浙教版数学七年级下册重难点培优训练专题2.7 二元一次方程组（压轴题综合训练卷）（2份，原卷版+解析版）

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专题2.7 二元一次方程组（满分100）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2022春•商水县月考）在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（　　）A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①②③⑤【思路点拨】分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“1、只有两个未知数；2、未知数的项最高次数都应是一次；3、都是整式方程”．【解答过程】解：方程组，，中符合二元一次方程组的定义，符合题意．方程组属于二元二次方程组，不符合题意．方程组中的第一个方程不是整式方程，不符合题意．故选：C．2．（2022春•原阳县月考）由3x﹣2y＝6可以得到用x表示y的式子为（　　）A． B． C． D．【思路点拨】移项、系数化为1即可求得结果．【解答过程】解：移项得：﹣2y＝6﹣3x，系数化为1得：．故选：C．3．（2022春•余杭区月考）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是（　　）A． B． C． D．【思路点拨】把m+n当作x，m﹣n当作y，可得关于m，n的二元一次方程组，然后进行计算即可解答．【解答过程】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是，∴，解得：，故选：A．4．（2021秋•岑溪市期末）甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在300米环形跑道上奔跑，若反向而行，每隔20s相遇一次，若同向而行，则每隔300s相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，则可列方程为（　　）A． B． C． D．【思路点拨】利用路程＝速度×时间，结合“若反向而行，每隔20s相遇一次，若同向而行，则每隔300s相遇一次”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答过程】解：∵若反向而行，每隔20s相遇一次，且环形跑道的长度为300米，∴20x+20y＝300；∵若同向而行，则每隔300s相遇一次，且环形跑道的长度为300米，∴300x﹣300y＝300．∴依照题意，可列方程组．故选：C．5．（2021春•澄海区期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲2件、乙4件、丙3件，共需220元钱，购甲3件、乙1件、丙2件共需235元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　）A．85元 B．89元 C．90元 D．91元【思路点拨】设甲每件x元，乙每件y元，丙每件z元，根据题意得：，两式相加得：5x+5y+5z＝455，两边同时除以5，即得答案．【解答过程】解：设甲每件x元，乙每件y元，丙每件z元，根据题意得：，两式相加得：5x+5y+5z＝455，∴x+y+z＝91，∴购甲、乙、丙三种商品各一件共需91元．故选：D．6．（2022•碑林区校级开学）若关于x，y的方程组的解x，y满足x﹣y＝1，则k的值为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】先解二元一次方程组，求出x，y的值，然后代入x﹣y＝1中进行计算即可解答．【解答过程】解：，②×2得：8x﹣2y＝10k③，①+③得：9x＝12k，解得：xk，把xk代入①得：k+2y＝2k，解得：yk，∴原方程组的解为：，把代入x﹣y＝1中可得：kk＝1，解得：k＝1，故选：A．7．（2021春•宿城区校级月考）关于x、y的两个方程组和具有相同的解，则a+b的值是（　　）A．﹣1 B．5 C．6 D．不能确定【思路点拨】先联立不含a，b的两个方程，解方程组求出x，y的值，再代入含a，b的两个方程联立的方程组中，进行计算即可解答．【解答过程】解：由题意得：，②﹣①得：x＝4，把x＝4代入①中得：8﹣y＝7，解得：y＝1，∴原方程组的解为：，把代入方程组中可得：，①×3得：12a﹣6b＝6③，③﹣②得：﹣b＝﹣3，解得：b＝3，把b＝3代入①中得：4a﹣6＝2，解得：a＝2，∴此方程组的解为：，∴a+b＝2+3＝5，故选：B．8．（2021秋•苏家屯区期末）爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：则10：00时看到里程碑上的数是（　　）A．15 B．24 C．42 D．51【思路点拨】设小明9：00时看到的两位数十位数字为x，个位数字为y，根据小明连续三次看到的结果，列出二元一次方程组，解之得出x，y的值，再代入（10y+x）中即可．【解答过程】解：设小明9：00时看到的两位数十位数字为x，个位数字为y，即两位数为为10x+y；则10：00时看到的两位数为x+10y，9：00﹣10：00时行驶的里程数为：（10y+x）﹣（10x+y），11：30时看到的数为100x+y，11：30时﹣10：00时行驶的里程数为：（100x+y）﹣（10y+x）；依题意，得：，解得：，∴10：00时小明看到的两位数是10y+x＝51．故选：D．9．（2022•泗洪县一模）已知二元一次方程组，则x+y的值等于（　　）A．﹣2 B． C．9 D．22【思路点拨】根据绝对值的意义把原方程组化为四个二元一次方程组，再分别解方程组即可得到x、y的值，进而可得x+y．【解答过程】解：当x≥0，y≥0时，原方程可转化为，解得，不符合题意，故舍去；当x≥0，y≤0时，原方程可转化为，解得，此时x+y；当x≤0，y≥0时，原方程可转化为，不符合题意，故舍去；当x≤0，y≤0时，原方程可转化为，解得，不符合题意，故舍去；综上，x+y．故选：B．10．（2021秋•峡江县期末）已知关于x、y的方程组，则下列结论中正确的是（　　）①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2的解；②当x＝y时，a；③不论a取什么实数，2x+y的值始终不变．A．①② B．①②③ C．②③ D．②【思路点拨】①把a＝1代入方程组中进行计算，求出x，y的值，然后再代入x+y＝2中，进行计算即可解答；②把x＝y代入原方程组中，进行计算即可解答；③先解方程组，求出x，y的值，然后代入2x+y中进行计算即可解答．【解答过程】解：①当a＝1时，原方程组为，解得：，把代入x+y＝2中，∴左边＝0，右边＝2，∴左边≠右边，∴当a＝1时，方程组的解不是方程x+y＝2的解，故①错误；②把x＝y代入原方程组中，可得：，解得：a，故②正确；③，①+②得：2x＝6+2a，①﹣②得：2y＝﹣4a﹣4，∴y＝﹣2a﹣2，∴2x+y＝6+2a﹣2a﹣2＝4，∴不论a取什么实数，2x+y的值始终不变，故③正确；所以，上列结论中正确的是：②③，故选：C．二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2021秋•肃州区期末）已知，方程xa﹣1﹣2y2+b+3＝0是关于x，y的二元一次方程，则a+b＝　1　．【思路点拨】利用二元一次方程的定义得出关于a，b的方程组，解方程并代入代数式即可．【解答过程】解：∵方程xa﹣1﹣2y2+b+3＝0是关于x，y的二元一次方程，∴a﹣1＝1，2+b＝1，解得a＝2，b＝﹣1，∴a+b＝2﹣1＝1．故答案为：1．12．（2022•江北区开学）某果园计划种植梨树和苹果树共1000株，实际上梨树种植量比计划增长10%，而苹果树种植量比计划减少5%．若设实际种植梨树x株，苹果树y株，列二元一次方程为　1000　．【思路点拨】利用梨树种植量比计划增长10%，苹果树种植量比计划减少5%，分别表示出苹果与梨树的棵数进而得出等式求出即可．【解答过程】解：设实际种植梨树x株，苹果树y株，列二元一次方程为：1000．故答案为：1000．13．（2021春•新兴县校级期末）欢欢对乐乐说“当我的年龄是你现在年龄时，你才2岁”；乐乐对欢欢说：“当我的年龄是你现在的年龄时，你将23岁”．求两人现在的年龄．设欢欢现在为x岁，乐乐现在年龄为y岁．列出的二元一次方程组是 　　．（要求所列方程组保留原来的数量关系，不要化简）【思路点拨】根据欢欢、乐乐年龄之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答过程】解：∵当欢欢的年龄是乐乐现在年龄时，乐乐才2岁，∴y﹣（x﹣y）＝2；∵当乐乐的年龄是欢欢现在的年龄时，欢欢将23岁，∴x+（x﹣y）＝23．∴根据题意可列出二元一次方程组．故答案为：．14．（2022春•余杭区月考）已知关于x，y的二元一次方程（3x﹣2y+9）+m（2x+y﹣1）＝0，不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是 　　．【思路点拨】该方程变形为（3+2m）x+（m﹣2）y＝m﹣9，再分别令3+2m＝0和m﹣2＝0时求解方程即可．【解答过程】解：该方程变形为（3+2m）x+（m﹣2）y＝m﹣9，当3+2m＝0时，解得m，将m代入方程得，0×x+（2）y9，解得y＝3；当m﹣2＝0时，解得m＝2，将m＝2代入方程得，（3+2×2）x+0×y＝2﹣9，解得x＝﹣1，∴不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是，故答案为：．15．（2022•开州区模拟）中国的元旦，据传说起于三皇五帝之一的颛顼，距今已有3000多年的历史．“元旦”一词最早出现于《晋书》．“元旦节”前夕，某超市分别以每袋30元、20元、10元的价格购进腊排骨、腊香肠、腊肉各若干，由于该食品均是真空包装，只能成袋出售，每袋的售价分别为50元、40元、20元，元旦节当天卖出三种年货若干袋，元月2日腊排骨卖出的数量第一天腊排骨数量的3倍，腊香肠卖出的数量是第一天腊香肠数量的2倍，腊肉卖出的数量是第一天腊肉数量的4倍；元月3日卖出的腊排骨的数量是这三天卖出腊排骨的总数量的，卖出腊香肠的数量是前两天腊香肠数量和，卖出腊肉的数量是第二天腊肉数量的一半．若第三天三种年货的销售总额比第一天三种年货销售总额多1600元，这三天三种年货的销售总额为9350元，则这三天所售出的三种年货的总利润为 　4300　元．【思路点拨】设元旦节当天三种年货的数量分别是x、y、z袋，则元月2日的数量分别为3x，2y，4z袋，元月3日为x，4y，2z袋，根据“第三天三种年货的销售总额比第一天三种年货销售总额多1600元，这三天三种年货的销售总额为9350元”建立方程组，化简得到56y﹣25x＝185，可求出x，y，z的值，进而利用利润＝（售价﹣成本）×数量即可求解．【解答过程】解：设元旦节当天三种年货的数量分别是x、y、z袋（x、y、z均为正整数），由题意可得，，整理得，解得，得56y﹣25x＝185，y＝5时，x，不合题意，舍去；y＝10时，x＝15，z＝20；y＝15时，x，不合题意，舍去；……分析可知，y＝10，x＝15，z＝20，∴利润为：（50﹣30）×5×15+（40﹣20）×7×10+（20﹣10）×7×20＝4300（元），故答案为：4300．三．解答题（本大题共8小题，满分55分）16．（2022春•镇平县月考）解下列方程组：（1）；（2）．【思路点拨】（1）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可；（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【解答过程】解：（1）方程组整理得：，①×3+②×2得：17m＝306，解得：m＝18，把m＝18代入①得：54+2n＝78，解得：n＝12，则方程组的解为；（2）方程组整理得：，①×9﹣②得：46x＝322，解得：x＝7，把x＝7代入②得：﹣7+9y＝2，解得：y＝1，则方程组的解为．17．（2022春•华安县校级月考）由8个一样的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，已知大的长方形的周长是92cm，求大的长方形的长和宽？【思路点拨】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，利用长方形的周长计算公式及对边相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入3x，（x+y）中即可求出结论．【解答过程】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，依题意得：，解得：，∴3x＝3×10＝30，x+y＝10+6＝16．答：大长方形的长为30cm，宽为16cm．18．（2022•包河区校级一模）《九章算术》中记载这样一道问题．原文：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每只各重多少斤？”请解答上述问题．【思路点拨】设每只雀重x斤，每只燕重y斤，根据“将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等；5只雀、6只燕的总重量为1斤”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出雀、燕每只的重量．【解答过程】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤，依题意得：，解得：．答：每只雀重斤，每只燕重斤．19．（2021春•郧西县月考）甲乙两人合作学习解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，他们其它求解过程没有错误．请问你能根据这些信息算出a和b的值吗？并求的值．【思路点拨】把代入2x﹣by＝﹣3中求出b，把代入ax+2y＝10中求出a，然后再把a，b的值代入中进行计算即可解答．【解答过程】解：把代入2x﹣by＝﹣3中可得：﹣6+b＝﹣3，解得：b＝3，把代入ax+2y＝10中可得：5a+8＝10，解得：a，当a，b＝3时，（3）2000+（）2001＝（﹣1）2000+（﹣1）2001＝1+（﹣1）＝0．∴a的值为，b的值为3，的值为0．20．（2022春•柯桥区月考）已知关于x，y的方程组．（1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解；（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；（3）当m每取一个值时，2x﹣2y+mx＝8就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗？【思路点拨】（1）先把方程变形为x＝6﹣2y，，即可确定方程的正整数解；（2）根据题意可得，求出x，y的值，然后代入方程2x﹣2y+mx＝8中进行计算即可解答；（3）先把方程变形为（2+m）x﹣2y＝8，即可求出公共解．【解答过程】解：（1）∵x+2y﹣6＝0，∴x+2y＝6，∴x＝6﹣2y，当y＝1时，x＝4，当y＝2时，x＝2，∴方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解为：，；（2）由题意得：，解得：，把代入2x﹣2y+mx＝8中，﹣12﹣12﹣6m＝8，解得：m，∴m的值为；（3）∵2x﹣2y+mx＝8，∴（2+m）x﹣2y＝8，令x＝0，0﹣2y＝8，解得：y＝﹣4，∴无论m取何值，都是方程2x﹣2y+mx＝8的解，∴公共解为．21．（2022春•泾阳县月考）临近2022年春节，西安疫情形势较为严峻，对确诊病例所在地区实行区域管控，严格履行疫情防控措施．为防范疫情，某校欲购置规格分别为300mL和500mL的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买2瓶甲种和1瓶乙种消毒液需要61元，购买3瓶甲种和4瓶乙种消毒液需要154元．（1）求甲、乙两种消毒液的单价；（2）为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将11.2L的消毒液全部装入最大容量分别为300mL和500mL的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20mL，请问如何分能使总损耗最小？求出此时需要的两种空瓶的数量．【思路点拨】（1）设甲种消毒液的单价为x元，乙种消毒液的单价为y元，根据“购买2瓶甲种和1瓶乙种消毒液需要61元，购买3瓶甲种和4瓶乙种消毒液需要154元”，列出二元一次方程组，解之即可；（2）设分装300ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，根据需将11.2L的消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗20ml，列出二元一次方程，结合m，n均为非负整数得出各分装方案，选择（m+n）最小的方案即可．【解答过程】解：（1）设甲种消毒液的单价为x元，乙种消毒液的单价为y元，依题意得：，解得：，答：甲种消毒液的单价为18元，乙种消毒液的单价为25元；（2）设需要300ml的空瓶m个，500ml的空瓶n个，依题意得：（300+20）m+（500+20）n＝11200，∴m＝35n，∵m，n均为非负整数，∴或或，当m＝35，n＝0时，总损耗为20（m+n）＝700（ml）；当m＝22，n＝8时，总损耗为20（m+n）＝600（ml）；当m＝9，n＝16时，总损耗为20（m+n）＝500（ml）；∵700＞600＞500，∴分装成300ml的9瓶，500ml的16瓶时，总损耗最小，此时需要300ml的空瓶9个，500ml的空瓶16个．22．（2022•大渡口区模拟）阅读：一个两位数，若它刚好等于它各位数字之和的整数倍，我们称这个两位数为本原数；把一个本原数的十位数字、个位数字交换后得到一个新的两位数，我们称这个新的两位数为本原数的奇异数．（1）一本原数刚好是组成它的两个数字之和的4倍．请写出符合条件的所有本原数；（2）一本原数刚好等于组成它的数字之和的3倍，它的奇异数刚好是两个数字之和的k倍．请问k的值是多少？（3）一个本原数刚好等于组成它的数字之和的m倍，它的奇异数刚好是这个数的数字之和的n倍，试说明m和n的关系．【思路点拨】（1）设本原数的十位数字为x，个位数字为y，由题意：一本原数刚好是组成它的两个数字之和的4倍，列出二元一次方程，求出正整数解即可；（2）设本原数的十位数字为m，个位数字为n，由题意：一本原数刚好等于组成它的数字之和的3倍，它的奇异数刚好是两个数字之和的k倍，分别列出二元一次方程和一元一次方程，求出二元一次方程的正整数解，即可解决问题；（3）设本原数的十位数字为a，个位数字为b，由题意：一个本原数刚好等于组成它的数字之和的m倍，它的奇异数刚好是这个数的数字之和的n倍，列出二元一次方程组，即可解决问题．【解答过程】解：（1）设本原数的十位数字为x，个位数字为y，由题意得：10x+y＝4（x+y），整理得：y＝2x，∵x、y为正整数，且x＜10，y＜10，∴或或或，∴符合条件的所有本原数为12或24或36或48；（2）设本原数的十位数字为m，个位数字为n，由题意得：10m+n＝3（m+n），整理得：nm，∵m、n为正整数，且m＜10，n＜10，∴，∴本原数为27，∵本原数的奇异数刚好是两个数字之和的k倍，∴k（2+7）＝72，∴k＝8，即k的值是8；（3）m+n＝11，理由如下：设本原数的十位数字为a，个位数字为b，由题意得：，①+②得：（a+b）（m+n）＝11（a+b），∴m+n＝11．23．（2021春•自贡期末）对于有理数x，y，定义新运算：x#y＝ax+by，x⊕y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1#1＝1，3⊕2＝8．（1）求a，b的值；（2）若关于x，y的方程组的解也满足方程x+y＝3，求m的值；（3）若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．【思路点拨】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程x+y＝3求解即可；（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．【解答过程】解：（1）由题意得，解得；（2）依题意得，解得，∵x+y＝3，∴m+1+3m﹣2＝3，解得m＝1；（3）由题意得的解为，由组得，整理，得，即，解得或．题号一二三总分得分 评卷人  得 分   时刻9：0010：0011：30里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和是6是一个两位数，它的十位与个位数字与9：00所看到的正好互换了是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0 评卷人  得 分    评卷人  得 分