沪科版数学七下同步讲义专题8.10 整式乘法与因式分解章末测试卷（培优卷）（2份，原卷版+解析版）

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第8章 整式乘法与因式分解章末测试卷（培优卷）【沪科版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答过程7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2021秋•南开区期中）下列计算正确的是（　　）A．b3•b3＝2b3 B．（a5）2＝a7 C．（﹣2a）2＝4a2 D．（ab）5÷（ab）2＝ab3【解题思路】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法的性质逐项计算可判定求解．【解答过程】解：A．b3•b3＝b6，故该选项错误，不符合题意；B．（a5）2＝a10，故该选项错误，不符合题意；C．（﹣2a）2＝4a2，故该选项正确，符合题意；D．（ab）5÷（ab）2＝（ab）3＝a3b3，故该选项错误，不符合题意．故选：C．2．（3分）（2021秋•东城区校级期中）如果（2x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，那么m的值为（　　）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．1【解题思路】先根据多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，根据乘积不含x的一次项得出6+m＝0，再求出m即可．【解答过程】解：（2x+m）（x+3）＝2x2+6x+mx+3m＝2x2+（6+m）x+3m，∵（2x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，∴6+m＝0，解得：m＝﹣6，故选：A．3．（3分）（2021秋•仓山区期中）已知3x＝5，3y＝10，3z＝50，那么下列关于x，y，z之间满足的等量关系正确的是（　　）A．x+y＝z B．xy＝z C．2x+y＝z D．2xy＝z【解题思路】由3z＝50可得：3z＝5×10，则可得到3z＝3x×3y，从而有3z＝3x+y，即可得解．【解答过程】解：∵3x＝5，3y＝10，3z＝50，∴3z＝5×10，3z＝3x×3y，3z＝3x+y，∴z＝x+y．故选：A．4．（3分）（2021秋•海口期中）如果多项式x2+（m﹣2）x+16是一个二项式的完全平方式，那么m的值为（　　）A．6 B．+10 C．10或﹣6 D．6或﹣2【解题思路】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值．【解答过程】解：∵x2+（m﹣2）x+16是一个二项式的完全平方式，∴m﹣2＝±8，∴m＝10或﹣6．故选：C．5．（3分）（2021秋•永春县校级月考）若x+y＝6，x2+y2＝20，求x﹣y的值是（　　）A．2 B．﹣2 C．4 D．±2【解题思路】先根据完全平方公式求出xy的值，再根据完全平方公式求出（x﹣y）2，再开方即可．【解答过程】解：∵x+y＝6，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝20，∴2xy＝62﹣20＝16，∴xy＝8，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝20﹣2×8＝4，∴x﹣y＝±2，故选：D．6．（3分）（2021春•莱山区期末）如果用平方差公式计算（x﹣y+5）（x+y+5），则可将原式变形为（　　）A．[（x﹣y）+5][（x+y）+5] B．[（x+5）﹣y][（x+5）+y] C．[（x﹣y）+5][（x﹣y）﹣5] D．[x﹣（y+5）][x+（y+5）]【解题思路】能用平方差公式计算式子的特点是：（1）两个二项式相乘，（2）有一项相同，另一项互为相反数．把x+5看作公式中的a，y看作公式中的b，应用公式求解即可．【解答过程】解：（x﹣y+5）（x+y+5）＝[（x+5）﹣y][（x+5）+y]．故选：B．7．（3分）（2021秋•东城区校级期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）A．m（a+b）＝ma+mb B．x2+3x+2＝（x+1）（x+2） C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 D．【解题思路】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答过程】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；C．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D．等式的右边是一个整式和一个分式的积，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：B．8．（3分）（2021秋•广饶县期中）n为正整数，若2an﹣1﹣4an+1的公因式是M，则M等于（　　）A．an﹣1 B．2an C．2an﹣1 D．2an+1【解题思路】根据多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式，可得答案．【解答过程】解：因为2an﹣1﹣4an+1＝2an﹣1（1﹣a2），所以2an﹣1﹣4an+1的公因式是2an﹣1，即M＝2an﹣1，故选：C．9．（3分）（2021秋•松江区期中）已知x﹣y＝2，xy，那么x3y+3x2y2+xy3的值为（　　）A．3 B．6 C． D．【解题思路】根据x﹣y＝2，xy，把x3y+3x2y2+xy3化为xy[（x﹣y）2+5xy]这种形式，整体代入即可．【解答过程】解：∵x﹣y＝2，xy，∴原式＝xy（x2+3xy+y2）＝xy（x2﹣2xy+y2+5xy）＝xy[（x﹣y）2+5xy]（4）＝3．故选：D．10．（3分）（2021春•兴宾区期末）有A，B两个正方形，按图甲所示将B放在A的内部，按图乙所示将A，B并列放置构造新的正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（　　）A．13 B．19 C．11 D．21【解题思路】设A，B两个正方形的边长各为a、b，则由题意得（a﹣b）2＝3，（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝16，所以正方形A，B的面积之和为a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，代入即可计算出结果．【解答过程】解：设A，B两个正方形的边长各为a、b，则图甲得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝3，由图乙得（a+b）2﹣（a2+b2）＝（a2+2ab+b2）﹣（a2+b2）＝2ab＝16，∴正方形A，B的面积之和为，a2+b2＝（a2﹣2ab+b2）+2ab＝（a﹣b）2+2ab＝3+16＝19，故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2021秋•西城区校级期中）若（a+1）0有意义，则实数a的取值范围是 　a≠﹣1　．【解题思路】利用零指数幂的意义解答过程即可．【解答过程】解：∵零的零次幂没有意义，∴a+1≠0，∴a≠﹣1．故答案为：a≠﹣1．12．（3分）（2021秋•铁西区期中）计算20212﹣2025×2017＝　16　．【解题思路】利用a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）计算即可．【解答过程】解：原式＝20212﹣（2021+4）×（2021﹣4）＝20212﹣（20212﹣42）＝20212﹣20212+42＝16．故答案为：16．13．（3分）（2021秋•南通期中）已知x，y为正整数且y＝5x，则9x+y÷27y﹣x＝　1　．【解题思路】利用幂的乘方对所求的式子进行整理，再利用同底数幂的除法法则进行运算即可．【解答过程】解：∵y＝5x，∴9x+y÷27y﹣x＝32x+2y÷33y﹣3x＝32x+2y﹣3y+3x＝35x﹣y＝35x﹣5x＝30＝1．故答案为：1．14．（3分）（2021秋•莱州市期中）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为 　（x+3）2　．【解题思路】根据题意可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项的系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，代入原多项式进行因式分解．【解答过程】解：∵甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），但a是正确的，（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，∴a＝6，∵（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，乙看错了a，但b是正确的，∴b＝9，∴x2+ax+b＝x2+6x+9＝（x+3）2，故答案为：（x+3）2．15．（3分）（2021•内江）若实数x满足x2﹣x﹣1＝0，则x3﹣2x2+2021＝　2020　．【解题思路】解法一：由等式性质可得x2＝x+1，x2﹣x＝1，再将代数式转化为x•x2﹣2x2+2021，把x2＝x+1代入进行降次后化简，再将x2﹣x＝1整体代入计算可求解；解法二：由等式性质可得x2＝x+1，x2﹣x＝1，将代数式化为x2（x﹣2）+2021，把x2＝x+1代入进行降次后化简，再将x2﹣x＝1整体代入计算可求解．【解答过程】解法一：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，x2﹣x＝1，x3﹣2x2+2021＝x•x2﹣2x2+2021＝x（x+1）﹣2x2+2021＝x2+x﹣2x2+2021＝﹣x2+x+2021＝﹣1+2021＝2020．解法二：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，x2﹣x＝1，∴原式＝x2（x﹣2）+2021＝（x+1）（x﹣2）+2021＝x²﹣x﹣2+2021＝1﹣2+2021＝2020，故答案为2020．16．（3分）（2021秋•河南月考）如图是三种不同类型的地砖，若现有A类9块，B类5块，C类1块，若要拼成一个正方形还需B类地砖 　1　块．【解题思路】分别计算出9块A的面积和5块B的面积、1块C的面积，再计算这三种类型的砖的总面积，用完全平方公式化简后，即可得出少了哪种类型的地砖．【解答过程】解：9块A的面积为：9×m×m＝9m2；5块B的面积为：5×m×n＝5mn；1块C的面积为n×n＝n2；那么这三种类型的砖的总面积应该是：9m2+5mn+n2＝9m2+6mn+n2﹣mn＝（3m+n）2﹣mn，因此，少1块B型地砖，故答案为：1．三．解答过程题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2021秋•大石桥市期中）（1）若2x+5y﹣3＝0，求4x•32y的值．（2）已知a3m＝3，b3n＝2．求（a2m）3+（bn）3﹣a2mbn•a4mb2n的值．【解题思路】（1）根据同底数幂的乘法进行化简，然后将2x+5y﹣3＝0代入原式即可求出答案．（2）根据幂的乘方、同底数幂的乘法即可求出答案．【解答过程】解：（1）4x•32y＝22x•25y＝22x+5y，当2x+5y﹣3＝0时，∴2x+5y＝3，∴原式＝23＝8．（2）（a2m）3+（bn）3﹣a2mbn•a4mb2n＝（a3m）2+b3n﹣a6mb3n＝（a3m）2+b3n﹣（a3m）2b3n，当a3m＝3，b3n＝2时，原式＝32+2﹣32×2＝9+2﹣9×2＝11﹣18＝﹣7．18．（6分）（2021秋•古冶区期中）利用乘法公式有时能进行简便计算．例：102×98＝（100+2）（100﹣2）＝1002﹣22＝10000﹣4＝9996．请参考给出的例题，通过简便方法计算：（1）31×29；（2）195×205．【解题思路】（1）把31写成30+1，把29写成30﹣1，然后利用平方差公式计算；（2）把195写成200﹣5，把205写成200+5，然后利用平方差公式计算．【解答过程】解：（1）31×29＝（30+1）×（30﹣1）＝302﹣12＝900﹣1＝899；（2）195×205＝（200﹣5）×（200+5）＝2002﹣52＝40000﹣25＝39975；19．（6分）（2021秋•奉贤区期中）小红准备完成题目：计算（x2x+2）（x2﹣x）．她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．（1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）；（2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？【解题思路】（1）根据多项式乘多项式的法则进行解答过程即可得出答案；（2）先把被遮住的部分用□来代替，再根据多项式乘多项式的法则进行进行计算，然后根据正确答案是不含三次项，得出三次项的和为0，从而得出答案．【解答过程】解：（1）（x2+3x+2）（x2﹣x）＝x4﹣x3+3x3﹣3x2+2x2﹣2x＝x4+2x3﹣x2﹣2x；（2）（x2+□x+2）（x2﹣x）＝x4﹣x3+□x3﹣□x2+2x2﹣2x，∵这个题目的正确答案是不含三次项，∴﹣1+□＝0，∴□＝1，∴原题中被遮住的一次项系数是1．20．（8分）（2021春•拱墅区校级期中）因式分解（1）﹣a2+1；（2）2x3y+4x2y2+2xy3；（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2；（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．【解题思路】（1）逆用平方差公式进行因式分解．（2）先逆用平方差公式，再提公因式．（3）先逆用平方差公式，再提公因式．（4）运用十字相乘法进行因式分解，注意分解彻底．【解答过程】解：（1）﹣a2+1＝（1+a）（1﹣a）．（2）2x3y+4x2y2+2xy3＝2xy（x2+2xy+y2）＝2xy（x+y）2．（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2＝[2（x+2y）+5（x﹣y）][2（x+2y）﹣5（x﹣y）]＝（2x+4y+5x﹣5y）（2x+4y﹣5x+5y）＝（7x﹣y）（﹣3x+9y）＝﹣3（7x﹣y）（x﹣3y）．（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6）＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．21．（8分）（2021秋•西峡县期中）（1）已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝6，求a2b2的值．（2）已知a2+2b2+c2＝2b（a+c），求证：a＝b＝c．【解题思路】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．【解答过程】（1）解：∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝6，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）＝4ab＝5﹣6＝﹣1，∴ab，∴a2b2＝（ab）2；（2）证明：∵a2+2b2+c2＝2b（a+c），∴a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，∴（a﹣b）2＝0，（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b，b＝c，∴a＝b＝c．22．（8分）（2021秋•泰山区期中）先阅读下列材料，再解答过程下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你写出下列因式分解的结果：（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝　（1﹣x+y）2　；（2）因式分解：25（a﹣1）2﹣10（a﹣1）+1＝　（5a﹣6）2　；（3）因式分解：（y2﹣4y）（y2﹣4y+8）+16＝　（y﹣2）4　．【解题思路】（1）设x﹣y＝a，原式变形为1﹣2a+a2，用完全平方公式分解因式，再把x﹣y＝a代入原式；（2）设a﹣1＝m，原式变形为25m2﹣10m+1，用完全平方公式分解因式，再把a﹣1＝m代入原式；（3）设y2﹣4y＝a，原式变形为a（a+8）+16，去括号后用完全平方公式分解因式，再把y2﹣4y＝a代入原式．【解答过程】解：（1）设x﹣y＝a，原式＝1﹣2a+a2＝（1﹣a）2；将x﹣y＝a代入，原式＝（1﹣x+y）2；（2）设a﹣1＝m，原式＝25m2﹣10m+1＝（5m﹣1）2；a﹣1＝m代入，原式＝（5a﹣6）2；（3）设y2﹣4y＝a，原式＝a（a+8）+16＝a2+8a+16＝（a+4）2，将y2﹣4y＝a代入，原式＝（y2﹣4y+4）2＝（y﹣2）4．故答案分别为：（1﹣x+y）2；（5a﹣6）2；（y﹣2）4．23．（10分）（2021秋•朝阳区校级期中）阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．图1给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长为a、b的长方形纸片．请解答过程下列问题：（1）图2是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到（a+b）（a+2b）＝　a2+3ab+2b2　；（2）请写出图3中所表示的数学等式：　（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b　；（3）请按要求利用所给的纸片在图4的方框中拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为（2a+b）（a+b），进而可以得到等式：（2a+b）（a+b）＝　2a2+3ab+b2　；（4）利用（3）中得到的结论，解决下面的问题：若4a2+6ab+2b2＝5，a+b，求2a+b的值．【解题思路】（1）利用长方形的面积各部分求和法可得结果；（2）长方形面积分别整体法和各部分求和法可得结果；（3）利用长方形的面积各部分求和法可得结果；（4）根据（3）题结果（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，可得4a2+6ab+2b2＝2（2a+b）（a+b），从而将a+b代入可求得结果．【解答过程】解：（1）∵该长方形的面积用部分求和法表示为：a2+3ab+2b2，故答案为：a2+3ab+2b2；（2）∵该长方形的面积为：（a+b）（3a+b），用部分求和法表示为：3a2+4ab+b2，故答案为：（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2；（3）如图，该长方形的面积部分求和法表示为：2a2+3ab+b2，故答案为：2a2+3ab+b2；（4）由（3）题可得，（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，∴2a+b＝（2a2+3ab+b2）÷（a+b）∵4a2+6ab+2b2＝2（2a2+3ab+b2）＝2（2a+b）（a+b）＝5∴（2a+b）（a+b）＝（2a2+3ab+b2），∴当a+b时，2a+b＝（2a2+3ab+b2）÷（a+b） ＝5．