2024-2025学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期中数学试卷（含详解）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期中数学试卷（含详解），共18页。

A．2x2+4＝0B．﹣2x+4＝0
C．D．x2+2y2＝0
2．（2分）下列解方程2x2﹣4x＝﹣1的步骤中，依据是“平方根的意义”的是（ ）
A．第一步：两边都除以2，得
B．第二步：配方，得，即
C．第三步：开平方，得
D．第四步：移项，得，即，
3．（2分）已知一组数据1，2，3，4，5的平均数是，方差是，另一组数据2，3，4，5，6的平均数是，方差是，则下列说法正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
4．（2分）已知方程2x2+5x﹣2＝0有两个不相等的实数根m，n，则下列方程中，两个根分别是﹣m，﹣n的是（ ）
A．2x2+5x﹣2＝0B．2x2﹣5x+2＝0
C．2x2+5x+2＝0D．2x2﹣5x﹣2＝0
5．（2分）如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则⊙O的半径是（ ）
A．1.5B．3C．4D．6
6．（2分）如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AD，EH，AE，DH，AE与DH交于点O．下列结论：①BC2+EH2＝AE2；②；③∠AOD＝135°；④S八边形ABCDEFGH＝4S四边形ABCD，其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卷
7．（2分）方程x2＝4的根是 ．
8．（2分）数据3，0，﹣2，﹣1，4的极差是 ．
9．（2分）⊙O的半径是5cm，同一平面内，若点P到点O的距离是6cm，则点P在⊙O .（填“内”“外”或“上”）
10．（2分）超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如表：
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 分．
11．（2分）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若为100°，AC∥OB，则∠A的度数为 °．
12．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切，切点分别为A，B，点C在AB上，过点C的切线分别交PA，PB于点D，E．若PA＝10，则△PDE的周长为 ．
13．（2分）如图，△ABC是一个圆锥的主视图，若AB＝AC＝5，BC＝6，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 °．
14．（2分）如图，以正方形ABCD的顶点C为圆心，BC长为半径画弧BmD，再以边CD为直径画弧CnD，则弧BmD的长 弧CnD的长．（填“＞”“＜”或“＝”）
15．（2分）如图，矩形ABCD（AB＞BC）绕点C顺时针旋转90°得到矩形EFCG，P是线段DF上一点，若△APE为直角三角形，则满足条件的点P的个数是 ．
16．（2分）已知代数式ax2+2ax+c（a，c是常数）中，x与该代数式的部分对应值如下表：
根据表中数据，可知关于x的方程ax2+2ax+c＝0的一个根约为 ，另一个根约为 ．（都精确到0.1）
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答
17．（6分）解方程：x2﹣4x＝2．
18．（6分）解方程2x（x﹣3）﹣（3﹣x）＝0．
19．（8分）已知，y2＝2﹣x，求当x为何值时，y1与y2互为相反数．
20．（8分）如图是南京市2023年2024年8月上旬日最高气温的折线统计图．阅读统计图并回答以下问题．
（1）根据统计图中的信息，填写下表：
南京市2023年、2024年8月上甸日最高气温的统计表
（2）结合统计图、统计表中的信息，从两个不同的角度比较南京市2023年、2024年8月上旬的日最高气温．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB，垂足为D．已知AD＝2，BD＝4．设CD长为x．
（1）根据勾股定理，得AC2＝ ，BC2＝ .（都用含x的代数式表示）
（2）求x的值．
22．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，过点C作射线CD，使∠ACD＝∠ABC．求证：CD与⊙O相切．
23．（8分）如图，AB，CD是一个圆的两条弦，它们的延长线相交于点P，且PB＝PD．
（1）用直尺和圆规作出该圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证PA＝PC．
24．（8分）某商店销售一批数学实验用具，零售价每件240元．如果一次购买超过10件，那么每多购1件，购买的所有实验用具的单价均降低6元，但单价不能低于150元．小明和几位同学购买这种实验用具支付了3600元，他们共买了多少件？
25．（8分）某同学在证明命题“在同一个圆中，两条平行的弦所夹的弧相等”时，画出了图，并写出了如下证明过程：
（1）数学老师认为该证法有问题，请指出问题；
（2）完善该命题的证明．
26．（8分）一元二次方程的根有3种情况，分别是有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根以及没有实数根．基于上述认识，我们继续探索“M•N＝0“型的方程（M，N都是只含x的整式）的根的情况．
（1）当M＝x2+2x﹣3，N＝x﹣1时，该类型方程的根的情况是 ．
A．有三个实数根，它们各不相等
B．有三个实数根，有且只有两个根相等
C．有三个实数根，它们都相等
D．没有实数，
（2）下列“M•N＝0“型的方程：
①（x2﹣2x+1）（2x2﹣4x+2）＝0；②（x2﹣4x+4）（x2﹣6x+9）＝0；
③（x2+4x）（x2﹣4x）＝0；④（x2+3x+2）（x2+8x+15）＝0；
⑤（x2﹣36）（x2﹣12x+36）＝0．
至少有两个相等的实数根的方程是 （填序号）．
（3）当M＝x2+3x+c，N＝x2﹣3x+c（c是常数）时，请写出该类型方程的根的情况及对应的c的取值范围．
27．（12分）图（1）是一把“U形”尺，图（2）是该尺内侧的示意图，已知边AB⊥BC，边CD⊥BC，AB＝CD＝6cm，BC＝4cm．
算一算
将该尺摆放在．一些圆上，测量并计算圆的半径r．
（1）如图（3），点A，B，C，D恰好都在圆上，则r＝ cm．
（2）如图（4），该尺的AB边与圆相切于点P，且点P在该尺上的读数为1cm，点D在圆上，则r＝ cm．
（3）如图（5），该尺的AB边与圆有两个公共点P，Q，它们在该尺上的读数分别为5cm，1cm，CD边与圆也有两个公共点，其中一个公共点R在该尺上的读数为2cm，求r的值．
想一想
（4）若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），一定可以通过测量并计算出该圆的半径r吗？如果可以，说明理由；如果不一定可以，请直接写出可计算出的r的最小值和最大值．
2024-2025学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个
1．【解答】解：A．方程2x2+4＝0是一元二次方程，选项A符合题意；
B．∵方程﹣2x+4＝0未知数的最高次数为1，
∴方程﹣2x+4＝0不是一元二次方程，选项B不符合题意；
C．∵方程﹣x+2＝0不是整式方程，
∴方程﹣x+2＝0不是一元二次方程，选项C不符合题意；
D．∵方程x2+2y2＝0含有2个未知数，
∴方程x2+2y2＝0不是一元二次方程，选项D不符合题意．
故选：A．
2．【解答】解：根据“平方根的意义”的步骤是选项C．
故选：C．
3．【解答】解：∵＝＝3，
＝＝4，
＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2，
s＝[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝2，
∴≠，s＝．
故选：B．
4．【解答】解：∵方程2x2+5x﹣2＝0有两个不相等的实数根m，n，
∴m+n＝﹣，mn＝﹣1，
∴﹣m﹣n＝，（﹣m）（﹣n）＝mn＝﹣1，
∴方程2x2﹣5x﹣2＝0两个根分别是﹣m，﹣n．
故选：D．
5．【解答】解：⊙O是四边形ABCD的内切圆，设切点分别为：F，G，M，E，
连接FO，OA，OG，OC，OM，OB，OE，OD，⊙O的半径为r，
∴FO＝OG＝OM＝OE＝r，
∴四边形ABCD的面积＝EO•ADOMDC+GO•BC+FO•AB
＝（AD+AB+BC+DC）r
＝×24r
＝36，
解得：EO＝3．
故⊙O的半径为3．
故选：B．
6．【解答】解：作正八边形ABCDEFGH的外接圆，
∵＝，且＝3，＝3，
∴＝，
∴AD＝EH，
∵AH＝ED，
∴四边形ADEH是平行四边形，
∴OA＝OE，
∴点A与点E关于点O对称，
∴O为正八边形ABCDEFGH的中心，即正八边形ABCDEFGH的外接圆的圆心，
∴AE、DH都是⊙O的直径，
∴∠DAE＝∠DAH＝90°，
∴DE2+AD2＝AE2，
∵DE＝BC，AD＝EH，
∴BC2+EH2＝AE2，
故①正确；
∴在AD上截取AM＝AH，连接MH，则MH＝＝AH，∠AMH＝∠AHM＝45°，
∵∠AOH＝×360°＝45°，
∴∠ADH＝∠AOH＝22.5°，
∴∠MHD＝∠AMH﹣∠ADH＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∴∠MHD＝∠ADH，
∴MD＝MH＝AH，
∴AD＝AM+MD＝AH+AH，
∴＝＝1+≠2+，
故②错误；
∵∠AOH＝45°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOH＝180°﹣45°＝135°，
故③正确；
连接OC，作CI⊥AD于点I，则∠CID＝90°，
∵∠AOC＝2××360°＝90°，
∴∠ADC＝∠AOC＝45°，
∴∠BCD＝×（8﹣2）×180°＝135°，
∴∠ADC+∠BCD＝45°+135°＝180°，
∴BC∥LI，
设BC＝CD＝AH＝AM＝m，则MD＝m，
∴AD＝m+m，
∵∠ICD＝∠IDC＝45°，
∴IC＝ID，
∵CD＝＝IC＝m，
∴IC＝m，
∴S四边形ABCD＝×（m+m+m）×m＝m2，
同理S四边形EFGH＝m2，
∵四边形ADEH是矩形，
∴S四边形ADEH＝m（m+m）＝（1+）m2，
∴S八边形ABCDEFGH＝2×m2+（1+）m2＝4×m2，
∴S八边形ABCDEFGH＝4S四边形ABCD，
故④正确，
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卷
7．【解答】解：x＝±
∴x＝±2
8．【解答】解：数据3，0，﹣2，﹣1，4的最大数据是4，最小数据是﹣2，
则极差为：4﹣（﹣2）＝4+2＝6，
故答案为：6．
9．【解答】解⊙O的半径为5cm，
∵OP＝6cm＞5cm，
∴点P在⊙O外．
故答案为：外．
10．【解答】解：该应聘者的总成绩是：72×+70×+90×＝75（分）．
故答案为：75．
11．【解答】解：如图，连接OA．
设∠A＝x°，则∠BOC＝2∠A＝2x°，
∵AC∥OB，
∴∠C＝∠BOC＝2x°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝2x°，
∴∠AOC＝180°﹣∠C﹣∠OAC＝180°﹣2x°﹣2x°＝180°﹣4x°，
∵为100°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝100°，
∴180﹣4x+2x＝100，
∴x＝40，
∴∠A＝40°．
故答案为：40．
12．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，
∴PB＝PA＝10，
∵过点C的切线分别交PA、PB于点D、E，
∴DA＝DC，EC＝EB，
∴△PDE的周长＝PD+PE+DC+EC＝PD+DA+PE+EB＝AP+PB＝2PA＝2×10＝20．
故答案为：20．
13．【解答】解：由题意得：圆锥的底面直径为6，
则圆锥的底面周长为6π，
根据底面周长等于扇形的弧长可得：6π＝，
解得：n＝216，
故答案为：216．
14．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
设BC＝CD＝r，
∴，
∵CD为直径，
∴，
∴弧BmD的长＝弧CnD的长，
故答案为：＝．
15．【解答】解：①当∠APE＝90°时，
设两个矩形的长是a，宽是b．连接AE，如图在△AEM中，
根据勾股定理可得：
AE2＝（a+b）2+（a﹣b）2＝2a2+2b2，
过AE的中点M作MN⊥DC于点N．则MN是梯形ADFE的中位线，
则MN＝（a+b）；
以AE为直径的圆，半径是，
（a+b）＝a+b≤，
而只有a＝b是等号才成立，
因而（a+b）＜，
即圆与直线DF相交，则直角顶点P的位置有两个．
故答案为：2．
16．【解答】解：设方程ax2+2ax+c＝0的两个根x1、x2，
∴x1+x2＝﹣＝2，
由表格可知x的值在﹣2.74～﹣2.73之间，代数式ax2+2ax+c的值由负到正，
∴关于x的方程ax2+2ax+c＝0的一个根约为﹣2.7，另一个根约为0.7．
故答案为：﹣2.7，0.7．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答
17．【解答】解：x2﹣4x＝2，
配方得：x2﹣4x+4＝2+4，
（x﹣2）2＝6，
开方得：x﹣2＝±，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣．
18．【解答】解：2x（x﹣3）﹣（3﹣x）＝0．
2x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或2x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣．
19．【解答】解：∵y1与y2互为相反数，，y2＝2﹣x，
∴x2﹣4+2﹣x＝0，
整理得，x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1，
即当x为2或﹣1时，y1与y2互为相反数．
20．【解答】解：（1）2023年8月上旬日最高气温出现次数最多的是32，34，35，故众数为32或34或35；
2024年8月上旬日最高气温从小到大排列，排在中间的两个数分别是39和39，故中位数为＝39；
故答案为：32或34或35，39；
（2）从平均数来看，2024年8月上旬日最高气温的平均值更高，
从方差来看，2024年8月上旬日最高气温方差小，温度变化较稳定．（答案不唯一）．
21．【解答】解：（1）根据勾股定理，得AC2＝AD2+CD2 ＝4+x2，BC2＝BD2+x2＝16+x2，
故答案为：4+x2，16+x2；
（2）∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴（2+4）2＝4+x2+16+x2，
解得x＝2（负值舍去）．
22．【解答】证明：如图，作直径CM，连接BM，
∴∠MBC＝90°，
∴∠M+∠BCM＝90°，
∵∠A＝∠M，
∴∠A+∠BCM＝90°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ACD+∠ACB+∠BCN＝180°，∠ACD＝∠ABC，
∴∠A＝∠BCN，
∴∠BCN+∠BCM＝90°，
即∠OCN＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD与⊙O相切．
23．【解答】（1）解：如图，分别作线段AC，CD的垂直平分线，相交于点O，
则点O即为所求．
（2）证明：由图可得，∠ABC＝∠ADC，
∴∠PBC＝∠PDA．
∵∠APD＝∠CPB，PB＝PD，
∴△ADP≌△CBP（ASA），
∴PA＝PC．
24．【解答】解：设小明和几位同学共买了x件，
∵240×10＝2400（元），2400＜3600，
∴x＞10，
根据题意得：[240﹣6（x﹣10）]x＝3600，
整理得：x2﹣50x+600＝0，
解得：x1＝20，x2＝30，
当x＝20时，240﹣6（x﹣10）＝180＞150，符合题意；
当x＝30时，240﹣6（x﹣10）＝120＜150，不符合题意，舍去．
答：他们共买了20件．
25．【解答】解：（1）这道题应分两种情况证明；
（2）分两种情况：①如图1，当AB、CD在圆心O的同一侧时，
过点O作OG⊥AB于点F，交CD于点E，交⊙O于点G，
∵OG⊥AB，
∴＝，
∵AB∥CD，
∴OG⊥CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝；
②如图2，当AB、CD在圆心O的两侧时，
过点O作HG⊥AB于点F，交CD于点E，交⊙O于点G、H，则HG是⊙O的直径，
∴＝，
∵HG⊥AB，
∴＝，
∵AB∥CD，
∴HG⊥CD，
∴＝，
∴﹣﹣＝﹣﹣，
∴＝，
综上所述，＝．
26．【解答】解：（1）∵M＝x2+2x﹣3，N＝x﹣1，
根据M•N＝0得：（x2+2x﹣3）（x﹣1）＝0，
（x+3）（x﹣1）2＝0，
x1＝﹣3，x2＝x3＝1，
∴该类型方程的根的情况是：有三个实数根，有且只有两个根相等，
故答案为：B；
（2）①（x2﹣2x+1）（2x2﹣4x+2）＝0，
2（x﹣1）4＝0，
∴x1＝x2＝x3＝x4＝1；
②（x2﹣4x+4）（x2﹣6x+9）＝0，
（x﹣2）2（x﹣3）2＝0，
∴x1＝x2＝2，x3＝x4＝3；
③（x2+4x）（x2﹣4x）＝0，
x（x+4）（x﹣4）＝0，
x1＝x2＝0，x3＝﹣4，x4＝﹣4；
④（x2+3x+2）（x2+8x+15）＝0，
（x+1）（x+2）（x+3）（x+5）＝0，
x1＝﹣1，x2＝﹣2，x3＝﹣3，x4＝﹣5；
⑤（x2﹣36）（x2﹣12x+36）＝0，
（x+6）（x﹣6）（x﹣6）2＝0，
x1＝﹣6，x2＝x3＝x4＝6，
∴至少有两个相等的实数根的方程是①②③⑤；
故答案为：①②③⑤；
（3）∵M•N＝0，M＝x2+3x+c，N＝x2﹣3x+c（c是常数），
∴（x2+3x+c）（x2﹣3x+c）＝0，
∴x2+3x+c＝0或x2﹣3x+c＝0，
Δ＝9﹣4c，
当Δ＞0，9﹣4c＞0，即c＜时，该类型方程有4个实数根，它们各不相等；
当Δ＝0，9﹣4c＝0，即c＝时，该类型方程有4个实数根，有两对相等的实根；
当Δ＜0，9﹣4c＜0，即c＞时，该类型方程没有实数根．
27．【解答】解：（1）连接AC，由题意可知，AB＝CD＝6cm，BC＝4cm，AB⊥BC，
则∠ABC＝90°，
∴AC为直径，
由勾股定理可知：，
∴半径，
故答案为：；
（2）连接圆心O与切点P，交CD于Q，连接OD，则OP⊥AB，
由题意可知，BP＝1cm，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴四边形BCQP为矩形，
∴PQ＝BC＝4cm，CQ＝PB＝lcm，
则OQ＝OP﹣PQ＝（r﹣4）cm，DQ＝CD﹣CQ＝6﹣1＝5cm，
在Rt△DOQ中，OD2＝OQ2+DQ2，即r2＝（r﹣4）2+52，
解得：，
故答案为：；
（3）如图，过点O作OM⊥AB于M，延长MO交CD于N，连接OQ，OR，
∴∠OMQ＝90°，，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，OM⊥AB，
∴四边形BCNM为矩形，则∠ONR＝90°，BM＝CN，MN＝BC＝4cm，
由题意可知，PB＝5cm，BQ＝1cm，CR＝2cm，
∴PQ＝PB﹣BQ＝4cm，则，
∴BM＝CN＝MQ+BQ＝3cm，则NR＝CN﹣CR＝1cm，
设OM＝x cm，则ON＝（4﹣x）cm，
在Rt△MOQ中，OQ2＝r2＝OM2+MQ2＝x2+22，
在Rt△NOR中，OR2＝r2＝ON2+NR2＝（4﹣x）2+12，
则x2+22＝（4﹣x）2+1，解得：，
∴；
（4）如图，当圆的直径小于BC的长度时，此时没有任何读数，则无法测量并计算出圆的半径r，
如图，当圆与AB和CD其中一边相交时，也相当于只测得一条弦的长度，也无法得到圆的半径r，
∴若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），不一定可以通过测量并计算出该圆的半径r，
要能够测出圆的半径，则圆与AB、CD都要有交点，
如图，当⊙O与AB、CD均相切时，直径等于BC的长度4cm，
即：⊙O的半径r的最小值为2cm，
假设圆心O在CD右侧，要的能测出圆的半径，⊙O至少要与AB相切，与CD有交点，
令⊙O与AB相切于点P，与CD交于边界点D，如图，
由题意可知，QD≤6，类比（2）可知，PQ＝4cm，则OQ＝（r﹣4）cm，
由勾股定理可得：QD2＝OD2﹣OQ2，
∵r2﹣（r﹣4）2≤36，整理得8r≤52，
∴，则⊙O的半径r的最大值为，
综上，半径的最小值为2cm，最大值为．
测试项目
创新能力
综合知识
语言表达
测试成绩/分
72
70
90
x
﹣2.76
﹣2.75
﹣2.74
﹣2.73
﹣2.72
ax2+2ax+c
﹣0.1952
﹣0.125
﹣0.0552
0.0142
0.0832
年份
平均数/℃
中位数/℃
众数/℃
方差/℃2
2023
33.6
34

1.44
2024
39.1

39
1.09
已知：如图，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD．求证AC＝BD．
证明：如图，连接OA，OB，OC，OD，过点O作EF∥AB，交⊙O于点E，F．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠OCD＝∠COE，∠EOA＝∠OAB．
∵∠COA＝∠COE+∠AOE，
∴∠COA＝∠OCD+∠OAB．
同理，∠DOB＝∠ODC+∠OBA．
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
同理，∠OCD＝∠ODC．
∴∠COA＝∠DOB．
∴．
（该同学画的图）