人教版数学九年级下册考点提分练习专题03 反比例函数与一次函数综合三类型（2份，原卷版+解析版）

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专题03 反比例函数与一次函数综合三类型类型一 反比例函数与一次函数图像综合判断1．如图，直线y1＝x+b交x轴于点B，交y轴于点A(0，2)，与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交于C(1，m)，D(n，－1)，连接OC、OD．（1）求k的值；（2）求 SKIPIF 1 < 0 COD的面积；（3）根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围．【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）4；（3） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 【分析】（1）把A点坐标代入 SKIPIF 1 < 0 中，即求出b的值，即可得出一次函数的表达式．再把C(1，m)、D(n，-1)代入一次函数表达式，即求出C、D的坐标，最后把C点坐标代入 SKIPIF 1 < 0 ，求出k即可；（2）直接利用 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出结果；（3）根据反比例函数图象在一次函数图象上方时， SKIPIF 1 < 0 ，再结合点C、点D的坐标和图象即可得出结果．【详解】解：（1）∵点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴直线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．∵点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又∵ SKIPIF 1 < 0 在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 上，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ．（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．（3）要使 SKIPIF 1 < 0 ，即反比例函数图象在一次函数图象上方即可，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时．【点睛】此题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质的应用．利用数形结合的思想是解题的关键．2．如图，直线y＝ax＋b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，﹣2），与反比例函数y＝ SKIPIF 1 < 0 （x＞0）的图象交于点C（6，m）．(1)求直线和反比例函数的表达式；(2)连接OC，在x轴上找一点P，使S△POC＝2S△AOC，请求出点P的坐标．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 (2)（8,0）或（-8,0）【分析】（1）用待定系数法直接求表达式即可．（2）先求出△AOC的面积，再求出△POC，根据三角形的面积公式求解即可．（1）解：将A（4，0）B（0，﹣2）代入y＝ax＋b得： SKIPIF 1 < 0  解得： SKIPIF 1 < 0 ∴直线的表达式为： SKIPIF 1 < 0  点C（6，m）在直线上 SKIPIF 1 < 0 ∴k=6m=6∴反比例函数的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ．（2）解：设P点坐标为：（p，0）S△AOC= SKIPIF 1 < 0  = SKIPIF 1 < 0 ∵S△POC＝2S△AOC∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 =8∴P点坐标为（8,0）或（-8,0）．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出一次函数与反比例函数的表达式是解题的关键．3．如图，一次函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数，且 SKIPIF 1 < 0 ）的图象与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数，且 SKIPIF 1 < 0 ）的图象相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；(2)若一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有且只有一个公共点，求 SKIPIF 1 < 0 的值．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 【分析】（1）由待定系数法求出反比例函数的解析式，再由B点坐标计算求值即可；（2）根据函数图象交点的意义，利用一次函数和反比例函数构建一元二次方程，令 SKIPIF 1 < 0 ，求得m的值．（1）解：由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴一次函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，反比例函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，把点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ．（2）解：∵一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有且只有一个公共点，∴ SKIPIF 1 < 0 只有一个解， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有且只有一个公共点；【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数交点问题，一元二次方程根的判别式等，掌握函数的交点跟方程解的关系是解题关键．4．一次函数y＝﹣ SKIPIF 1 < 0 x+3的图象与反比例函数y＝ SKIPIF 1 < 0 的图象交于点A(4，1)．(1)画出反比例函数y＝ SKIPIF 1 < 0 的图象，并写出﹣ SKIPIF 1 < 0 x+3＞ SKIPIF 1 < 0 的x取值范围；(2)将y＝﹣ SKIPIF 1 < 0 x+3沿y轴平移n个单位后得到直线l，当l与反比例函数的图象只有一个交点时，求n的值．【答案】(1)函数图象见解析，x取值范围是x＜0或2＜x＜4(2)n的值为﹣ SKIPIF 1 < 0 【分析】（1）将交点坐标代入反比例函数解析式即可求得，图像如图所示；不等式为一次函数函数值大于反比例函数值的解集，依据图像求解即可；（2）首先表示出直线l的解析式，l与反比例函数图像只有一个交点时，得 SKIPIF 1 < 0 ，整理后得二次方程，令判根公式为0即可求出n的值．（1）解：∵一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图像与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像交于点A（4，1）∴m＝4×1＝4∴反比例函数为 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，∴一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图像与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像的交点为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ；反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图像如图：由图像可知， SKIPIF 1 < 0 的x取值范围是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（2）解：将 SKIPIF 1 < 0 沿y轴平移n个单位后得到直线l为 SKIPIF 1 < 0 由题意知，令 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 当l与反比例函数的图像只有一个交点时,则 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ∴当l与反比例函数的图像只有一个交点时，则n的值为 SKIPIF 1 < 0 ．【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的综合．解题的关键在于了解不等式的意义，一次函数平移后解析式的表达，将交点转化为二次方程根的个数．易错点在于求解集时落解．5．如图：一次函数的图象与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交于 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ．（1）求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；（2）根据图象回答，当 SKIPIF 1 < 0 在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值．【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．【分析】（1）先根据点 SKIPIF 1 < 0 的坐标可得反比例函数的解析式，再将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入计算即可得；（2）结合点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，根据一次函数的值大于反比例函数的值表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方即可得．【详解】解：（1）将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，则反比例函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 一次函数的值大于反比例函数的值表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键．6．如图，已知双曲线y＝ SKIPIF 1 < 0 与直线y＝mx+5都经过点A（1，4）．（1）求双曲线和直线的表达式；（2）将直线y＝mx+5沿y轴向下平移n个单位长度，使平移后的图象与双曲线y＝ SKIPIF 1 < 0 有且只有一个交点，求n的值．【答案】（1）双曲线的表达式是：y＝ SKIPIF 1 < 0 ，直线的表达式是y＝﹣x+5；（2）n＝1或9【分析】（1）把点A的坐标分别代入可得两个表达式；（2）设向下平移后的表达式为：y＝mx＋5−n，联立方程组可得n的值．【详解】解：（1）把A（1，4）代入y＝ SKIPIF 1 < 0 得k＝4，把A（1，4）代入y＝mx+5得m＝﹣1，∴双曲线的表达式是：y＝ SKIPIF 1 < 0 ，直线的表达式是y＝﹣x+5；（2）设平移后直线的表达式为：y＝﹣x+5﹣n，联立反比例表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 当有且只有一个交点时，Δ＝0，即△＝（5﹣n）2﹣16＝0，解得n＝1或9．【点睛】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用方法．类型二 反比例函数与一次函数的交点问题7．如图所示，平面直角坐标系中，直线 SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴交于点A，B，与曲线 SKIPIF 1 < 0 分别交于点C，D，作CE SKIPIF 1 < 0 轴于点E，已知OA=4，OE=OB=2．(1)求反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式；(2)在 SKIPIF 1 < 0 轴上存在一点P，使 SKIPIF 1 < 0 ，请求出P的坐标．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)P点的坐标为(0， SKIPIF 1 < 0 )或(0， SKIPIF 1 < 0 )【分析】（1）根据题意可知A(-4，0)，B(0，2)，E(2，0)．即可利用待定系数法求出直线 SKIPIF 1 < 0 的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ．由CE SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ．根据点C在直线 SKIPIF 1 < 0 的图象上，即可求出C点坐标，再次利用待定系数法即可求出反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式；（2）根据题意可求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出 SKIPIF 1 < 0 ．设P(0，a)，则 SKIPIF 1 < 0 ，即得出 SKIPIF 1 < 0 ，解出a即得出答案．（1）由题意可知A(-4，0)，B(0，2)，E(2，0)．将A(-4，0)，B(0，2)代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．∵CE SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，∴C(2，3)．∵点C在 SKIPIF 1 < 0 的图象上，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，∴反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ；（2）根据题意可求 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．设P(0，a)，则 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．∴P点的坐标为(0， SKIPIF 1 < 0 )或(0， SKIPIF 1 < 0 )．【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题．在解（2）时根据所设P点坐标，利用绝对值表示出BP的长度是关键．8．如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a），P是以点C（ - 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点.(1)求双曲线的解析式：(2)将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值(3)求线段OQ长度的最大值.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0 【分析】（1）先求出点A的坐标，然后利用待定系数法求解即可；（2）由题意得平移后的直线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，设直线 SKIPIF 1 < 0 与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，先证明O、C、D三点共线，求出OD=DH，OH的长即为m的值，据此求解即可；（2）如图所示，连接PB，PC，BC，证明OQ是△PAB的中位线，把求OQ的最大值转化成求PB的最大值，即转化成求圆外一点到圆上一点距离的最大值，由此求解即可．（1）解：∵点A（1，a）在直线y=x上，∴a=1，∴点A的坐标为（1，1），∴把点A坐标代入到反比例函数解析式得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴反比例函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；（2）解：由题意得平移后的直线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，设直线 SKIPIF 1 < 0 与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，∴点H的坐标为（0，m）∴OH=m，∵点C（-2，2），∴CE=OE=2， SKIPIF 1 < 0  ∴∠COE=45°，∴∠DOH=45°，同理可证∠BOE=45°，∴∠BOC=90° ，即OC⊥AB，∵直线 SKIPIF 1 < 0 与直线AB平行，∴OC与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，又∵直线 SKIPIF 1 < 0 与圆C相切于点C，∴CD与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，∴C、O、D三点共线，∵圆C的半径为1，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵∠ODH=90°，∠DOH=45°，∴∠DHO=45°，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0  同理当切点D在圆O上方时可以求得 SKIPIF 1 < 0 ，综上所述，若平移后的直线与⊙C相切， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（3）解：如图所示，连接PB，PC，BC，由对称性可知A、B关于原点对称，即O是AB的中点，∴点B的坐标为（-1，-1），∵Q是AP的中点，∴OQ是△APB的中位线，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴要想OQ最大，则PB最大，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴当P、B、C三点共线，且P在C点上方时，PB有最大值，即PB=PC+BC=1+BC，∵点C（-2，2），点B（-1，-1），∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 【点睛】本题主要考查了圆与函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，三角形中位线定理，熟知相关知识，利用数形结合的思想求解是解题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝ SKIPIF 1 < 0 （x＜0）的图象交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，且△OCB与△OAB的面积比为1：2．(1)求k和b的值；(2)将△OBC绕点O逆时针旋转90°，得到ΔOB′C′，判断点C′是否落在函数y＝ SKIPIF 1 < 0 （k＜0）的图象上，并说明理由．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2)点C′在函数y＝ SKIPIF 1 < 0 （k＜0）的图象上，证明见解析【分析】（1）将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 可求出 SKIPIF 1 < 0 的值；将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 可求出 SKIPIF 1 < 0 的值；（2）由一次函数的解析式求出 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．根据 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积比为 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，利用中点坐标公式求出 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ．根据 SKIPIF 1 < 0 证明△ SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 在第二象限，得出 SKIPIF 1 < 0 ，进而判断点 SKIPIF 1 < 0 是落在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上．（1）解：将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得， SKIPIF 1 < 0 ，解得， SKIPIF 1 < 0 ，故所求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值分别为 SKIPIF 1 < 0 ，5；（2）点 SKIPIF 1 < 0 是落在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上．理由如下： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积比为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，得到△ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ．在△ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在第二象限， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 是落在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上．【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，线段中点坐标公式，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，都是基础知识，需熟练掌握．10．如图，一次函数y=-x+b与反比例函数y= SKIPIF 1 < 0 （x> 0）的图象交于点A（m，4）和B（4，1）（1）求b、k、m的值；（2）根据图象直接写出-x+b<  SKIPIF 1 < 0 （x> 0）的解集；（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值．【答案】（1）b=5、k=4、m=1；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）S最大= SKIPIF 1 < 0 ；S最小=2【分析】（1）根据反比例函数和一次函数图像上的点的特征代入解析式即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值；（2）根据函数图象的交点直接写出直线在双曲线下方时，自变量 SKIPIF 1 < 0 的范围即可；（3）【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 一次函数y=-x+b与反比例函数y= SKIPIF 1 < 0 （x> 0）的图象交于点A（m，4）和B（4，1） SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0 一次函数y=-x+b与反比例函数y= SKIPIF 1 < 0 （x> 0）的图象交于点 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  -x+b<  SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （3）依题意，设 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0     时， SKIPIF 1 < 0 最大 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 时，S最小=2【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质求最值，掌握以上知识是解题的关键．11．在平面直角坐标系xOy中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ．(1)当函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点Q时，求m的值并画出直线y=－x－m．(2)若P，Q两点中恰有一个点的坐标（x，y）满足不等式组 SKIPIF 1 < 0 （m<0），求m的取值范围．【答案】(1)m=－4，画图见解析(2)－3≤m<0或m≤－4【分析】（1）根据待定系数法，将Q点坐标代入 SKIPIF 1 < 0 即可求值，进而画出直线的图象；（2）不等式组表达含义为P、Q中的一点位于反比例函数图象上方，位于一次函数图象下方，根据m<0的条件，数形结合即可求出m的取值范围．（1）解：∵函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点Q，∴m=－2×2=－4，一次函数的解析式为：y=－x+4，图象如下．（2）解：由题意知，P、Q中的一点位于反比例函数图象上方，位于一次函数图象下方，∵m<0，∴反比例函数经过二、四象限，故P点在反比例函数图象上方，∴存在两种情况，①Q在反比例函数图象上方，在一次函数图象下方，P在一次函数图象上或上方，即： SKIPIF 1 < 0 ，解得：－3≤m<0；②Q在反比例函数图象上或下方，P在一次函数图象下方，即： SKIPIF 1 < 0 ，解得：m≤－4；综上所述，m的取值范围为：－3≤m<0或m≤－4．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，解决本题难点是分析出反比例函数、一次函数的图象与P、Q两点的位置关系，得到关于m的不等式组．12．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ SKIPIF 1 < 0 的图象相交于A（1，2），B（﹣2，n）两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．【答案】(1)一次函数的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，反比例函数的表达式为 SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 【分析】（1）先根据点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，利用待定系数法可得反比例函数的表达式，从而可得点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再根据点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，利用待定系数法可得一次函数的表达式；（2）设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，先求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，从而可得 SKIPIF 1 < 0 的长，再根据“ SKIPIF 1 < 0 的面积是4”建立方程，解方程即可得．（1）解：将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，则反比例函数的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则一次函数的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ．（2）解：由题意，设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，对于一次函数 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 边上的高为2， SKIPIF 1 < 0 的面积是4， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、一次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．类型三 反比例函数与一次函数的实际应用13．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB．BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)求线段AB和双曲线CD的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2)20°C(3)恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害【分析】（1）利用待定系数法分别求一次函数和反比例函数解析式即可；（2）将 SKIPIF 1 < 0 代入线段AB解析式，即可求恒温系统设定恒温；（3）将y=10代入（1）中相应的函数解析式，然后即可得到这天内恒温系统最多可以关闭多长时间，才能避免蔬菜受到伤害．（1）解：设线段AB解析式为 SKIPIF 1 < 0 ∵线段AB过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ∴AB解析式为： SKIPIF 1 < 0 设双曲线CD解析式为： SKIPIF 1 < 0 ∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴双曲线CD解析式为： SKIPIF 1 < 0 （2）解：∵B在线段AB上当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ∴恒温系统设定恒温为20°C（3）解：把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，解得： SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．14．病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 SKIPIF 1 < 0 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 SKIPIF 1 < 0 毫克，已知服药后， SKIPIF 1 < 0 小时前每毫升血液中的含药量 SKIPIF 1 < 0 （毫克）与时间 SKIPIF 1 < 0 （小时）成正比例， SKIPIF 1 < 0 小时后 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 成反比例（如图所示）．根据以上信息解答下列问题．(1)求当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的函数关系式；(2)求当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的函数关系式；(3)若每毫升血液中的含药量不低于 SKIPIF 1 < 0 毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0 小时【分析】（1）根据图像经过点 SKIPIF 1 < 0 ，利用待定系数法求正比例函数解形式；（2）根据图像经过点 SKIPIF 1 < 0 ，利用待定系数法求反比例函数解形式；（3）根据两函数解析式求出函数值是 SKIPIF 1 < 0 小时的自变量的值，即可求出有效时间．（1）解：根据图像，正比例函数图像经过点 SKIPIF 1 < 0 ，设函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 ．（2）解：根据图像，正比例函数图像经过点 SKIPIF 1 < 0 ，设函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 ．（3）解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 （小时），∴服药一次，治疗疾病的有效时间是 SKIPIF 1 < 0 小时．【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的实际应用，考查了图像的识别能力和待定系数法求函数解析式．解题的关键是建立两个函数的关系式，当函数值相等时，分别求出自变量的值并作差．15．某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量 SKIPIF 1 < 0 （微克）与时间 SKIPIF 1 < 0 （分钟）的函数关系如图．并发现衰退时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 成反比例函数关系．（1） SKIPIF 1 < 0 　 　；（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的函数关系式为　 　；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的函数关系式为　 　；（3）如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？【答案】（1）19；（2） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；（3）服药后能持续135分钟【分析】（1）利用第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克即可得到第100分钟相应的a值；（2）分别代入直线和曲线的一般形式，利用待定系数法求得函数的解析式即可；（3）分别令两个函数值为10求得相应的时间后相减即可得到结果．【详解】解：（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的函数关系式为 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 解得：， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；（3）令 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 分钟， SKIPIF 1 < 0 服药后能持续135分钟．【点睛】考查了反比例函数与一次函数的实际应用，解题关键是根据已知点得出函数的解析式．16．当下教育主管部门提倡加强高效课堂建设，要求教师课堂上要精讲，把时间、思考、课堂还给学生．通过实验发现：学生在课堂上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始后，学生的学习兴趣递增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳高效状态，后阶段注意力开始分散．学生注意力指标 SKIPIF 1 < 0 随时间 SKIPIF 1 < 0 （分钟）变化的函数图象如图所示，当 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 时，图象是线段，当 SKIPIF 1 < 0 时，图象是反比例函数的一部分．(1)求点 SKIPIF 1 < 0 对应的指标值．(2)如果学生在课堂上的注意力指标不低于30属于学习高效阶段，请你求出学生在课堂上的学习高效时间段．【答案】(1)点 SKIPIF 1 < 0 对应的指标值为20，(2)注意力指标不低于30的高效时间段是上课4分钟到30分钟之间，【分析】（1）用待定系数法，设反比例函数为 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 可得反比例函数解析式，再将 SKIPIF 1 < 0 代入可解；（2） 用待定系数法求出AB段的直线方程，再分类讨论可解．（1）解：设反比例函数为 SKIPIF 1 < 0 ，由图可知点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的图象上，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 代入得：点 SKIPIF 1 < 0 对应的指标值为 SKIPIF 1 < 0 （2）（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ，②当 SKIPIF 1 < 0 时，45>30,显然注意力指标高于30，③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，综上所述： SKIPIF 1 < 0 ∴注意力指标不低于30的高效时间段是上课4分钟到30分钟之间．【点睛】本题考查，待定系数法，分段函数，反比例函数与一次函数综合，审清题意求出函数解析式和分类讨论是解题的关键．17．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与药物点燃后的时间x（分）满足函数关系式y＝2x，药物点燃后6分钟燃尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中含药量，测得数据如下表：(1)在如图所示平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数图象上，如果在同一个反比例函数图象上，求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式，如果不在同一个反比例函数图象上，说明理由；(3)研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续4分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌？【答案】(1)见解析(2)它们在同一个反比例函数图象上，反比例函数解析式为y＝ SKIPIF 1 < 0 (3)此次消毒能有效杀灭空气中的病菌【分析】（1）根据表格中的x、y的值分别为点的横纵坐标描点即可；（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是在同一个反比例函数图象上．设反比例函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，将（6，12）代入解析式求出k即可；（3）把y＝8代入y＝2x得x＝4，把y＝8代入y＝ SKIPIF 1 < 0 得x＝9，计算9﹣4＝5＞4，即可判断此次消毒能有效杀灭空气中的病菌．（1）解：如图所示：（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是在同一个反比例函数图象上．设反比例函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，把（6，12）代入解析式得：k＝12×6＝72，∴反比例函数解析式为y＝ SKIPIF 1 < 0 ，分别把（12，6），（18，4），（24，3）代入y＝ SKIPIF 1 < 0 中，都满足函数解析式，∴这些点都在反比例函数y＝ SKIPIF 1 < 0 的图象上；（3）把y＝8代入y＝2x得，8＝2x，∴x＝4，把y＝8代入y＝ SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ＝8，∴x＝9，∵9﹣4＝5＞4，∴此次消毒能有效杀灭空气中的病菌．【点睛】此题考查了求函数解析式，反比例函数图象的性质，反比例函数的实际应用，正确掌握反比例函数图象上点的特点求出反比例函数解析式是解题的关键．18．小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；(2)求图中t的值；(3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？【答案】(1) SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；（2）利用待定系数法求反比例函数解析式，再将 SKIPIF 1 < 0 代入解析式，即可得 SKIPIF 1 < 0 的值；（3）由题可知，饮水机的水温呈周期性变化，利用周期进行计算．（1）解：当 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ．将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入上式，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 （2）解：当 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 代入上式，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．（3）解：由题可知，开机 SKIPIF 1 < 0 分钟与开机 SKIPIF 1 < 0 分钟时饮水机的水温相等，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 小丽散步 SKIPIF 1 < 0 分钟回到家时，饮水机内的温度约为 SKIPIF 1 < 0 ．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、求反比例函数解析式，根据自变量求函数值，解决本题的关键是熟练掌握待定系数法的应用．药物点燃后的时间x（分）6121824空气中的含药量y（毫克/立方米）12643