（2021秋•嵩县期末）图1展示了光线反射定律：EF是镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与垂线EF所夹的锐角θ1＝θ2．
（1）在图1中，证明：∠1＝∠2．
（2）图2中，AB，BC是平面镜，入射光线m经过两次反射后得到反射光线n，已知∠1＝30°，∠4＝60°，判断直线m与直线n的位置关系，并说明理由．
（3）图3是潜望镜工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜．请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？
【思路点拨】
（1）根据角的关系解答即可；
（2）求出∠5+∠6＝180°，根据平行线的判定得出即可；
（3）根据平行线的性质和平均的定义得到∠5＝∠6，根据平行线的判定得出即可．
【解题过程】
（1）证明：∵∠AFE＝∠BFE＝90°，
∵θ1＝θ2．
∴∠1＝∠2；
（2）解：直线m∥直线n，
理由：如图2，
∵∠1＝∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°，
∴∠5＝180°﹣∠1﹣∠2＝120°，∠6＝180°﹣∠3﹣∠4＝60°，
∴∠5+∠6＝180°，
∴直线m∥直线n；
（3）解：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，
即：∠5＝∠6，
∴m∥n．
19．（2021秋•上蔡县期末）已知：如图，AB∥CD∥GH，GH过点P．
（1）如图1，若∠BAP＝40°，∠DCP＝30°，则∠APC＝ （直接写出结果）；
（2）如图2，直线MN分别交AB于点E，交CD于点F，点P在线段EF上，点Q在射线FC上．若∠MEB＝110°，∠PQF＝50°，求∠EPQ的度数；
（3）如图3，点P在射线FN上，点Q在射线FD上，∠AEF的平分线交CD于点O．若∠PQF∠MEB，试判断OE与PQ是否平行？并说明理由．
【思路点拨】
（1）依据平行线的性质，即可得到∠APG＝∠BAP＝40°，∠CPG＝∠DCP＝30，再根据∠APC＝∠APG+∠CPG进行计算即可；
（2）利用邻补角的定义可得∠BEP＝180°﹣110°＝70°，利用（1）的结论即可得∠EPQ的度数；
（3）根据对顶角相等以及角平分线的定义可得∠PQF∠MEB∠AEF＝∠AEO，再根据平行线的性质∠AEO＝∠EOF，可得∠PQF＝∠EOF，根据内错角相等两直线平行即可得OE∥PQ．
【解题过程】
解：（1）∵AB∥CD∥GH，
∴∠APG＝∠BAP＝40°，∠CPG＝∠DCP＝30，
∴∠APC＝∠APG+∠CPG＝40°+30°＝70°，
故答案为：70°；
（2）∵∠MEB＝110°，
∴∠BEP＝180°﹣110°＝70°，
由（1）可得：∠EPQ＝∠EPG+∠QPG＝∠BEP+∠PQF＝70°+50°＝120°；
（3）OE∥PQ．
理由：∵∠PQF∠MEB，∠MEB＝∠AEF，
∴∠PQF∠MEB∠AEF，
∵EO平分∠AEF．
∴∠PQF∠AEF＝∠AEO，
∵AB∥CD，
∴∠AEO＝∠EOF，
∴∠PQF＝∠EOF，
∴OE∥PQ．
20．（2021春•汉阳区期中）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）直线AB与直线CD的位置关系是 ；
（2）如图2，点G是射线FD上一动点（不与点F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①当点G在运动过程中，若β＝56°，求α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【思路点拨】
（1）根据角平分线的性质可得∠AEM＝∠FEM，由已知条件∠FEM＝∠FME，等量代换可得∠AEM＝∠FME，由平行线的判定即可得出答案；
（2）由平行线的性质可得β＝∠GEB，由平角的性质可得∠AED＝180°﹣∠GEB，根据角平分线的性质可得∠CEF，∠FEH，由∠CEH＝∠CEF+∠FEH可计算出度数，根据垂线的性质可得α+∠CEH＝90°，代入计算即可得出答案；
（3）证明方法同（2）．
【解题过程】
证明：（1）∵EM平分∠AEF，
∴∠AEM＝∠FEM，
∵∠FEM＝∠FME，
∴∠AEM＝∠FME，
∴AB∥CD．
故答案为：AB∥CD；
（2）①∵AB∥CD，
∴β＝∠GEB＝56°，
∴∠AEG＝180°﹣∠GEB＝180°﹣56°＝124°，
∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠CEF，∠FEH，
∴∠CEH＝∠CEF+∠FEH，
∵HN⊥EM，
∴α+∠CEH＝90°，
∴α＝90°﹣∠CEH＝90°﹣62°＝28°；
②a．理由如下：
∵AB∥CD，
∴β＝∠GEB，
∴∠AED＝180°﹣∠GEB＝180°﹣β，
∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠CEF，∠FEH，
∴∠CEH＝∠CEF+∠FEH，
∵HN⊥EM，
∴α+∠CEH＝90°，
∴α90°，
即a．
21．（2021秋•南岗区校级期中）已知，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD．
（2）如图2，点M在直线AB、CD之间，连接MG、HM，当∠AGM＝32°，∠MHC＝68°时，求∠GMH的度数．
（3）只保持（2）中所求∠GMH的度数不变，如图3，GP是∠AGM的平分线，HQ是∠MHD的平分线，作HN∥PG，则∠QHN的度数是否改变？若不发生改变，请求出它的度数．若发生改变，请说明理由．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）
【思路点拨】
（1）先由邻补角得到∠AGE+∠BGE＝180°，然后结合∠AGE+∠DHE＝180°得到∠BGE＝∠DHE，最后得证AB∥CD；
（2）先由AB∥CD得到∠AGH+∠CHG＝180°，即∠AGM+∠MGH+∠MHG+∠MHC＝180°，再结合∠MGH+∠MHG+∠GMH＝180°得到∠GMH＝∠AGM+∠MHC，最后结合已知条件得到∠GMH的大小；
（3）先由（2）得到∠AGM+∠MHC＝∠GMH＝100°，∠MGH+∠MHG＝80°，然后结合角平分线的定义得到∠MGP和∠MHQ，再结合HN∥PG得到∠GHN＝∠PGH，最后由∠QHN＝∠GHN﹣∠GHQ求得∠QHN的大小．
【解题过程】
（1）证明：∵∠AGE+∠BGE＝180°，∠AGE+∠DHE＝180°，
∴∠BGE＝∠DHE，
∴AB∥CD．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，即∠AGM+∠MGH+∠MHG+∠MHC＝180°，
∵∠MGH+∠MHG+∠GMH＝180°，
∴∠GMH＝∠AGM+∠MHC，
∵∠AGM＝32°，∠MHC＝68°，
∴∠GMH＝100°．
（3）解：∠QHN的度数不发生改变，理由如下，
由（2）得，∠AGM+∠MHC＝∠GMH＝100°，
∴∠MGH+∠MHG＝80°，
∵GP、HQ分别平分∠MGA和∠MHD，
∴∠MGP∠MGA，∠MHQ∠MHD（180°﹣∠MHC）＝90°∠MHC，
∴∠PGH＝∠MGP+∠MGH∠MGA+∠MGH，
∵HN∥PG，
∴∠GHN＝∠PGH∠MGA+∠MGH，
∴∠QHN＝∠GHN﹣∠GHQ＝（∠MGA+∠MGH）﹣（∠MHQ﹣∠MHG）∠MGA+∠MGH﹣∠MHQ+∠MHG∠MGA+80°﹣∠MHQ，
∴∠QHN∠MGA+80°﹣（90°∠MHC）＝﹣10°（∠MGA+∠MHC）＝﹣10°100°＝40°．
22．（2021秋•香坊区校级期中）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足∠DBF＝∠DEF，∠BDG＝∠BGD，DG平分∠BDE．
（1）如图1，当点G在F右侧时，求证：BD∥EF；
（2）如图2，当点G在BF左侧时，求证：∠DGE＝∠BDG+∠FEG；
（3）如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，∠B﹣∠DNG＝∠EDN，求∠B的度数．
【思路点拨】
（1）通过证明∠DBF＝∠EFG，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论；
（2）过点E作GH∥BD，交AD于点H，利用（1）的结论和平行线的性质即可得出结论；
（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α，∠PDM＝180°﹣α；利用已知条件用含α的式子表示∠PDN，∠EDN，∠GDN，∠DNG，再利用∠B﹣∠DNG＝∠EDN，得到关于α的方程，解方程求得α的值，则∠B＝180°﹣4α，结论可求．
【解题过程】
证明：（1）∵DG平分∠BDE，
∴∠BDG＝∠ADG．
又∵∠BDG＝∠BGD，
∴∠ADG＝∠DGB．
∴AD∥BC．
∴∠DEF＝∠EFG．
∵∠DBF＝∠DEF，
∴∠DBF＝∠EFG．
∴BD∥EF．
（2）过点G作GH∥BD，交AD于点H，如图，
∵BD∥EF，
∴GH∥EF．
∴∠BDG＝∠DGH，∠GEF＝∠HGE，
∵∠DGE＝∠DGH+∠HGE，
∴∠DGE＝∠BDG+∠FEG．
（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，
则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α．
∴∠PDM＝180°﹣α．
∵DN平分∠PDM
∴．
∴．
∴∠GDN＝∠MDN﹣∠MDG＝90°α＝90°．
∵DG⊥ON，
∴∠DNG＝90°．
∴．
∵DE∥BF，
∴∠B＝∠PDE＝180°﹣4α．
∵∠B﹣∠DNG＝∠EDN，
∴，
解得：α＝30°．
∴∠B＝180°﹣4α＝60°．