人教版数学七年级下册同步教案第10讲 消元解二元一次方程组

第10讲 消元—二元一次方程组第 10讲 讲消元—二元一次方程组概述【知识导图】教学过程【教学建议】作为数学的一个重要分支，方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.在七年级上学期学生已经学习了一元一次方程，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验.本章将进一步研究二元一次方程组的有关概念、解法和应用等.它是一元一次方程的继续和发展.同时也是今后学习一次函数、线性方程组及平面解析几何等知识的基础.一、课堂导入七年级(3)班在上体育课时,进行投篮比赛,体育老师做好记录,并统计了在规定时间内投进n个球的人数分布情况,体育委员在看统计表时,不慎将墨水沾到表格上(如下表).同时,已知进球3个和3个以上的人平均每人投进3.5个球;进球4个和4个以下的人平均每人投进2.5个球,你能把表格中投进3个球和投进4个球对应的人数补上吗?二、知识讲解知识点1 代入消元法代入消元法：这种通过代入消去一个未知数，使二元方程转化为一元方程，从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法，简称代入法．知识点2 加减消元法加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中有一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.知识点3 消元法的过程代入消元法用代入法解二元一次方程组的一般过程：1、从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或者y）的代数式表示y）（或者x），即变成y=ax+b（或x=ay+b）的形式；2、将y=ax+b（或x=ay+b）代入另一个方程（不能代入原变形的方程），消去y（或x），得到一个关于x（或者y）的一元一次方程；3、解这个一元一次方程，求出x（或者y）的值；4、把求出的值代入y=ax+b（或x=ay+b）中，求y（或者x）的值；5、用大括号联立这两个未知数的值，就是这个方程组的解.加减法解二元一次方程组的一般过程用加减法解二元一次方程组的一般过程：1、根据等式的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式.2、将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程.3、解这个一元一次方程，求出一个未知数的解.4、把这个未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值.5、用大括号联立这两个未知数的值，就是这个方程组的解.知识点4 解方程组解二元一次方程组1、当某一个未知数的系数的绝对值相等时，若符号不同，用加法消元，若符号相同，用减法消元.2、当某一个未知数的系数成倍数关系时，将系数较小的方程两边同乘这个倍数，把该未知数的系数变为相等或互为相反数，再用加减法解方程组.3、当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，把该未知数的系数化为绝对值相等的数，再用加减消元法。三、例题精析四、例题精析例题1解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝－1，①,2x－5y＝7.②))【答案】解法一：由①得x＝eq \f(－1－3y,2)，代入方程②，消去x.得y＝ －1.代入①或②，得x＝1.所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))解法二：①－②得：8y＝－8，所以y＝ －1.代入①或②，得x＝1.所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))【解析】代入消元法或者加减消元法都可以.例题2在方程3x+4y-2=0中，若y分别取2，，0，-1，-4，求相应的x的值.【答案】 将3x+4y-2=0变形，得x=.把已知的y值依次代入方程的右边，计算对应的x值，得【解析】将对应的y值分别代入方程中进行计算即可.例题3用加减法解下列方程组时，你认为先消去哪个未知数较简单，填写消元的方法．(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝15，　①,5x－4y＝23.　②))消元方法：________．(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7m－3n＝1，　①,2n＋3m＝－2.　②))消元方法：________．【答案】(1) ①×2－②消去y①×2＋②×3消去n【解析】 在用加减消元解方程时,消去的那个元最好是在两个方程中有着倍数关系,可以减少我们的计算量.四、课堂运用五、课堂应用基础1. 下列方程组中是二元一次方程组的是(　　)．A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(xy＝1,x＋y＝2)) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x－2y＝3,\f(1,x)＋y＝3)) C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋z＝0,3x－y＝\f(1,5))) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝5,\f(x,2)＋\f(y,3)＝7))2. 方程组 的解为（ ）A. B.C. D.3. 对于二元一次方程组用加减法消去x，得到的方程是（　　） A、2y=-2 B、2y=-36 C、12y=-36 D、12y=-2答案与解析1.【答案】 D.【解析】解：A项中最高次数为2次，B项中有分式，C项中有3个未知数．2.【答案】 D.【解析】将各选择项中的每对数值分别代入原方程组中的两个方程，既满足方程①，又满足方程②的才是原方程组的解，否则就不是.只有D中未知数的值既满足方程①,又满足方程②，所以选D.3.【答案】C.【解析】两方程相减即可得到答案.巩固1. 二元一次方程3x＋2y＝11(　　)．A．任何一对有理数都是它的解 B．只有一个解C．只有两个解 D．有无数个解2. 方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1))的解是(　　)．A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2)) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2)) C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1))3．由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋m＝4，,y－3＝m))可得出x与y之间的关系是(　　)．A．x＋y＝1 B．x＋y＝－1 C．x＋y＝7 D．x＋y＝－7答案与解析1.【答案】D.【解析】给一个x的值就有一个y的值与之相对应．2.【答案】A.【解析】本题可用加减法求出方程组的解．3.【答案】C.【解析】通过代入消去未知数m即可，或两个方程相加，也可消去m，得x与y的关系．拔高方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y＝■，,x＋y＝3))的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝■，))则被遮盖的两个数分别为(　　)．A．1,2 B．5,1 C．2,3 D．2,42．已知关于x，y的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y＝m，,x－y＝4m))的解为3x＋2y＝14的一个解，那么m的值为(　　)．A．1 B．－1 C．2 D．－23. 二元一次方程组的解x，y的值相等，求k.1.【答案】B.【解析】把x＝2代入x＋y＝3中，求出y＝1，再把eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))代入方程组中，得2x＋y＝5.2.【答案】C.【解析】先解关于x，y的方程组得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3m，,y＝－m，))再将其代入3x＋2y＝14中，得9m－2m＝14.从而求出m＝2.3.【答案】由题意可知x=y， ∴ 4x+3y=7可化为4x+3x=7. ∴ x=1，y=1. 将x=1，y=1代入kx+(k-1)y=3中，得k+k-1=3， ∴ k=2.五．课堂小结本节课主要讲解利用代入法和加减消元法解二元一次方程组，本节课的重点内容就是解二元一次方程组的方法和技巧，注意选取正确的解题方法.六．拓展延伸基础1. 下列哪组数是二元一次方程组的解( ) A. B. C. D.2.解方程组：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x－3y＝11，,2x＋y＝13.))eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(①,②))3. 已知 是方程kx﹣y=3的解，那么k的值是（   ）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1答案与解析1.【答案】D.【解析】先解出x的值，再代入求出y的值.2.【答案】解：①＋②×3，得10x＝50，解得x＝5.把x＝5代入②，得2×5＋y＝13，解得y＝3.于是，得方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝3.))3.【答案】A.【解析】将方程的解代入计算, 即可得到k值.巩固已知关于x、y的方程组 的解是一对正数，求a的取值范围．2. 解方程组： 3. 已知关于x ， y的方程组 的解为 ，求m，n的值．答案与解析【答案】 解： ①+②得：2x=8a+8，x=4a+4，①﹣②得：2y=﹣2a+10，y=﹣a+5，∵关于x、y的方程组 的解是一对正数，∴4a+4＞0且﹣a+5＞0，解得：﹣1＜a＜5【答案】解： ， ①×4得，8x﹣4y=20③， ②+③得，11x=22， 解得x=2， 把x=2代入①得，4﹣y=5， 解得y=﹣1， 所以，方程组的解是 ．3.【答案】将 代入方程组中，得 ，解得： ．所以m=5，n=1．拔高1. 方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝a，,4x－3y＝a－4))的解x与y的和是2，则a＝______.2. 甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试计算a2 013+(-b)2 014.3. 已知方程组 与 的解相同，求a2+2ab+b2的值．答案与解析1.【答案】5．【解析】解关于x，y的二元一次方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝a，,4x－3y＝a－4))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(a－2,3)，,y＝\f(a＋4,9)，))由x与y的和是2得关于a的一元一次方程eq \f(a－2,3)＋eq \f(a＋4,9)＝2，解得a＝5.2. 【答案】 把 代入方程②中，得4×(-3)-b×(-1)=-2，解这个方程，得b=10. 把代入方程①中，得5a+5×4=15， 解这个方程，得a=-1. 所以a2 013+(-b)2 014=(-1)2 013+(-×10)2 014=0.3.【答案】解：由方程组 与 的解相同， 得 ①， ②，解①得 ， 把 代入②得 ，解得 ，则a2+2ab+b2=（a+b）2=（﹣2+5）2=9七．教学反思适用学科初中数学适用年级初中一年级适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点1.代入消元法解二元一次方程组；2.加减消元法解二元一次方程组；教学目标1.用代入法、加减法解二元一次方程组；2.了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想.教学重点用代入法、加减法解二元一次方程组．教学难点如何理解消元.进球数n012345投进球的人数127●●2y20-1-4-226