沪教版2024-2525学年六年级数学上册同步讲义第19讲画线段的和、差与线段的中点(六大题型)专题练习(学生版+解析)

这是一份沪教版2024-2525学年六年级数学上册同步讲义第19讲画线段的和、差与线段的中点(六大题型)专题练习(学生版+解析)，共50页。试卷主要包含了知识引入，线段的和，画线段的和，线段的倍等内容，欢迎下载使用。

一、知识引入
单位长度一旦给定，线段的长度就可以用一个数来表示.因此，线段的长度可以像数一样做加法、减法运算.如果一条线段的长度等于另外两条线段长 度的和(或差),那么称这条线段就是另外两条线段的和(或差).
二、线段的和、差
思考1：如图4- 1- 10,点A 、B 、C 在一条直线上.线段AB 、BC 、AC有怎样的数量关系? 线段AB 、BC 、AC有如下的数量关系：AB+BC=AC,AC—BC=AB,AC—AB=BC.
思考2：如图4-1-11,点B 、C 在线段AD上 .如果线段AB与线段CD一样长，那么线段AC 、BD 有怎样的关系?为什么?
因为AB=CD, 所以AB+BC=CD+BC. 所以AC=BD.
三、画线段的和、差
我们在小学学过用刻度尺画一条线段等于已知线段.画一条线段等于两条 线段的和或差，可以先用刻度尺量出两条线段的长度，再计算线段的和或差， 最后利用刻度尺画.
在没有刻度尺的条件下，我们也可以用直尺和圆规画线段的和与差.
例题1：如图4-1-12,已知线段a、b.
(1)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a+b;
(2)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a—b.
解 (1)如图4- 1- 13,
① 画射线OP;
②在射线OP 上从点O 起，顺次截取OA=a,AB=b. 线 段OB 就是所要画的线段.
(2)如图4-1-14,
①画射线OP;
②在射线OP上截取OC=a, 在线段OC上截取CD=b.线段OD就是所要画的线段.
从图4-1-13可知，线段OB 的长度就是线段OA的长度加上线段AB 的 长度，即有OB=OA+AB. 因 为OA=a,AB=b, 所以OB=a+b.
从图4-1-14可知，OC=a,CD=b, 线 段OD的长度就是线段OC的长度减去线段CD 的长度，即有OD=OC-CD. 因为OC=a,CD=b, 所以OD=a—b.
四、线段的倍、线段的中点
如果一条线段b 是 n 条线段a 的和，就说线段b 是线段a的n倍，或线段a 是线段b的n分之一，记作b=na或特别地，将一条线段分成两条相等线段的点叫作这条线段的中点.
如图4-1-17,M是线段AB 的中点，那么,AB=2AM=2BM.
例题2：如图4- 1- 18,已知一条线段AB, 用刻度尺画出它的中点C.
解：如图4- 1- 19,以1 mm 为单位长度.
①用刻度尺量出AB=40, 计算得
②用刻度尺在线段AB 上取点C, 使得AC=20. 点C就是所要画的线段AB 的中点.
【即学即练1】点，，在直线上的位置如图所示，下列结论中，不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练2】在直线上顺次取三点、、，使线段，，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【即学即练3】如图，点C是线段上的一点，且．下列结论，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练4】如图，点C是线段上一点，D为的中点，且，．若点E在直线上，且，则的长为（ ）
A．4 B．15 C．3或15 D．4或10
题型1：作线段（尺规作图）
【典例1】．已知线段，求作线段．（不写作法，保留作图痕迹）
【典例2】．已知线段、，且（如图），画一条线段，使它等于．（不写画法或作法，保留画图或作图痕迹）
题型2：线段中点有关的计算
【典例3】．已知点是线段中点，则下列结论不成立的是
A．B．C．D．
【典例4】．已知点C在线段上，则下列条件中，不能确定点C是线段中点的是（ ）
A．B．C．D．
【典例5】．如图，已知点C在线段上，则下列等式；； ；．能说明点C是线段的中点的等式有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【典例6】．如图，点是线段上一点，点是的中点，点是的中点，若长，则长（ ）
A．B．C．D．
【典例7】．如图，已知点是线段的中点，点在线段上，若线段cm，cm，则线段的长度为（ ）
A．2cmB．4cmC．4.5cmD．5cm
题型3：线段n等分点的有关计算
【典例8】．二等分点：又叫线段的 ，把线段分成 的两部分．
即：如图，若点P是线段的中点，则或
三等分点：把线段分成 的三部分．以此类推．
【典例9】．已知点是线段的三等分点，点是的中点，，则线段的长为 ．
【典例10】．若线段，点C是线段的中点，点D是线段的三等分点，则线段的长为 ．
【典例11】．如图，延长线段至点，使，若点恰好为线段中点，且，则线段的长度是（ ）

A．2B．3C．4D．5
题型4：线段的和与差
【典例12】．已知线段的长是，点C在直线上，且，则的长是（ ）
A．B．C．或D．或
【典例13】．如图，，为的中点，点在线段上，且，则的长度是（ ）

A．B．C．D．
【典例14】．如图，已知点是线段内一点，，点是线段的中点，若线段，则线段的长是 ．
【典例15】．如图，已知线段的长度为7，线段的长度为（），若图中所有线段的长度之和为25，则的值为 ．
【典例16】．如图所示，已知是线段上的一个点，是的中点，为中点，且满足，求 ．
【典例17】．在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为 ．
【典例18】．如图所示，长为的线段的中点为，将线段分为和，且，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【典例19】．如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则 ．（ ）
A．6B．8C．12D．16
【典例20】．如图，点是线段上任意一点（不与端点重合），点是的中点，点是的中点，点是的中点，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【典例21】．如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和＝（ ）
A．B．C．D．
题型5：与线段有关的动点问题
【典例22】．如图，已知线段AB=8，点C是线段AB是一动点，点D是线段AC的中点，点E是线段BD的中点，在点C从点A向点B运动的过程中，当点C刚好为线段DE的中点时，线段AC的长为（ ）
A．3.2B．4C．4.2D．
【典例23】．如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当PB＝BQ时，t＝12，其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【典例24】．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（ ）
A．随之变化B．不改变，且为
C．不改变，且为D．不改变，且为
【典例25】．如图，数轴上的点和点分别表示0和10，点是线段上一动点.点沿以每秒2个单位的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过10秒）.若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（ ）
A．秒或秒B．秒或秒或或秒
C．3秒或7秒D．3秒或或7秒或秒
题型6：解答综合题
【典例26】．如图，已知线段，延长至，使得．

(1)求的长；
(2)若是的中点，是的中点，求的长．
【典例27】．如图，已知线段，C是线段上任意一点（不与点A、B重合）．
(1)若M，N分别是，的中点，则________；
(2)若，，求的长．
【典例28】．如图，四点在一条直线上，根据图形填空：
(1)图中共有线段________条；
(2)________+________+________；
(3)________；
(4)若是的中点，，求线段的长．
【典例29】．如图，点C在线段上，，．
(1) ； ．
(2)若点D、E在过线上，点D在点E的左侧，线段DE在线段上移动，．
①如图1，当E为中点时，求的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段上，，，画出图形，求的长；
【典例30】．将一段长为60cm的绳子拉直铺平，沿点M，N折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），设点A，B分别落在点，处．
(1)如图1，当点，恰好重合时，的长为______cm；
(2)如图2，若点落在点的左侧，且，求的长；
(3)若，请直接写出的长．（用含的式子表示）
一、单选题
1．用“叠合法”比较两条线段AB，CD的大小，其中正确的方法是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，比较线段与线段的大小（ ）
A．B．C．D．无法比较
3．已知点是线段上的一点，不能确定点是中点的条件是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，点，点都在线段上，若，则（ ）
A．B．
C．D．
5．如图所示，点C是线段的中点，点D在线段上，且，若，则的长（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．如图，已知线段a，b．按如下步骤完成尺规作图：①作射线；③在线段上截取 ，．则的长是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，下列关系式中与图不一定符合的式子是（ ）
A．B．
C．D．
8．如果点是线段的中点，结论：①，②，③，④中，正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②③④D．②③
9．两根木条，一根长60cm，一根长100cm，将它们的一个端点重合，放在同一条直线上，此时两根木条中点间的距离（ ）
A．20cmB．80cm
C．160cmD．20cm 或80cm
10．如图，已知A、B是线段上两点，，、分别为、的中点，且，则长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．如图，点C是线段上一点，，，则 厘米．
解：因为点D是线段AB的中点，
所以DB＝ ；
因为点E是线段BC的中点，
所以BE＝ ；
因为DE＝DB﹣BE，
所以DE＝ ﹣ ＝ ；
因为AC＝6，
所以DE＝ ．
22．已知点C在线段AB上，点D为的中点．
(1)如图1，若，，求AB的长．
(2)如图2，若点E为AB的中点，，求DE的长．
23．如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点．
(1)若，求的长；
(2)若，求的长；
(3)若，求的长；
(4)指出与之间的大小关系．
24．如图，已知线段，，线段在线段上运动，E、F分别是、的中点．
(1)若，则__________；
(2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变请求出的长度，如果变化，请说明理由．
25．数学课上，王老师在黑板上写出了一道题让大家回答，题目如下：
在直线上取A，，三点，使得，；如果是线段的中点，那么线段的长度是多少？
学生小明读完题后，稍微一想就画出了如图所示图形，并进行了解答：
因为，是线段的中点，
所以______，
因为____________，，
所以______cm．
(1)请你帮助小明将其解答过程在横线上补充完整．
(2)学生小惠看完小明的解答后，对其产生了质疑，她认为小明对此题的考虑不全面，忽略了一种情况．请你把小明忽略的那种情况画出图形，并模仿（1）中的格式进行解答．
学习目标
1、了解线段的和、差、倍，并学会有关计算；
2. 掌握线段的和、差、倍的作图；
3、知道线段的中点，并会作图和计算。
第19讲 画线段的和、差与线段的中点（六大题型）
一、知识引入
单位长度一旦给定，线段的长度就可以用一个数来表示.因此，线段的长度可以像数一样做加法、减法运算.如果一条线段的长度等于另外两条线段长 度的和(或差),那么称这条线段就是另外两条线段的和(或差).
二、线段的和、差
思考1：如图4- 1- 10,点A 、B 、C 在一条直线上.线段AB 、BC 、AC有怎样的数量关系? 线段AB 、BC 、AC有如下的数量关系：AB+BC=AC,AC—BC=AB,AC—AB=BC.
思考2：如图4-1-11,点B 、C 在线段AD上 .如果线段AB与线段CD一样长，那么线段AC 、BD 有怎样的关系?为什么?
因为AB=CD, 所以AB+BC=CD+BC. 所以AC=BD.
三、画线段的和、差
我们在小学学过用刻度尺画一条线段等于已知线段.画一条线段等于两条 线段的和或差，可以先用刻度尺量出两条线段的长度，再计算线段的和或差， 最后利用刻度尺画.
在没有刻度尺的条件下，我们也可以用直尺和圆规画线段的和与差.
例题1：如图4-1-12,已知线段a、b.
(1)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a+b;
(2)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a—b.
解 (1)如图4- 1- 13,
① 画射线OP;
②在射线OP 上从点O 起，顺次截取OA=a,AB=b. 线 段OB 就是所要画的线段.
(2)如图4-1-14,
①画射线OP;
②在射线OP上截取OC=a, 在线段OC上截取CD=b.线段OD就是所要画的线段.
从图4-1-13可知，线段OB 的长度就是线段OA的长度加上线段AB 的 长度，即有OB=OA+AB. 因 为OA=a,AB=b, 所以OB=a+b.
从图4-1-14可知，OC=a,CD=b, 线 段OD的长度就是线段OC的长度减去线段CD 的长度，即有OD=OC-CD. 因为OC=a,CD=b, 所以OD=a—b.
四、线段的倍、线段的中点
如果一条线段b 是 n 条线段a 的和，就说线段b 是线段a的n倍，或线段a 是线段b的n分之一，记作b=na或特别地，将一条线段分成两条相等线段的点叫作这条线段的中点.
如图4-1-17,M是线段AB 的中点，那么,AB=2AM=2BM.
例题2：如图4- 1- 18,已知一条线段AB, 用刻度尺画出它的中点C.
解：如图4- 1- 19,以1 mm 为单位长度.
①用刻度尺量出AB=40, 计算得
②用刻度尺在线段AB 上取点C, 使得AC=20. 点C就是所要画的线段AB 的中点.
【即学即练1】点，，在直线上的位置如图所示，下列结论中，不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】此题考查了比较线段的长短，根据直线上，，的位置，判断即可．
【解析】解：A、由图可知，故A选项正确，不符合题意；
B、由图可知，故B选项正确，不符合题意；
C、由图可知，故C选项正确，不符合题意；
D、由图可知，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【即学即练2】在直线上顺次取三点、、，使线段，，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段的和差运算，根据在直线上顺次取三点、、，得出，再代数计算，即可作答．
【解析】解：在直线上顺次取三点、、，
，
，，
，
故选：D．
【即学即练3】如图，点C是线段上的一点，且．下列结论，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查成比例线段，解题关键在于求得线段比例关系． 根据，可知C为线段的三等分点，结合图形判断各选项的对错．
【解析】解∶因为，
所以，即，
故选∶C．
【即学即练4】如图，点C是线段上一点，D为的中点，且，．若点E在直线上，且，则的长为（ ）
A．4 B．15 C．3或15 D．4或10
【答案】D
【分析】本题考查了两点间的距离，根据线段中点的定义得到，，求得，分两种情况：当点在点右侧，当点在点左侧，根据线段的和差分别讨论，是解决问题关键．
【解析】解：∵D为的中点，，
∴，，
∵，
∴，
如图1，当点在点右侧，
∵，
∴，
∴；
如图2，当点在点左侧，
∵，
∴，
故的长为4或10，
故选：D．
题型1：作线段（尺规作图）
【典例1】．已知线段，求作线段．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】利用圆规量出线段a，把圆规的一端放在线段b的一端端点上，令一端画弧，在线段b上截取出一段和a等长的线段．
【解析】解：如图，．
【点睛】本题考查线段差的画法，解题的关键是掌握利用尺规按要求画线段的方法．
【典例2】．已知线段、，且（如图），画一条线段，使它等于．（不写画法或作法，保留画图或作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】作射线，在射线上截取，在线段上截取，则线段，即可．
【解析】解：如图，作射线，在射线上截取，在线段上截取，则线段，
线段即为所求．
【点睛】本题考查了作线段，线段的和差，数形结合是解题的关键．
题型2：线段中点有关的计算
【典例3】．已知点是线段中点，则下列结论不成立的是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据线段的中点定义及表示方法进行判断便可．
【解析】解：点是线段中点，
，，
、B、D选项成立，C选项不成立，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段的中点的定义与性质，熟练掌握中点的定义与性质是解题的关键．
【典例4】．已知点C在线段上，则下列条件中，不能确定点C是线段中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据线段的中点的定义依次分析各项即可判断．
【解析】A、，则点C是线段中点；
B、，则点C是线段中点；
C、，则点C是线段中点；
D、，则C可以是线段上任意一点；
【点睛】此题考查了线段中点的定义：线段中点将线段分为相等的两部分，熟练掌握线段中点定义是解题的关键．
【典例5】．如图，已知点C在线段上，则下列等式；； ；．能说明点C是线段的中点的等式有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据线段中点的定义进行判断即可．
【解析】解：∵点C在线段上，
∴当时，，
∴点C是线段的中点；
当时，不能说明，
∴不能说明点C是线段的中点；
当时，，
∴点C是线段的中点；
∵点C在线段上，，
∴点C是线段的中点；
综上分析可知，能说明点C是线段的中点的等式有3个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段中点的定义，解题的关键是理解定义，数形结合．
【典例6】．如图，点是线段上一点，点是的中点，点是的中点，若长，则长（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据线段的中点判断，，再证明，结合，可得长．
【解析】解：∵点是的中点，点是的中点，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了两点间的距离、线段中点的性质，由图得出是解答本题的关键．
【典例7】．如图，已知点是线段的中点，点在线段上，若线段cm，cm，则线段的长度为（ ）
A．2cmB．4cmC．4.5cmD．5cm
【答案】D
【分析】根据线段中点的定义求出的长，进而可得答案．
【解析】∵点是线段的中点，cm，
∴
∵cm，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义是解题关键．
题型3：线段n等分点的有关计算
【典例8】．二等分点：又叫线段的 ，把线段分成 的两部分．
即：如图，若点P是线段的中点，则或
三等分点：把线段分成 的三部分．以此类推．
【答案】 中点 相等 相等
【分析】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，正确理解定义是解题的关键．
【解析】二等分点：又叫线段的中点，把线段分成相等的两部分．
即：如图，若点P是线段AB的中点，

则或
三等分点：把线段分成相等的三部分．以此类推．
故答案为：中点；相等；相等．
【典例9】．已知点是线段的三等分点，点是的中点，，则线段的长为 ．
【答案】或/4cm或2cm
【分析】分两种情况，当M为靠近A的三等分点时，当M为靠近B的三等分点时，分别画出图形，求出结果即可．
【解析】解：当M为靠近A的三等分点时，如图所示：
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴；
当M为靠近B的三等分点时，如图所示：
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴；
综上分析可知，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了线段中点的计算，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
【典例10】．若线段，点C是线段的中点，点D是线段的三等分点，则线段的长为 ．
【答案】或
【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论．
【解析】解：是线段的中点，，
，
点是线段的三等分点，
①当时，如图，
；
②当时，如图，
．
所以线段的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键．
【典例11】．如图，延长线段至点，使，若点恰好为线段中点，且，则线段的长度是（ ）

A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】本题考查两点间的距离，理解线段中点以及线段和差关系是正确解答的前提．根据线段中点以及线段和差关系进行计算即可．
【解析】解：点为线段的中点，，
，
．
，
∴，
题型4：线段的和与差
【典例12】．已知线段的长是，点C在直线上，且，则的长是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查的是线段的运算问题，解这类问题时，首先要画出图形仔细观察已知的线段和要求的线段，寻找它们之间的和、差、倍数关系．
【解析】①如图1，点在线段的延长线上时，
∵，，
∴，
②如图，点在线段上时，
∵，，
∴，
综上所述，的长是或．
【典例13】．如图，，为的中点，点在线段上，且，则的长度是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点的距离计算的方法进行计算是解决本题的关键．根据，为的中点，可计算出，再根据，可得，即可计算出的长度．
【解析】解：∵，为的中点；
∴；
∵；
∴；
∴；
故选：A．
【典例14】．如图，已知点是线段内一点，，点是线段的中点，若线段，则线段的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质．根据，，点是线段的中点，分别求得的长，即可解决问题．
【解析】解：，，
，
点是线段的中点，，
，
，
故答案为．
【典例15】．如图，已知线段的长度为7，线段的长度为（），若图中所有线段的长度之和为25，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了两点间的距离，线段的长度和有关计算，主要考查学生能否求出线段的长度和知道如何数图形中的线段．依据线段长度为，可得, 依据长度为，可得，进而得出结论．
【解析】∵线段长度为，
，
又∵长度为，
，
∴图中所有线段的长度和为：
，
故答案为:．
【典例16】．如图所示，已知是线段上的一个点，是的中点，为中点，且满足，求 ．
【答案】
【分析】
本题考查了两点间的距离和中点的性质等知识点，由和推出，由M为的中点可得出的长，进而可得的长度，由 N为的中点可得出的长度，进而即可求出的值．根据各线段之间的关系求出的长度是解题的关键．
【解析】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵N为的中点，
∴,
∴，
∴，
故答案为：．
【典例17】．在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了线段的和差关系，中点的性质，线段n等分点的计算，设，根据题意可得，再根据点B的位置分情况讨论即可．
【解析】解：设，
点C是线段的中点，
，
如图，当点B是靠近A的线段的三等分点时，
则，，
，
，
，
；
如图，当点B是靠近D的线段的三等分点时，
则，，
，
，
，
，
故答案为：或．
【典例18】．如图所示，长为的线段的中点为，将线段分为和，且，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段的中点，线段之间的数量关系，解题的关键是：将已知条件转化为数学表达式．根据线段的中点为，求出、的长，再根据，求出的长，与相加，即可求解．
【解析】解：，线段的中点为，
，
，
，
，
故选：．
【典例19】．如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则 ．（ ）
A．6B．8C．12D．16
【答案】A
【分析】
本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的相关计算，根据的关系，可用表示，表示，根据线段的和差，可得的长，根据线段中点的性质，可得的长，再根据线段的和差，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
【解析】解：由，得，
，
，
E、F分别是的中点，
，，
，
解得：，
，
故选：C．
【典例20】．如图，点是线段上任意一点（不与端点重合），点是的中点，点是的中点，点是的中点，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据线段中点的定义得到，，，然后根据线段之间的和差倍分关系逐个求解即可．
【解析】解：∵M是中点，
∴，
∵P是中点，
∴，
∵点Q是中点，
∴，
对于①：，故①正确；
对于②：，
，故②正确；
对于③：，
而，
故③错误；
对于④：，
，故④正确；
故对3个，
故选C．
【点睛】此题考查线段之间的和差倍分问题，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
【典例21】．如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果．
【解析】解：线段，线段和的中点分别为，，
，
线段和的中点，，
，
发现规律：
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了线段规律性问题，与中点有关的计算，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度．
题型5：与线段有关的动点问题
【典例22】．如图，已知线段AB=8，点C是线段AB是一动点，点D是线段AC的中点，点E是线段BD的中点，在点C从点A向点B运动的过程中，当点C刚好为线段DE的中点时，线段AC的长为（ ）
A．3.2B．4C．4.2D．
【答案】D
【分析】根据题意设AD=x,根据中点的定义得到CD,CE,BE的长，再根据AB=8求出x即可求解.
【解析】根据题意设AD=x,
∵点D是线段AC的中点，∴CD=AD=x,
∵C刚好为线段DE的中点
∴CD=CE=x，
∵点E是线段BD的中点
∴BE=DE=2x
∵AB=8
∴x+x+x+2x=8
解得x=1.6
∴AC=2x=3.2.
故选A.
【点睛】此题主要考查线段的中点，解题的关键是熟知中点的定义，及列方程的关系.
【典例23】．如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当PB＝BQ时，t＝12，其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】根据AC比BC的多5可分别求出AC与BC的长度，然后分别求出当P与Q重合时，此时t=30s，当P到达B时，此时t=15s，最后分情况讨论点P与Q的位置．
【解析】解：设BC＝x，
∴AC＝x+5
∵AC+BC＝AB
∴x+x+5＝30，
解得：x＝20，
∴BC＝20，AC＝10，
∴BC＝2AC，故①成立，
∵AP＝2t，BQ＝t，
当0≤t≤15时，
此时点P在线段AB上，
∴BP＝AB﹣AP＝30﹣2t，
∵M是BP的中点
∴MB＝BP＝15﹣t
∵QM＝MB+BQ，
∴QM＝15，
∵N为QM的中点，
∴NQ＝QM＝，
∴AB＝4NQ，
当15＜t≤30时，
此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧，
∴AP＝2t，BQ＝t，
∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，
∵M是BP的中点
∴BM＝BP＝t﹣15
∵QM＝BQ﹣BM＝15，
∵N为QM的中点，
∴NQ＝QM＝，
∴AB＝4NQ，
当t＞30时，
此时点P在Q的右侧，
∴AP＝2t，BQ＝t，
∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，
∵M是BP的中点
∴BM＝BP＝t﹣15
∵QM＝BQ﹣BM＝15，
∵N为QM的中点，
∴NQ＝QM＝，
∴AB＝4NQ，
综上所述，AB＝4NQ，故②正确，
当0＜t≤15，PB＝BQ时，此时点P在线段AB上，
∴AP＝2t，BQ＝t
∴PB＝AB﹣AP＝30﹣2t，
∴30﹣2t＝t，
∴t＝12，
当15＜t≤30，PB＝BQ时，此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧，
∴AP＝2t，BQ＝t，
∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，
∴2t﹣30＝t，
t＝20，
当t＞30时，此时点P在Q的右侧，
∴AP＝2t，BQ＝t，
∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，
∴2t﹣30＝t，
t＝20，不符合t＞30，
综上所述，当PB＝BQ时，t＝12或20，故③错误；
故选：C．
【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是求出P到达B点时的时间，以及点P与Q重合时的时间，涉及分类讨论的思想．
【典例24】．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（ ）
A．随之变化B．不改变，且为
C．不改变，且为D．不改变，且为
【答案】D
【分析】把DE的长度转化为DC与CE的长度之和，转化为AB的长度即可求解．
【解析】∵为中点，为中点，
∴DC= AC，CE= BC
∴DE=DC+CE
=AC+BC
=AB
=m
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是线段动点问题以及线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键．
【典例25】．如图，数轴上的点和点分别表示0和10，点是线段上一动点.点沿以每秒2个单位的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过10秒）.若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（ ）
A．秒或秒B．秒或秒或或秒
C．3秒或7秒D．3秒或或7秒或秒
【答案】C
【分析】根据点P的位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用路程÷速度=时间即可得出结论．
【解析】解：∵数轴上的点和点分别表示0和10
∴OA=10
∵是线段的中点，
∴OB=AB=
①当点P由点O向点A运动，且未到点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程OP=OB－PB=3
∴点P运动的时间为3÷2=s；
②当点P由点O向点A运动，且已过点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程OP=OB+PB=7
∴点P运动的时间为7÷2=s；
③当点P由点A向点O运动，且未到点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程为OA＋AP=OA＋AB－PB=13
∴点P运动的时间为13÷2=s；
④当点P由点A向点O运动，且已过点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程为OA＋AP=OA＋AB＋PB=17
∴点P运动的时间为17÷2=s；
综上所述：当时，则运动时间的值为秒或秒或或秒
【点睛】此题考查的是数轴与动点问题和线段的和与差，掌握各线段的关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
题型6：解答综合题
【典例26】．如图，已知线段，延长至，使得．

(1)求的长；
(2)若是的中点，是的中点，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查线段和差，利用中点求线段长．
（1）首先根据求出，根据题意知，即可得到本题答案；
（2）利用中点分别求出，，再利用线段和差即可得到本题答案．
【解析】（1）解：∵线段， ，
∴，
∴；
（2）解：∵D是的中点，E是的中点，
∴，，
∴．
【典例27】．如图，已知线段，C是线段上任意一点（不与点A、B重合）．
(1)若M，N分别是，的中点，则________；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)30
(2)40
【分析】本题考查了线段中点有关的计算，线段的和差，数形结合是解答本题的关键．
（1）由中点的定义可得，，然后根据求解即可；
（2）由，可得，，然后根据求解即可．
【解析】（1）解：∵M，N分别是的中点，
∴，，
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【典例28】．如图，四点在一条直线上，根据图形填空：
(1)图中共有线段________条；
(2)________+________+________；
(3)________；
(4)若是的中点，，求线段的长．
【答案】(1)6
(2)；；；
(3)；
(4)
【分析】本题主要考查线段的和差关系及线段中点的性质，熟练掌握线段的和差关系是解题的关键；
（1）根据图形可直接进行求解；
（2）由图可直接进行求解；
（3）根据线段的和差关系可进行求解；
（4）由题意可设，则有，然后可得，进而问题可求解．
【解析】（1）解：图中共有线段6条；
故答案为6；
（2）解：；
故答案为；；；
（3）解：；
故答案为；
（4）解：∵是的中点，且，
∴，
设，则有，则有，
解得：，
∴，
∴．
【典例29】．如图，点C在线段上，，．
(1) ； ．
(2)若点D、E在过线上，点D在点E的左侧，线段DE在线段上移动，．
①如图1，当E为中点时，求的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段上，，，画出图形，求的长；
【答案】(1)12，6
(2)①7；②的长为3或5．
【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的性质，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
（1）根据，，可求得，；
（2）①根据中点定义求出，由线段的和差即可得到的长；
②点（异于，，点）在线段上，，，确定点是的中点，即可求的长．
【解析】（1）∵，，
，；
（2）如图1，
为中点，
，
，
，
；
②Ⅰ、当点在点的左侧，如图2，
，，
点是的中点，
，
，
；
，故图2（b）这种情况求不出；
Ⅱ、如图3，当点在点的右侧，
，，
，
，
．
，故图3（b）这种情况求不出；
综上所述：的长为3或5．
【典例30】．将一段长为60cm的绳子拉直铺平，沿点M，N折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），设点A，B分别落在点，处．
(1)如图1，当点，恰好重合时，的长为______cm；
(2)如图2，若点落在点的左侧，且，求的长；
(3)若，请直接写出的长．（用含的式子表示）
【答案】(1)30
(2)
(3)的长为或
【分析】本题考查了两点间的距离．
（1）因为点，恰好重合，所以，已知，可得的长；
（2）已知，，可得的长，又因，可得的长；
（3）分点落在点的左侧、点落在点的右侧两种情况讨论．
【解析】（1）解：点，恰好重合，
，
，
，
故答案为：30；
（2）解：，，
，
，
．
（3）解：①当点落在点的左侧时，
，
，，
，
，
，
②当点落在点的右侧时，
，
，，，
，
，
，
综上，的长为或．
一、单选题
1．用“叠合法”比较两条线段AB，CD的大小，其中正确的方法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“叠合法”的基本方法进行逐个判断，即可得出结论．
【解析】解：A.端点B、C重合，但没在CD上截取，故此选项错误；
B.端点没有重合，故此选项错误；
C.端点A、C重合，且在CD上截取，故此选项正确；
D.端点A、C重合，但不在同一直线上，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了线段的比较，掌握利用“叠合法”比较线段的长短是解题的关键．
2．如图，，比较线段与线段的大小（ ）
A．B．C．D．无法比较
【答案】C
【分析】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．本题利用线段的和差将比较线段与线段转换为比较线段与线段即可．
【解析】解：因为，，，
所以，
故选：B．
3．已知点是线段上的一点，不能确定点是中点的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据线段中点的定义对每一项分别进行分析，即可得出答案．
【解析】解：A.若AC=CB，则C是线段AB中点；
B.若AC=AB，则C是线段AB中点；
C.若AB=2BC，则C是线段AB中点；
D.AC+CB=AB，C可是线段AB上任意一点．
因此，不能确定C是AB中点的条件是D．
故选：D．
【点睛】此题考查了两点间的距离，理解线段中点的概念是本题的关键．
4．如图，点，点都在线段上，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了线段得到和差计算，根据线段之间的关系可得，则．
【解析】解：∵，，
∴，
∴，
故选：C．
5．如图所示，点C是线段的中点，点D在线段上，且，若，则的长（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，根据图示正确找到线段之间的和差关系是解题关键．根据、即可求解．
【解析】解：∵点C是线段的中点，，
∴
∴
∵
∴，
∴
故选：A
6．如图，已知线段a，b．按如下步骤完成尺规作图：①作射线；③在线段上截取 ，．则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了两点间的距离．根据题意画出几何图形，然后利用两点之间的距离得到
【解析】解：如图，．
故选：C．
7．如图，下列关系式中与图不一定符合的式子是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．根据线段之间的和差关系依次进行判断即可得出正确答案．
【解析】解：A、，正确，
B、，正确；
C、，而，故本选项错误；
D、，正确．
故选：C．
8．如果点是线段的中点，结论：①，②，③，④中，正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②③④D．②③
【答案】A
【分析】根据中点的定义，依次进行判断，即可进行解答．
【解析】解：∵点是线段的中点，
∴，，，；
综上：正确的有①②③④．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段中点的定义，解题的关键是熟练掌握：如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫做这条线段的中点．
9．两根木条，一根长60cm，一根长100cm，将它们的一个端点重合，放在同一条直线上，此时两根木条中点间的距离（ ）
A．20cmB．80cm
C．160cmD．20cm 或80cm
【答案】D
【分析】设较长的木条为AB，较短的木条为BC，根据中点定义求出BM、BN的长度，然后分①BC不在AB上时，MN＝BM+BN，②BC在AB上时，MN＝BM﹣BN，分别代入数据进行计算即可得解．
【解析】解：如图，设较长的木条为AB＝100cm，较短的木条为BC＝60cm，
∵M、N分别为AB、BC的中点，
∴BM＝AB＝ ×100＝50（cm），
BN＝BC＝ ×60＝30（cm），
①如图1，BC不在AB上时，MN＝BM+BN＝50+30＝80（cm），
②如图2，BC在AB上时，MN＝BM﹣BN＝50﹣30＝20（cm），
综上所述，两根木条的中点间的距离是80cm或20cm．
故选：D．
【点睛】此题主要考查线段的和差关系，解题的关键是熟知中点的性质．
10．如图，已知A、B是线段上两点，，、分别为、的中点，且，则长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性.同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．如图，由于，可以设，，，而、分别为、的中点，那么线段可以用表示，而，由此即可得到关于的方程，解方程即可求出线段的长度．
【解析】解：，
可以设，，，
而、分别为、的中点，
，，
，
，
，
，
，
的长为．
故选：D．
二、填空题
11．如图，点C是线段上一点，，，则 厘米．
【答案】6
【分析】本题考查了两点间的距离，根据线段图得到，把数代入进行计算即可．解题的关键是根据线段间的数量关系来解答．
【解析】解：，
故，
故答案为：6．
12．已知线段，点在直线上，，则 ．
【答案】或/5或3
【分析】根据线段的倍数与和差关系分情况讨论解答即可．本题考查了线段的倍数关系及线段的和差关系，分类讨论思想，根据题意画出图形是解题的关键．
【解析】解：①当点在线段AB上时，
∵，，
∴，
∴；
②当点在的延长线上时
∵，，
∴，
∴；
故答案为：或．
13．已知点A、B、C在直线上，，，点D是的中点，则的长是 ．
【答案】或
【分析】本题考查与线段中点有关的计算，分点在点的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可．理清线段之间的和差关系，是解题的关键．
【解析】解：∵，点D是的中点，
∴，
当点在点的左侧时，；

当点在点的右侧时，；

故答案为：或．
14．如图，是线段上的点，是线段的中点，若，则 ．
【答案】9
【分析】本题考查的是线段中点的有关计算，根据已知求出是解题的关键．根据点D是线段的中点先求出的长，再根据线段的和差即可得出答案．
【解析】解：∵是线段的中点，，
∴，
∴，
故答案为：9．
15．如图，已知线段，延长至点，使．为线段的中点，则的长为 ．（用含的代数式表示）．

【答案】/
【分析】本题主要考查了线段的和与差．根据题意先求出，可得，再由为线段的中点，可得，即可求解．
【解析】解：∵线段，，
∴，
∴，
∵为线段的中点，
∴，
∴．
故答案为：
16．如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点，若，，则线段的长为 ．
【答案】5.4
【分析】本题主要考查线段中点的性质以及解一元一次方程．设，则，由中点的定义可得，再由，可得到关于x的方程，求出x的值，即可求解．
【解析】解：设，则，
∵点D为线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，即，
∵，C为中点，
∴，
∴．
故答案为：5.4
17．定义：C是线段上的一点，若点C将分得的两条线段中，有一条线段的长与的长的和是10，则称点C是线段的“圆满分割点”．已知，P、Q分别是线段的“圆满分割点”，则的长是 ．
【答案】2或4
【分析】本题考查了两点间的距离，分两种情况讨论是解题的关键．根据线段的“圆满分割点”的定义进行计算，即可解答．
【解析】解：∵，P是线段的“圆满分割点”，
∴或
∵Q线段的“圆满分割点”，
∴，
∴或，
综上所述：的长是2或4，
故答案为：2或4．
18．如图，已知，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作次，则 ．
【答案】
【分析】本题考查两点间的距离，根据线段中点的定义得出是解题关键．根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果．
【解析】解：∵线段，线段和的中点，，
∴，
∵线段和的中点，；
∴
发现规律：，
∴．
故答案为：．
三、解答题
19．已知线段a、，且（如图），画一条线段，使它等于．（不写画法或作法，保留画图或作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】作射线，在射线上截取，在线段上截取，则线段，即可．
【解析】解：如图，作射线，在射线上截取，在线段上截取，则线段，
线段即为所求．
【点睛】本题考查了作线段，线段的和差，数形结合是解题的关键．
20．根据所示图形填空，理解截取、顺次截取的意义，熟练掌握基本画图语句．
已知线段a、b，画出一条线段，使它等于a+b．
在射线OP上顺次截取（ ）=a，（ ）=b，线段（ ）就是所要画的线段．
【答案】OA，AB，OB
【分析】根据作图步骤结合图形填空即可．
【解析】如图所示：
∵作图的步骤：在射线OP上顺次截取OA=，AB=b
∴线段OB=
∴线段OB就是所要画的线段
故答案为：OA，AB，OB．
【点睛】本题考查线段求和的作图的步骤及术语，解题关键是理解截取、顺次截取的意义，熟练掌握基本画图语句，并结合题中给出图像作答．
21．如图，已知点C在线段AB上，AC＝6，点D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点．求DE的长．
请把下面的解题过程补充完整：
解：因为点D是线段AB的中点，
所以DB＝ ；
因为点E是线段BC的中点，
所以BE＝ ；
因为DE＝DB﹣BE，
所以DE＝ ﹣ ＝ ；
因为AC＝6，
所以DE＝ ．
【答案】DB，BC，AB，BC，AC，3．
【分析】根据线段中点定义推出DB＝AB，BE＝BC，根据线段关系得到DE＝DB﹣BE，推出DE＝AB﹣BC＝AC，即可求出答案．
【解析】解：因为点D是线段AB的中点，
所以DB＝AB；
因为点E是线段BC的中点，
所以BE＝BC；
因为DE＝DB﹣BE，
所以DE＝AB﹣BC＝AC；
因为AC＝6，
所以DE＝3．
故答案为：AB，BC，AB，BC，AC，3．
【点睛】此题考查线段中点的定义，线段和差计算，掌握图形中各线段的位置关系是解题的关键．
22．已知点C在线段AB上，点D为的中点．
(1)如图1，若，，求AB的长．
(2)如图2，若点E为AB的中点，，求DE的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的有关计算以及图形中线段的和差关系，根据图形找准线段间的关系是解答本题的关键．
（1）根据线段中点定义以及图形中，计算即可；
（2）根据线段中点的定义以及图形中进行计算即可．
【解析】（1），，
D为中点，
（3）由（2）知：，
∵，
∴；
（4）由（2）知：．
24．如图，已知线段，，线段在线段上运动，E、F分别是、的中点．
(1)若，则__________；
(2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变请求出的长度，如果变化，请说明理由．
【答案】(1)17；
(2)的长度不变，．
【分析】本题考查了两点间距离，熟练掌握线段上两点间距离的求法，灵活应用中点的性质解题是关键．
（1）先求出线段，然后再利用线段中点的性质求出，，进而求解即可；
（2）利用线段中点的性质证明的长度不会发生改变．
【解析】（1）解：∵，，
∴，
∵E、F分别是、的中点，
∴，，
∴；
（2）的长度不变，
理由：∵，，
∴，
∵E、F分别是、的中点，
∴，，
∴，
∴ ．
25．数学课上，王老师在黑板上写出了一道题让大家回答，题目如下：
在直线上取A，，三点，使得，；如果是线段的中点，那么线段的长度是多少？
学生小明读完题后，稍微一想就画出了如图所示图形，并进行了解答：
因为，是线段的中点，
所以______，
因为____________，，
所以______cm．
(1)请你帮助小明将其解答过程在横线上补充完整．
(2)学生小惠看完小明的解答后，对其产生了质疑，她认为小明对此题的考虑不全面，忽略了一种情况．请你把小明忽略的那种情况画出图形，并模仿（1）中的格式进行解答．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了线段的和差和线段的中点的定义，解题关键是掌握各点之间的位置关系．
（1）先计算，再根据线段之间的和差关系进行加减即可；
（2）画出图形后利用即可求解．
【解析】（1）解：因为，是线段的中点，
所以，
因为，，
所以cm．
（2）解：如图所示：
因为，是线段的中点，
所以，
因为，，
所以cm．
学习目标
1、了解线段的和、差、倍，并学会有关计算；
2. 掌握线段的和、差、倍的作图；
3、知道线段的中点，并会作图和计算。