初中数学沪科版（2024）七年级下册第9章 分式9.3 分式方程一课一练

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【知识点1 分式方程】
（1）分式方程：分母中含有未知数的方程
（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。
（3）分式方程解方程的步骤：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②解整式方程
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④作答
【题型1 解分式方程（基本法）】
【例1】（2021春•碑林区校级月考）解方程：
（1）；
（2）1．
【变式1-1】（2021•潍坊）若x＜2，且|x﹣2|+x﹣1＝0，则x＝ ．
【变式1-2】（2021•宜都市一模）解方程：0．
【变式1-3】（2021•北碚区校级开学）解分式方程：
（1）．
（2）．
【题型2 解分式方程（新定义问题）】
【例2】（2021春•宝安区期末）定义新运算：a#b，例如2#3，则方程x#2＝1的解为 ．
【变式2-1】（2021•怀化）定义a⊗b＝2a，则方程3⊗x＝4⊗2的解为（ ）
A．xB．xC．xD．x
【变式2-2】（2021春•甘孜州期末）定义运算“※”：a※b，如果5※x＝2，那么x的值为 ．
【变式2-3】 （2021秋•信都区校级月考）运符号“”，称为二阶行列式，规定它的运算法则为：ad﹣bc，请你根据上述规定，求出下列等式中x的值：1．
【知识点2 分式的运算技巧-裂项法】
解题技巧：裂项相消法：
【题型3 裂项法解分式方程】
【例3】观察下面的变形规律：；；；…
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想 ．
（2）说明你猜想的正确性．
（3）计算： ．
（4）解关于n的分式方程．
【变式3-1】（2020春•京口区校级月考）观察下列算式：
，，，……
（1）由此可推断： ；
（2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律 ；
（3）仿照以上方法解方程：．
【变式3-2】（2020秋•五华区期末）观察下列式：1，，．
将以上三个等式两边分别相加的：1．
（1）猜想并填空： ； ． ．
（2）化简：．
（3）探索并作答：
①计算：；
②解分式方程：1．
【变式3-3】（2020秋•天心区校级月考）观察下列等式：，，，
将以上三个等式两边分别相加得：，
（1）猜想并写出： ．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
① ；
② ．
（3）若的值为，求n的值．
【知识点3 换元法解分式方程】
换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系
例解方程：
另（x－y）=u，则原方程转换为：
方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。
注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。
【题型4 换元法解分式方程】
【例4】（2021春•平阴县期末）请阅读下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的过程．
解：设x2+1＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3＝0．
解得y1＝3，y2＝﹣1．
当y＝3时，x2+1＝3，
∴x＝±．
当y＝﹣1时，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2，此方程无实数解．
∴原方程的解为：x1，x2．
我们将上述解方程的方法叫做换元法，
请用换元法解方程：（）2﹣2（）﹣8＝0．
、
【变式4-1】（2021春•松江区期末）用换元法解方程7＝0时，可设y，那么原方程可化为关于y的整式方程是 ．
【变式4-2】（2020春•青川县期末）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，，解得：x，经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程中，设，则原方程可化为： ；
（2）若在方程中，设，则原方程可化为： ；
（3）模仿上述换元法解方程：．
【变式4-3】（2021春•玄武区校级期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，
解之得，即所以原方程组的解为．
运用以上知识解决下列问题：
（1）求值： ．
（2）方程组的解为 ．
（3）分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝ ．
（4）解方程组．
（5）已知关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．
【知识点4 增根的讨论】
方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。
【题型5 增根的讨论】
【例5】（2020秋•荷塘区校级期中）已知关于x的分式方程．
（1）若方程有增根，求k的值．
（2）若方程的解为负数，求k的取值范围．
【变式5-1】（2021•岳麓区校级模拟）若解关于x的方程1时产生增根，那么常数m的值为（ ）
A．4B．3C．﹣4D．﹣1
【变式5-2】（2021春•桐城市期末）已知关于x的分式方程．
（1）若该方程有增根，则增根是 ．
（2）若该方程的解大于1，则m的取值范围是 ．
【变式5-3】（2020春•百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：．
（1）若该分式方程有增根，则增根为 ．
（2）在（1）的条件下，求出m的值，
【知识点5 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】
（1）方程无解，即方程的根为增根；
（2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，求解出字母取值范围；
（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，求解出字母取值范围
【题型6 根据分式方程解的情况求值】
【例6】（2021•市中区校级二模）已知关于x的分式方程有解，则a的取值范围是 ．
【变式6-1】（2021秋•北碚区校级期中）关于x的不等式组有解且最多5个整数解，且使关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的积为（ ）
A．3B．﹣4C．﹣6D．﹣12
【变式6-2】（2020秋•雨花区校级月考）请你利用我们学习的“分式方程及其解法”解决下列问题：
（1）已知关于x的方程1的解为负数，求m的取值范围；
（2）若关于x的分式方程1无解，求n的取值范围．
【变式6-3】（2021秋•岱岳区校级月考）如果关于x的方程无解，求a的值．