2024年福建省福州市屏东中学等多校联考中考数学模拟试卷（4月份）（含解析）

这是一份2024年福建省福州市屏东中学等多校联考中考数学模拟试卷（4月份）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）在实数，，0，﹣1中，最小的数是（ ）
A．﹣1B．0C．D．
2．（4分）据统计，2024年元旦假期，某市推出多项文旅活动，共接待游客204.58万人次，实现旅游收入14.12亿元．将数据1412000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.412×108B．14.12×108
C．1.412×109D．0.1412×1010
3．（4分）下列几何体中三个视图完全相同的是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．60°B．65°C．75°D．85°
5．（4分）对于非零实数a，下列运算一定正确的是（ ）
A．a3•a2＝a5B．（a3）2＝a9C．a6÷a2＝a3D．（3a）2＝6a2
6．（4分）如图，已知BC是⊙O的直径，点A，D在⊙O上，若∠ACB＝32°，则∠ADC的大小为（ ）
A．68°B．62°C．58°D．52°
7．（4分）近年来，随着创建“生态文明城市”活动的开展，某市的社会知名度越来越高，为了吸引更多外地游客，该市于当月1日至7日晚举办了大型“灯光秀”活动，每场光影秀的时长（单位：min）为26，30，34，35，40，40，40．因活动反响大，游客好评如潮，故主办方又加了一场灯光秀演出，时长为35min．现分析加场前后的数据，受影响的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
8．（4分）如图，在半⊙O中，尺规作图的作法如下：①分别以弦AB的端点A、B为圆心，适当的等长为半径作弧，两弧相交于点P；②连结OP交AB于点C，并延长交半⊙O于D点．若OA＝10，CD＝4，则cs∠A的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）已知点A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），C（3，m）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（4分）如图，矩形OABC的对角线OB与反比例函数y＝（x＞0）相交于点D，且，则矩形OABC的面积为（ ）
A．50B．25C．15D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）请写出一个无理数 ．
12．（4分）正多边形的一个内角等于144°，则该正多边形的边数为 ．
13．（4分）某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：
根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为 只．
14．（4分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，沿过点A的直线折叠△ABC，使点B落在AC边上的点F处，折痕交BF于点D，点E是BC的中点，则DE的长为 ．
15．（4分）已知：＝3，则的值为 ．
16．（4分）已知抛物线y＝x2+mx+8与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣mx+8与x轴交于C．D两点，若AD＝2BC．则m的值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：×sin45°．
18．（8分）已知：如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
20．（8分）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点，在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若∠ACD＝120°，AD＝9，求的长（结果保留π）．
21．（8分）随着某市“灯光秀”展演活动的惊艳开演，该市的游客量逐日递增．某校数学学习小组通过调查了解到，演出地点附近的商铺通过售卖A、B两种品牌的饮料进行盈利．该商铺于“灯光秀”活动前夕购进A品牌饮料20箱，B品牌饮料10箱，一共花费2000元：且购买一箱B品牌饮料比购买一箱A品牌饮料多花20元．
（1）问购买一箱A品牌、一箱B品牌的饮料各需多少元？
（2）由于游客量逐步地增加，该商铺决定再次购进A、B两种品牌饮料共20箱，恰逢厂家对两种品牌饮料的售价进行调整，A品牌饮料售价比第一次购买时提高了5%，B品牌饮料按第一次购买时售价的9折出售．如果该商铺此次购买A、B两种品牌饮料的总费用不超过1350元，那么该商铺此次最多可购买多少箱B品牌饮料？
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）求作菱形ACED，使得点D落在AB上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，延长AC，BE相交于点F，且∠F＝∠ABC，求sinF的值．
23．（10分）随着某市“灯光秀”展演活动的惊艳开演，该市的游客量逐日递增．演出地点附近的商铺在演出结束后为观看灯光秀活动的游客提供了A、B、C三种夜宵套餐进行选择，单价分别是：8元、10元、15元，为了做好下阶段的经营与销售，商铺根据以往A、B、C三种套餐购买情况的数据制成统计表如下，又根据过去平均每份的利润与销售量之间的关系绘制成统计图如下：
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）小明在观看了第一场灯光秀演出后意犹未尽，于第二日晚再次观看了光影秀，两次观看演出后均在该商铺购买了夜宵套餐（两次选择购买不同类型的夜育套餐），试通过列表或画树状图分析，求小明在两场灯光秀演出结束后选择购买夜宵套餐为“AB”组合的概率；
（2）经分析与预测，游客购买套餐种类与数量相对稳定．根据上级规定，平均每份套餐的利润不得超过3元，否则应调低套餐的单价．
①请通过计算分析，试判断该商铺在后续的销售中是否需要调低套餐的单价？
②为了便于操作，该商铺决定只调低一种套餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），才能使得后续平均每份套餐的利润在不违反规定下最接近3元，试通过计算说明，应把哪一种套餐的单价调整为多少元？
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c交x轴于O，A两点，B为抛物线的项点，且△AOB是等腰直角三角形；过项点B的直线与抛物线另一个交点C位于第二象限．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若△AOB的面积与△COB的面积相等，求直线BC解析式；
（3）在第（2）问的条件下，若直线y＝kx+l（k＞0）与y轴交于点P，与直线BC轴交于点Q，与抛物线交于点E．F（E点在F点的左侧），对于下列三个式子①﹣，②﹣，③﹣中，有且只有一个为定值．请直接写出这个式子及其定值，不必说明理由．
25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是△ABC内一个动点，且△ACD∽△BCE，连接BE．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）当A、D、E三点共线时，且AD平分∠CAB，求证：CE＝BE；
（3）设射线AD与射线BE相交于点F，连接CF，当点D在运动的过程中，用等式表示DF、EF、CF之间的数量关系，并说明理由．
2024年福建省福州市屏东中学等多校联考中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【分析】根据正数大于0，负数小于0，即可比较出大小，从而得到最小的数．
【解答】解：∵﹣1＜0＜＜，
∴最小的是﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了实数的比较大小，知道负数小于0是解题的关键．
2．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：1412000000＝1.412×109．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．【分析】根据三视图的概念做出判断即可．
【解答】解：A．三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，故不符合题意；
B．圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故不符合题意；
C．圆柱的三视图既有圆又有长方形，故不符合题意；
D．球的三视图都是圆，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查简单的几何体的三视图，熟练掌握基本几何体的三视图是解题的关键．
4．【分析】利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和）解题或利用三角形内角和解题皆可．
【解答】解：如图：
∵∠BCA＝60°，∠DCE＝45°，
∴∠2＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∵HF∥BC，
∴∠1＝∠2＝75°，
故选：C．
【点评】主要考查了一副三角板所对应的角度是60°，45°，30°，90°和三角形外角的性质．本题容易，解法很灵活．
5．【分析】根据同底数幂的乘法法则对A选项进行判断；根据幂的乘方运算对B选项进行判断；根据同底数幂的除法法则对C选项进行判断；根据积的乘方运算对D选项进行判断．
【解答】解：A．a3•a2＝a5，所以A选项符合题意；
B．（a3）2＝a6，所以B选项不符合题意；
C．a6÷a2＝a4，所以C选项不符合题意；
D．（3a）2＝9a2，所以D选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的除法：底数不变，指数相减，即am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）．也考查了同底数幂的乘法和幂的乘方．
6．【分析】由∠D＝∠B，只要求出∠B可得结论．
【解答】解：∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠ACB＝58°，
∴∠D＝∠B＝58°，
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理解决问题，属于中考常考题型．
7．【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的定义分别求出原数据和新数据的统计量，从而得出答案．
【解答】解：原数据的平均数为×（26+30+34+35+3×40）＝35，中位数为35，众数为40，方差为×[（26﹣35）2+（30﹣35）2+（34﹣35）2+（35﹣35）2+3×（40﹣35）2]＝26；
新数据的平均数为×（26+30+34+35×2+3×40）＝35，中位数为＝35，众数为40，方差为×26﹣35）2+（30﹣35）2+（34﹣35）2+2×（35﹣35）2+3×（40﹣35）2]＝22.75，
故选：D．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数和方差的定义．
8．【分析】首先根据尺规作图得出OP是AB的垂线，根据勾股定理求出AC的长，从而求出cs∠A的值．
【解答】解：由作图可知OP⊥AB，
∵OA＝10，CD＝4，
∴OC＝10﹣4＝6，
在Rt△OAC中，由勾股定理得，
AC＝＝＝8，
∴cs∠A＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．【分析】由点A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），C（3，m）在同一个函数图象上，可得B与C关于y轴对称；当x＜0时，y随x的增大而减小，继而求得答案．
【解答】解：∵点B（﹣3，m），C（3，m），
∴B与C关于y轴对称，
即这个函数图象关于y轴对称，故选项A，C不符合题意；
∵A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项B符合题意，选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
10．【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，设OE＝a，DE＝b，则点D（a，b），进而得ab＝9，证△ODE和△OBA相似得，进而得OA＝，AB＝，然后根据矩形的面积公式可得出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示：

设OE＝a，DE＝b，
则点D（a，b），
∵点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴ab＝9，
∵四边形OABC为矩形，
∴∠OAB＝90°，
∵DE⊥x轴，
∴DE∥AB，
∴△ODE∽△OBA，
∴，
∵且，
∴，
∴OA＝，AB＝，
∴S矩形OABC＝OA•AB＝＝，
∵ab＝9，
∴S矩形OABC＝25．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上的点，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．【分析】根据无理数定义，随便找出一个无理数即可．
【解答】解：是无理数．
故答案为：．
【点评】本题考查了无理数，牢记无理数的定义是解题的关键．
12．【分析】根据正多边形的性质以及多边形内角和的计算方法进行计算即可．
【解答】解：设这个多边形为n边形，由题意得，
＝144，
解得，n＝10，
即这个正多边形为正十边形．
故答案为：10．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．
13．【分析】用1000乘以使用寿命不小于2200小时的百分比即可．
【解答】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为1000×＝460（只）．
故答案为：460．
【点评】本题考查了频数（率）分布表和用样本估计总体，解题的关键是利用样本估计总体思想的运用．
14．【分析】根据折叠可知AF＝AB＝4，BD＝DF，再根据三角形中位线定理求DE即可．
【解答】解：∵AB＝4，AC＝6，
根据折叠，可知AF＝AB＝4，BD＝DF，
∴CF＝AC﹣AF＝6﹣4＝2，
∵点E是BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE＝CF＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了翻折变换，三角形中位线定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
15．【分析】将已知条件适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：∵＝3，
∴＝3，
∴x+y＝3xy．
∴原式＝
＝
＝
＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了求分式的值，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
16．【分析】依据题意，先判断出了抛物线与x轴的两交点坐标，进而求出AD，BC，进而建立方程，求解即可求出答案．
【解答】解：针对于抛物线y＝x2+mx+8，
令y＝0，则x2+mx+8＝0，
∴x＝，
针对于抛物线y＝x2﹣mx+8，
令y＝0，则x2﹣mx+8＝0，
∴x＝，
∵抛物线y＝x2+mx+8＝（x+）2﹣+8，
∴抛物线y＝x2+mx+8的顶点坐标为（﹣，﹣+8），
∵抛物线y＝x2﹣mx+8＝（x﹣）2﹣+8，
∴抛物线y＝x2﹣mx+8的顶点坐标为（，﹣+8），
∴抛物线y＝x2+mx+8与抛物线y＝x2﹣mx+8的开口大小一样，与y轴相交于同一点，顶点到x轴的距离相等，
∴AB＝CD．
∵AD＝2BC，
∴抛物线y＝x2+mx+8与x轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y＝x2﹣mx+8与x轴的交点C在左侧，D在右侧，
∴A（，0），B（，0），C（，0），D（，0）．
∴AD＝m+，BC＝m﹣．
∴m+＝2（m﹣）．
∴m＝﹣6或6．
故答案为：﹣6或6．
【点评】本题主要考查了抛物线的性质，抛物线与x轴交点的求法，表示出点A，B，C，D的坐标是解本题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值计算，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝2+1﹣4×
＝2+1﹣2
＝1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．
18．【分析】根据SAS证明△ABF≌△DCE，由全等三角形的性质即可解决问题．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考基础题．
19．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m的值代入进行计算即可．
【解答】解：
＝
＝；
当时，原式＝．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
20．【分析】（1）连接OC，得到∠OBC＝∠OCB，圆周角定理得到∠ACB＝90°，得到∠A+∠ABC＝90°，进而得到∠DCB+∠OCB＝90°，即可；
（2）根据∠ACD＝120°，得到∠OCA＝30°，进而得到∠A＝30°，∠DOC＝60°，进而得到∠D＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质，得到AD＝3OA，求出半径的长，根据弧长公式进行求解即可．
【解答】（1）证明：连接OC，则：OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵∠BCD＝∠A，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，即：∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ACD＝120°，∠OCD＝90°，
∴∠OCA＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∴∠D＝30°，
∴OD＝2OC＝2OA，
∵AD＝OA+OD＝9，
∴OA＝3，
∵∠DOC＝60°，
∴∠COA＝120°，
∴×2π×3＝2π．
【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，等边对等角，含30度角的直角三角形．熟练掌握相关知识点，灵活运用，是解题的关键．
21．【分析】（1）根据购进A品牌饮料20箱，B品牌饮料10箱，一共花费2000元：且购买一箱B品牌饮料比购买一箱A品牌饮料多花20元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【解答】解：（1）设购买一箱A品牌的饮料需要a元，购买一箱B品牌的饮料需要b元，
由题意可得：，
解得，
答：购买一箱A品牌的饮料需要60元，购买一箱B品牌的饮料需要80元；
（2）设购买x箱B品牌饮料，则购买（20﹣x）箱A品牌饮料，
由题意可得：60（1+5%）（20﹣x）+80×0.9x≤1350，
解得x≤10，
∵x为整数，
∴x的最大值为10，
答：该商铺此次最多可购买10箱B品牌饮料．
【点评】本题考查二元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式．
22．【分析】（1）以A为圆心，AC为半径作弧交AB于D，以D，C为圆心，以DA，AC的长为半径作弧，两弧交于E，连接DE，ED，四边形ACED即为所求；
（2）设AC＝CE＝DE＝AD＝m，BD＝n，证明∠BED＝∠F＝∠ABC，可得＝，即＝，故n＝m，即可得sinF的值为．
【解答】解：（1）以A为圆心，AC为半径作弧交AB于D，以D，C为圆心，以DA，AC的长为半径作弧，两弧交于E，连接DE，ED，如图：
四边形ACED即为所求；
（2）设AC＝CE＝DE＝AD＝m，BD＝n，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵∠F＝∠ABC，
∴∠A+∠F＝90°，
∴∠ABF＝90°，
∵四边形ACED为菱形，
∴DE∥AF，
∴∠BED＝∠F＝∠ABC，
∴sin∠BED＝sin∠ABC＝sinF，
∴＝，即＝，
解得n＝m（舍去）或n＝m，
∴sinF＝sin∠BED＝＝，
∴sinF的值为．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，涉及解直角三角形，解题的关键是掌握菱形的判定定理和锐角三角函数的定义．
23．【分析】（1）画树状图，再根据树状图得共有6中等可能结果，其中“AB”组合的有2种，由此可得选择购买“AB”组合的概率为：2/6＝1/3；
（1）①根据统计图表可知：A，B，C三种套餐的总利润为2×1800+4×2400+3×800＝15600（元），销售套餐总份数为1800+2400+800＝5000（份），由此得平均每份套餐的利润为15600÷5000＝3.12（元），据此可判定是否降价；
②分别求出（ⅰ）假设A套餐单价调低1元时，则平均每份套餐的利润为2.76元；（ⅱ）假设B套餐单价调低1元时，则平均每份套餐的利润为2.64元；（ⅲ）假设C套餐单价调低1元，则平均每份套餐的利润为＝2.96元；然后根据2.64＜2.76＜2.96＜3即可得出答案．
【解答】解：（1）画树状图如图所示：

根据树状图可知：共有6中等可能结果AB，AC，BA，BC，CA，CB，
其中“AB”组合的有2种，
∴选择购买“AB”组合的概率为：＝；
（1）①根据统计图表可知：
A套餐销售1800份，每份利润为2元，B套餐销售2400份，每份利润为4元，C套餐销售800份，每份利润为3元，
∴A，B，C三种套餐的总利润为：2×1800+4×2400+3×800＝15600（元），
又∵销售套餐总份数为：1800+2400+800＝5000（份），
∴平均每份套餐的利润为：15600÷5000＝3.12（元），
∵3.12＞3，
∴需要调低套餐的单价；
②∵商铺决定只调低一种套餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），
∴不妨假设某一种套餐单价调低1元，因此有以下三种情况：
（ⅰ）假设A套餐单价调低1元，
则平均每份套餐的利润为：（1×1800+4×2400+3×800）÷5000＝2.76（元）；
（ⅱ）假设B套餐单价调低1元，
则平均每份套餐的利润为：（2×1800+3×2400+3×800）÷5000＝2.64（元）；
（ⅲ）假设C套餐单价调低1元，
则平均每份套餐的利润为：（2×1800+4×2400+2×800）÷5000＝2.96（元）；
∵2.64＜2.76＜2.96＜3，
∴当C套餐单价调低1元时，在不违反规定下最接近3元，
即把C套餐单价调整为14元时，在不违反规定下最接近3元．
【点评】此题主要考查了求事件的概率，统计表和条形统计图，理解题意，读懂统计图表，并从统计图表中获取正确的解题信息是解决问题的关键．
24．【分析】（1）将（0，0）代入y＝+bx+c 得：c＝0，设点A横坐标为x1，由根与系数关系得到x1＝﹣2b，作BD⊥x轴，由△AOB是等腰直角三角形，得到OD＝DB＝DA＝|b|，分b＞0，b＜0，两种情况，得到点B坐标，代入抛物线解析式，即可求解；
（2）作CE⊥x轴，CF⊥BO，由S△AOB＝OB•BA＝，S△COB＝OB•CF，S△AOB＝S△COB得到OB＝CF，由△CEF是等腰直角三角形，得到CE＝OA，当解析式为y＝，将抛物线解析式化成顶点式，得到点B坐标，BO解析式，设，则D（a，﹣a），根据CE＝4，点C所在象限，即可求出a的值，得到点C坐标，即可求出BC解析式；当解析式为 时，同理可求解；
（3）过点E作y轴的垂线，过点Q、F作x轴的垂线，将x＝0代入y＝kx+1，得到点P坐标，由点Q是直线BC：y＝﹣2x+2与直线y＝kx+1（k＞0）的交点，设Q（q．﹣2q+2），代y＝kx+1，得到q＝，GH＝，联立直线y＝kx+l与抛物线解析式得：x2﹣2（k+2）x﹣2＝0，应用根与系数关系得到：x1+x2＝2（k+2），x1x2＝﹣2，EG＝﹣x1，GI＝x2，由PG∥QH∥FI，得到＝＝＝﹣，＝＝＝，即可求解．
【解答】（1）抛物线交x轴于O，A两点，将（0，0）代入得：c＝0，
∴抛物线解析式为：，
设点A横坐标为x1，则，
解得：x1＝﹣2b，
∴A（﹣2b，0），
过点B作BD⊥x轴于点D，如图1，
∵△AOB是等腰直角三角形，AO＝|﹣2b﹣0|＝2|b|，
∴OD＝DB＝DA＝OA＝×2|b|＝|b|，
当b＞0时，B（﹣b，﹣b），代入得：，
解得：b＝2，
∴抛物线解析式为：；
当b＜0时，B（﹣b，b），代入得：，
解得：b＝﹣2，
∴抛物线解析式为：，
综上，抛物线解析式为或；
（2）过点C作CE⊥x轴，交直线BO于点E，过点C作CF⊥BO，交直线BO于点F，如图2，
∵S△AOB＝OB•BA＝OB2，S△COB＝OB•CF，
∴当 OB＝CF时，S△AOB＝S△COB，
∵∠CEF＝45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴当CE＝OA时，OB＝CF，S△AOB＝S△COB，
①当解析式为：时，，
∴B（2，﹣2），直线OB解析式为：y＝﹣x，
设，则E（a，﹣a），
∴，
解得：a＝4或a＝﹣2，
∵C在第二象限，a＜0，
∴a＝﹣2，
∴，即：C（﹣2，6），
设直线BC解析式为：y＝mx+n，则：，
解得：，
∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+2；
②当解析式为：时，，
∴B（﹣2，﹣2），直线OB解析式为：y＝x，
设，则E（a，a），
∴，
解得：a＝﹣4或a＝2，
∵C在第二象限，a＜0，
∴a＝﹣4，
∴，即：C（﹣4，0）（不在第二象限，不符合题意），
∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+2；
（3）①为定值．理由如下：
过点E作y轴的垂线，与y轴交于点G，过点Q、F作x轴的垂线，分别交直线EG的延长线于点H，I，如图3，
∵当x＝0时，直线y＝k×0+1＝1，
∴点P（0，1），
∵点Q是直线BC：y＝﹣2x+2与直线y＝kx+1（k＞0）的交点，
设Q（q，﹣2q+2），代入y＝kx+1得：﹣2q+2＝kq+1，
整理得：，
∴，
联立直线y＝kx+1与抛物线解析式得：，
整理得：x2﹣2（k+2）x﹣2＝0，
∴x1+x2＝2（k+2），x1x2＝﹣2，
∴EG＝﹣x1，GI＝x2，
∵PG∥QH∥FI，
∴＝＝＝，＝＝＝，
∴＝＝﹣﹣＝﹣（+）＝﹣（）＝1，
∴①﹣＝1为定值．
【点评】本题考查了求二次函数解析式，二次函数综合特殊三角形，面积问题，线段问题，解题的关键是：用代数式表示出点的坐标和线段长．
25．【分析】（1）由△ACD∽△BCE，得到∠ACD＝∠BCE，，结合么∠ACB＝∠DCE＝90°，即可证明；
（2）延长AC、BE交于点F，由△ACD∽BCE，得到∠CAD＝∠CBE，结合∠CAB+∠ABC＝90°，得到∠EAB+∠ABE＝90°，由AD平分∠CAB，得到△FAE≌△BAE（ASA），FE＝BE，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求解；
（3）作CG⊥CF，交AF于点G，由△ACD∽△BCE，得到AD＝BE，由△CAG∽△CBF，得到AG＝BF，由△CAB∽△CGF，得到GF＝CF，当点F在线段BE上时，DF＝GF+AG﹣AD；当点F在线段BE延长线上时，DF＝GF+AG﹣AD，分别代入即可求解．
【解答】解：（1）证明：∵△ACD∽△BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，，
∴∠ACD+∠DCB＝∠BCE+∠DCB＝90°，即∠ACB＝∠DCE＝90°，
∵，
∴，
∴△ABC∽△DEC；
（2）延长AC、BE交于点F，
∵△ACD∽△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠CAB﹣∠CAD+∠ABC+∠CBE＝90°，即：∠EAB+∠ABE＝90°，
∴∠AEF＝∠AEB，
∵AD平分∠CAB，
∠FAE＝∠BAE，
在△FAE和△BAE中，
，
∴△AFA≌△BAE（ASA），
∴FE＝BE，
又∵∠FCB＝90°，
∴CE＝BF＝BE，
∴CE＝BE；
（3）解：过点C作CG⊥CF，
∵∠ACB﹣∠GCB＝∠GCF﹣∠GCB，即∠ACG＝∠BCF，
∵△ACD∽△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，，即AD＝BE，
∴△CAG∽△CBF，
∴，即AD＝BF，
∴△CAB∽△CGF，
∴，即GF＝CF，
当点F在线段BE上时，
DF＝GF+AG﹣AD，
即：DF＝CF+BF﹣BE＝CF﹣（BE﹣BF）＝CF﹣EF，
∴4DF＝5CF﹣3EF；
当点F在线段BE延长线上时，
即：DF＝CF+BF﹣BE＝CF+（BE﹣BF）＝CF+EF，
故答案为：DF＝CF﹣EF或DF＝CF+EF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等综合题，解题的关键是根据相似三角形找到线段之间的比例关系．
使用寿命
x＜1000
1000≤x＜1600
1600≤x＜2200
2200≤x＜2800
x≥2800
灯泡只数
5
10
12
17
6
种类
A
B
C
数量（份）
1800
2400
800