2025扬州高邮高一上学期11月期中考试数学含解析

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式、根式的意义列式求解即可.
【详解】令，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：B.
2. 若，则的化简结果是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可.
【详解】因为，则，
所以.
故选：C.
3. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两个集合为点集，通过联立方程组，求出双曲线与直线的交点坐标，可得.
【详解】由，解得或，
所以.
故选：C.
4. “”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】对充分性和必要性分别给出反例即可.
【详解】当时，有a=0>-1=b，c=0>-1=d，但；
当时，有ac=1>0=bd，但.
所以原条件不是充分的也不是必要的.
故选：D.
5. 关于的不等式的解集是，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由不等式解集与方程根的关系解得，再由对数运算可得结果.
【详解】根据题意可知和5是方程的两个实数根，
由韦达定理可得，解得；
所以.
故选：C
6. 若命题“”是假命题，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据命题的真假，可转化为不等式恒成立问题，分情况讨论可得参数范围.
【详解】命题“”是假命题，则有，
当时，恒成立，满足题意；
当时，有，解得，
综上可得的取值范围为.
故选：A.
7. 已知函数，则下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对每个选项分别考查是否满足要求即可.
【详解】不在上递增，故A错误；
和不奇函数，故BC错误；
而满足条件，故D正确；
故选：D.
8. 定义，设，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. 不等式的解集为
C. 当时，的最大值为D. 在上单调递减
【答案】B
【解析】
【分析】把表示为分段函数，作出函数图象，结合图象和函数解析式，对选项进行判断.
【详解】，解得或，
所以，函数图像如图所示，
，A选项正确；
不等式的解集为，B选项错误；
当时，在上单调递增，最大值为，C选项正确；
x∈0,1时，，在0,1上单调递减，D选项正确.
故选：B.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中，正确的有（ ）
A. 函数与函数是同一函数
B. 若函数，则
C. 二次函数的零点是，
D. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，根据同一函数的条件判断；B选项，用换元法求函数解析式即可；C选项，求时的值；选项D，图像开口向上，在上单调递增，则，求解可判断.
【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，故A不正确；
对于B，，则，且，所以，即，故B正确；
对于C，令，得解得或，故C正确；
对于D，的对称轴为，由在上单调递增，得，解得，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知，且，则（ ）
A. 的最小值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用基本不等式判断选项A；基本不等式结合乘“1”法判断选项B；利用二次函数的性质判断选项C；算式平方后利用基本不等式求积的最大值判断选项D.
【详解】A，已知，且，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，A选项成立；
B，，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，B选项错误；
C，由，有，则，
，
所以当，时，的最小值为，C选项正确；
D，，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为，D选项错误.
故选：AC.
11. 已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 为偶函数
B.
C 对，不等式总成立
D. 对，且，总有
【答案】ACD
【解析】
【分析】由是奇函数，是偶函数，且，求出和，利用偶函数的定义判断A选项；求函数值判断B选项；作差法比大小判断C选项；由不等式的性质判断D选项.
【详解】是上的奇函数，是上的偶函数，且，
则，有，
由，得，，
，为偶函数，A选项正确；
，B选项错误；
对，，
所以不等式总成立，C选项正确；
对，且，则，，
所以，
D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：利用函数奇偶性的特征，由，得，求出和的解析式，解决选项中的问题即可.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12. 已知，，则______（用，表示）．
【答案】
【解析】
【分析】利用指数与对数运算法则可得，再由换底公式化简可得结果.
【详解】由可得，
所以.
故答案为：
13. 已知偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为 _____.
【答案】
【解析】
【分析】根据单调性和奇偶性分析的符号性，进而分类讨论解不等式即可.
【详解】因为函数在区间上单调递减，且，
可知当时，；当时，；
又因为函数为偶函数，可知当时，；当时，；
若，则，此事无解，或，得，
所以不等式解集为.
故答案为：.
14. 规定：表示不超过的最大整数，例如：，.对于给定的，定义，则_________；若集合，则A中元素的个数是_______．
【答案】 ①. ## ②. 2
【解析】
【分析】根据题意直接代入运算即可得；整理可得，分和两种情况，结合的定义运算求解即可.
【详解】由题意可知：；
又因为，
当时，则，
可得，则或2；
当时，则，
可得，则；
综上所述：，即集合A中元素的个数是2.
故答案：；2.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）83 （2）10
【解析】
【分析】（1）运用指数幂的运算和根式的化简求值；
（2）运用对数的运算和换底公式化简求值.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
16. 已知集合，．
（1）当时，求，；
（2）请在①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并完成解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
当时，若“”是“”成立的____，试判断实数是否存在？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），或
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意求集合，进而根据集合间的运算求解；
（2）根据题意可得.若选①：可知集合A是集合的真子集，根据真子集关系列式求解即可；若选②：可知所以集合是集合A的真子集，根据真子集关系列式求解即可；若选③：可知集合A等于集合，根据集合相等列式求解即可.
小问1详解】
由题意可知：，
当时，，
所以；
又因为或，所以或.
【小问2详解】
当时，，
若选择条件①：可知集合A是集合的真子集，
则，且等号不能同时取到，解得，
所以实数的取值范围是；
若选择条件②：可知所以集合是集合A的真子集，
则有，且等号不能同时取到，解得，
所以实数的取值范围是；
若选择条件③：可知集合A等于集合，
则有，方程组无解，
所以不存在满足条件的实数.
17. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为万元，每生产万件需另投入流动成本万元，其中与之间的关系为：cx=13x2+2x,08,x∈N*，且函数的图象过点.每件产品售价为元，假设小王生产的商品当年全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）；
（2）当年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大年利润是多少？
【答案】（1）Lx=−13x2+4x−2,08,x∈N*
（2）万件，最大利润为万元
【解析】
【分析】（1）将点代入给定的函数解析式求出c，结合给定的函数模型即可求解；
（2）当时，取得最大值10万元；当时，结合基本不等式计算即可求解.
【小问1详解】
依题意得：当时，，
则，所以，
因为每件商品售价为元，则万件商品销售收入为万元，
依题意得：当时，
，
当时，
，
所以L(x)=−13x2+4x−2,08,x∈N*.
【小问2详解】
当时，
所以当时，取最大值10万元；
当时，.
当且仅当即时，取最大值14万元
因为，所以当时，取最大值14万元，
所以当年产量为万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为万元．
18. 已知函数为上的偶函数．
（1）求；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）增函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）函数为上的偶函数，则有，得，由，得；
（2）定义法证明函数单调性；
（3）由，利用函数奇偶性和单调性解不等式.
【小问1详解】
函数为上的偶函数，则有，
解得，所以，
由为上的偶函数，则，即，得，
当时，，故符合题意，
所以
【小问2详解】
是上的增函数，证明如下：
由（1）知当时，，
任取，
，
因为，所以，，x12+4>0，x22+4>0，
则，即，则，
所以是上的增函数.
【小问3详解】
令，即，
当时，，解得或，
当时，，解得或，
又，则，
由，即可转化为，
因为是上的偶函数，即求f1−2m>f(1)，
由（2）知是上的增函数，则−2≤1−2m≤21−2m>1，
解得或，
故实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：
不等式，先通过函数解析式解得，问题转化为，是上的偶函数，又转化为f1−2m>f(1)，再由是上的增函数，得−2≤1−2m≤21−2m>1.
19. 已知二次函数满足，，且在上的最小值为.
（1）求的解析式；
（2）求在上的最小值；
（3）设，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）依题意利用待定系数法解方程即可得出函数解析式；
（2）根据二次函数性质分类讨论求得函数函数在区间上的单调性，可得的表达式；
（3）易知，将不等式恒成立转化为，再利用函数单调性计算可得.
【小问1详解】
由可知关于对称，且在上的最小值为；
故可设，
由可得，；
所以函数的解析式为；
【小问2详解】
由（1）可知
①当时，，
此时在区间上单调递减，可得，
②当时，，
此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，可得，
③当时，
此时在区间上单调递增，；
综上可得；
【小问3详解】
由题知，当时，；
即求对任意，存在，使得，
令，当时，
即对于，使得恒成立，
也即对于，使得恒成立，
可得，
令，所以，
因为在区间上单调递增，所以当时，；
因此可得.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将双变量不等式恒成立问题转化为求函数最小值问题，再利用换元法求得函数单调性即可得出结论.