人教版（2024）九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程优秀课后复习题

这是一份人教版（2024）九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程优秀课后复习题，文件包含人教版数学九年级上册重难点培优训练专题04解决实际问题与一元二次方程原卷版doc、人教版数学九年级上册重难点培优训练专题04解决实际问题与一元二次方程解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
考点一 用一元二次方程解决增长率问题
考点二 用一元二次方程解决传播问题
考点三 用一元二次方程解决营销问题
考点四 用一元二次方程解决动态几何问题
考点五 用一元二次方程解决与图形有关的问题
考点一 用一元二次方程解决增长率问题
例题：（2022·重庆·中考真题）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】
解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．
【变式训练】
1．（2022年新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团中考数学真题）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是 SKIPIF 1 < 0 万元，第三个月的销售额为 SKIPIF 1 < 0 万元，即可得．
【详解】
解：设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是 SKIPIF 1 < 0 万元，第三个月的销售额为 SKIPIF 1 < 0 万元，
∴ SKIPIF 1 < 0
故选C．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够求出第二个月的销售额和第三个月的销售额．
2．（2022·湖南常德·一模）某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，使绿地面积增加21%，则这两年平均绿地面积的增长率为______．
【答案】10%
【解析】
【分析】
设这两年平均绿地面积的增长率为 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意两年使绿地面积增加21%列出方程，然后求解．
【详解】
设这两年平均绿地面积的增长率为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （负值舍掉）．
故答案为：10%．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
考点二 用一元二次方程解决传播问题
例题：（2022·浙江杭州·八年级期中）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，此肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（ ）
A．x（1＋x）＝256B．x＋（1＋x）2＝256
C．x＋x（1＋x）＝256D．1＋x＋x（1＋x）＝256
【答案】D
【解析】
【分析】
分别计算出每轮的人数，然后求和即可得出方程．
【详解】
解：第一轮传染x个人，一轮后的人数为（1+x）人；
第二轮的人数为x(1+x)，
两轮的总人数为：1+x+x(1+x)=256，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出相应方程是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·山东枣庄·二模）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是______人．
【答案】11
【解析】
【分析】
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后求解即可．
【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍去），
故答案为：11．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
2．（2022·安徽·合肥市第四十二中学八年级期中）某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．
(1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）；
(2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔高并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)不会，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）设每轮传染中平均每人传染了 SKIPIF 1 < 0 人，开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了 SKIPIF 1 < 0 人，则第一轮后共有 SKIPIF 1 < 0 人患了流感；
（2）第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了 SKIPIF 1 < 0 人，因进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，则第二轮后共有 SKIPIF 1 < 0 人患了流感，而此时患流感人数为21，根据这个等量关系列出方程若能求得正整数解即可会有21人患病．
(1)
解：由题意可知：
第一轮传染后患病的人数 SKIPIF 1 < 0 人，
(2)
解：设在每轮传染中一人将平均传给 SKIPIF 1 < 0 人，
根据题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都不是正整数，
∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能根据进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈列出方程并求解．
考点三 用一元二次方程解决营销问题
例题：（2022·山东·临清市京华中学模拟预测）深圳著名“网红打卡地”东部华侨城在2018年春节长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客奖达28.8万人次．一家特色小面店希望在五一长期限期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．
(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；
(2)为了更好地维护深圳城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？
【答案】(1)20%
(2)20元
【解析】
【分析】
（1）设年平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据每碗的利润乘以数量列出方程求解即可．
(1)
解：设年平均增长率为x，依题意有
20（1＋x）2＝28.8，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：年平均增长率为20%；
(2)
每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，依题意有
（y﹣6）[300＋30（25﹣y）]＝6300，
解得y1＝20，y2＝21，
∵每碗售价不得超过20元，
∴y＝20．
答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江杭州·八年级期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】(1)20%
(2)50元/个
【解析】
【分析】
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为 SKIPIF 1 < 0 ，根据“从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程，求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，“月销售利润达到10000元”列方程，求解即可．
(1)
设该品牌头盔销售量的月增长率为 SKIPIF 1 < 0 ，依题意得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
(2)
设该品牌头盔的实际售价为y元/个，依题意得：
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （不合题意，舍去）， SKIPIF 1 < 0 ，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
【点睛】
本题考查了列一元二次方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2022·贵州六盘水·九年级期末）抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我市特产烙锅辣椒面的影响力，某电商在抖音平台上对某品牌袋装（500克/袋）烙锅辣椒面进行直播销售．成本价为40元/袋，如果按60元/袋销售，每天可卖出80袋．通过市场调查发现，每袋烙锅辣椒面售价每降低1元，日销售量可增加10袋．
(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完库存烧锅辣椒面，每袋售价应定为多少元？
(2)钟珊珊在水城古镇的线下实体店售卖同品牌的烙锅辣椒面，标价为64元/袋．为提高市场竞争力，增加线下销售量，她决定实行打折销售，使其售价不超过（1）中的售价，则该品牌烙锅辣椒面至少打几折售卖？
【答案】(1)48元
(2)七五折
【解析】
【分析】
（1）设每袋降价 SKIPIF 1 < 0 元，根据日利润保持不变列方程求解即可；
（2）利用（1）中的售价列式计算即可．
(1)
解：设每袋降价 SKIPIF 1 < 0 元，
由题意得：（60－40－ SKIPIF 1 < 0 ）（80＋10 SKIPIF 1 < 0 ）＝（60－40）×80，
解得： SKIPIF 1 < 0 ＝12， SKIPIF 1 < 0 ＝0（不符合题意），
∴ 60－12＝48（元），
答：每袋售价应定为48元；
(2)
SKIPIF 1 < 0 ×100%＝75%，
答：该品牌烙锅辣椒面至少打七五折．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
考点四 用一元二次方程解决动态几何问题
例题：（2021·甘肃·金昌市第五中学八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，点P在边AC上，以2cm/s的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上，以1cm/s的速度从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是_____秒．
【答案】1
【解析】
【分析】
设P、Q运动的时间是 SKIPIF 1 < 0 秒，根据已知条件得到 SKIPIF 1 < 0 cm， SKIPIF 1 < 0 cm ，则 SKIPIF 1 < 0 cm ，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解．
【详解】
解：设P、Q运动的时间是 SKIPIF 1 < 0 秒，则 SKIPIF 1 < 0 cm， SKIPIF 1 < 0 cm ， SKIPIF 1 < 0 cm
∵△PQC的面积为3cm2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （不合题意，舍去），
∴当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是1秒．
故答案为：1
【点睛】
本题考查了一元二次方程应用——动点问题，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江绍兴·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒 SKIPIF 1 < 0 个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
(1)当t=3时，求PD的长？
(2)当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的一半？
(3)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)4
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半
(3)存在t的值，当t＝2.4时，使四边形PDBQ为平行四边形
【解析】
【分析】
（1）由题意得，AD=5，AP=3，由勾股定理即可求得PD的长；（2）∠C=90°，BC=8，AC=6，得S△ABC= SKIPIF 1 < 0 ，因为S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD= SKIPIF 1 < 0 S△ABC，根据等量关系列出方程即可求得t的值；（3）由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD，可知当BQ=PD时，四边形BQPD为平行四边形，可列 SKIPIF 1 < 0 t＝8﹣2t，解方程即可．
(1)
解：当t=3时，AD=5，AP=3，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
解：∵由题意可得：CQ＝2t，AP＝t， SKIPIF 1 < 0 ，
∴BQ＝8﹣2t，CP＝8﹣t，
又∵PD⊥AC，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠C=90°，BC=8，AC=6，
得S△ABC= SKIPIF 1 < 0 ，
∵S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD= SKIPIF 1 < 0 S△ABC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （不合题意，应舍去），
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半；
(3)
解：存在 ，
由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD，
若BQ与PD相等，则四边形BQPD为平行四边形，
即： SKIPIF 1 < 0 t＝8﹣2t
解得t＝2.4．
答：存在t的值，当t＝2.4时，使四边形PDBQ为平行四边形．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定、勾股定理、动点问题的求解，根据转化思想列面积等式等知识方法，正确用t的代数式表示线段的长度是解题的关键．
2．（2022·浙江杭州·八年级期中）如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）．
(1)求平行四边形ABCD的面积；
(2)求当t＝2s时，求△AEF的面积；
(3)当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的 SKIPIF 1 < 0 时，求t的值．
【答案】(1)9 SKIPIF 1 < 0 cm²；
(2) SKIPIF 1 < 0 cm²；
(3)t的值为4或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）过点B作BG⊥CD于点G，由直角三角形的性质得出平行四边形的高，再按底乘以高，即可得解；
（2）过点F作FH⊥AE于点H，分别计算出t＝2s时，AE，AF和FH的长，则按三角形面积公式计算即可；
（3）分点E在线段AB上，点F在线段AD上和点E在线段BC上，点F在线段CD上，两种情况计算即可．
(1)
平行四边形ABCD中，
∵∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，
∴CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
如图，过点B作BG⊥CD于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C＝60°，
∴∠CBG＝30°，
∴CG＝ SKIPIF 1 < 0 BC＝ SKIPIF 1 < 0 cm，
∴BG＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 （cm），
∴平行四边形ABCD的面积为：CD×BG＝6× SKIPIF 1 < 0 ＝9 SKIPIF 1 < 0 （cm2）．
答：平行四边形ABCD的面积为9 SKIPIF 1 < 0 cm2；
(2)
当t＝2s时，
AE＝2×1＝2cm，AF＝2×1＝2cm，
∵∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
如图，过点F作FH⊥AE于点H，
∴FH＝ SKIPIF 1 < 0 AF＝ SKIPIF 1 < 0 （cm），
∴△AEF的面积为： SKIPIF 1 < 0 ×AE×FH＝ SKIPIF 1 < 0 ×2× SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 （cm2），
答：当t＝2s时，△AEF的面积为 SKIPIF 1 < 0 cm2；
(3)
∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为9 SKIPIF 1 < 0 cm2．
∴当△AEF的面积是平行四边形ABCD面积的 SKIPIF 1 < 0 时，
△AEF的面积为：9 SKIPIF 1 < 0 × SKIPIF 1 < 0 ＝3 SKIPIF 1 < 0 （cm2），
当点E在线段AB上运动t秒时，点F在AD上运动t秒，AE＝tcm，AF＝tcm，高为 SKIPIF 1 < 0 AF＝ SKIPIF 1 < 0 t（cm），
∴ SKIPIF 1 < 0 ×t× SKIPIF 1 < 0 t＝3 SKIPIF 1 < 0 ，
∴t＝﹣2 SKIPIF 1 < 0 （舍）或t＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴t＝2 SKIPIF 1 < 0 >3，不符合题意；
当点E在线段AB.上运动秒时，点F在CD上运动t秒，( 3