2024-2025学年浙江省杭州市大关中学教育集团八年级（上）期中数学试卷（含详解）

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A．B．C．D．
2．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cmB．4cm，6cm，12cm
C．3cm，3cm，6cmD．8cm，8cm，15cm
3．（3分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．全等三角形的对应边相等
C．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
D．对顶角相等
4．（3分）如果a＞b，下列各式中不正确的是（ ）
A．a﹣4＞b﹣4B．﹣2a＜﹣2bC．﹣1+a＜﹣1+bD．
5．（3分）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．90°B．120°C．135°D．150°
6．（3分）如图，在数轴上找出表示3的点A，则OA＝3，过点A作直线l垂直OA，在l上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C．其中点C表示的实数是（ ）
A．B．4C．D．
7．（3分）在同一平面直角坐标系内，已知点A（4，2），B（﹣2，2），下列结论正确的是（ ）
A．线段AB＝2
B．直线AB∥x轴
C．点A与点B关于y轴对称
D．线段AB的中点坐标为（2，2）
8．（3分）如图，已知点D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，若△ABC的面积为20，则四边形ADEF的面积为（ ）
A．10B．9C．8.5D．7.5
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，b+c＝12，则d为（ ）
A．8B．10C．12D．14
10．（3分）如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，则有以下五个结论：
①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．
其中正确的有（ ）
A．①③⑤B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤
二.填空题（共6小题，每空3分，共18分）
11．（3分）等边三角形是轴对称图形，它有 条对称轴．
12．（3分）已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则第三边长是 ．
13．（3分）将点P（﹣3，﹣1）向左平移2个单位，向下平移3个单位，后得到点Q（x，y），则平移后点Q的坐标 ．
14．（3分）关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则a的取值范围为 ．
15．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E、F两动点分别在线段AD、AB上运动，若∠BAC＝40°，则当BE+EF取得最小值时，∠BEF的度数为 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点，B（0，2），则点B2023的坐标为 ．
三.解答题（共8小题）
17．（6分）解下列不等式（组），并在数轴上表示出来：
（1）2x﹣11≥4（x﹣3）+3；
（2）．
18．（6分）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
（1）请以x轴为对称轴，画出与△ABC对称的△A1B1C1；
（2）点P（a+1，b﹣1）与点C关于y轴对称，则a＝ ，b＝ ．
（3）如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是 ．
19．（8分）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF＝AC，DF＝DC．
（1）求证：△BDF≌△ADC；
（2）已知AF＝6，BC＝12，求AD的长．
20．（8分）已知点P（2m﹣6，m+1），试分别根据下列条件直接写出点P的坐标．
（1）点P在y轴上；
（2）点P的纵坐标比横坐标大5；
（3）点P到x轴的距离与到y轴距离相等．
21．（10分）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝8，求△ADE的周长．
（2）若∠BAC＝126°，求∠DAE的度数．
22．（10分）今年的巴黎奥运会引发全民乒乓球热．某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元．
（1）求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元；
（2）若该体育用品店刚好用了购进这两种乒乓球共100个，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的三分之一，且甲种乒乓球数量不多于28个，那么该文具店共有哪几种进货方案？
23．（12分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E．
（1）如图1，若AB＝AC，求证：△EBC≌△DCB；
（2）如图2，点F为BC边上的中点，连接DF、EF、DE，试判断△DEF的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若∠EBC+∠DCB＝60°，DE＝6，求△DEF的周长．
24．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝13，BA＝5，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C﹣A﹣B运动．设点P的运动时间为t（t＞0）．
（1）BC＝ ．
（2）求斜边AC上的高线长．
（3）①当P在AB上时，AP的长为 ，t的取值范围是 ．（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BCA的角平分线上，则t的值为 ．
（4）在整个运动过程中，直接写出△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值．
2024-2025学年浙江省杭州市大关中学教育集团八年级（上）期中数学试卷
参考答案
一.选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：A．
2．【解答】解：根据三角形三边关系得，
A．2cm+3cm＝5cm，不能组成三角形，故本选项错误，不符合题意；
B．4cm+6cm＜12cm，不能组成三角形，故本选项错误，不符合题意；
C．3cm+3cm＝6cm，不能组成三角形，故本选项错误，不符合题意；
D．8cm+8cm＞15cm，能组成三角形，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
3．【解答】解：A、直角三角形的两个锐角互余，正确，是真命题，不符合题意；
B、全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、两边及夹角分别相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，符合题意；
D、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意．
故选：C．
4．【解答】解：A．∵a＞b，
∴两边同时减去4，不等号方向不变，正确，故选项A不符合题意；
B．∵a＞b，
∴两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，正确，故选项B不符合题意；
C．∵a＞b，
∴两边同时减去1，不等号方向不变，错误，故选项C符合题意；
D．∵a＞b，
∴两边同时除以3，不等号方向不变，正确，故选项D不符合题意．
故选：C．
5．【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠1＝∠4（或观察图形得到∠1＝∠4），
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
又∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故选：C．
6．【解答】解：由题意得：，
故选：D．
7．【解答】解：A．AB＝4﹣（﹣2）＝6，故选项A错误，不符合题意；
B．∵点A（4，2），B（﹣2，2），纵坐标相同，横坐标不同，
∴直线AB∥x轴，故选项B正确，符合题意；
C．点A关于y轴的对称点坐标为（﹣4，2），故选项C错误，不符合题意；
D．线段AB的中点坐标为（1，2），故选项D错误，不符合题意．
故选：B．
8．【解答】解：∵点D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴S四边形ADEF＝S△AFD+S△DEF＝7.5，
故选：D．
9．【解答】解：由题意可知：a＝AB2，b＝BC2，c＝CD2，d＝AD2．
如图，连接BD，
在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，
即a+d＝b+c，
∵a＝2，b+c＝12，
d＝12﹣2＝10．
故选：B．
10．【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD≌△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∴结论①正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（AAS），
∴CP＝CQ，
又∵∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，
∴结论②正确．
在△ACP和△BCQ中，
∴△ACP≌△BCQ（AAS），
∴AP＝BQ，
∴结论③正确．
∵DC＝DE，∠PCQ＝∠CPQ＝60°，
∴∠DPC＞60°，
∴DP≠DC，
又∵DC＝DE，
∴DP≠DE，
∴结论④不正确．
∵∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，
∴结论⑤正确．
综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤．
故选：C．
二.填空题（共6小题，每空3分，共18分）
11．【解答】解：等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，就是三条角平分线．
故答案为：3．
12．【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为3，底边长为6时，
∵3+3＝6，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为6，底边长为3时，
∵3+6＝9＞6，
∴能组成三角形；
综上所述：第三边长是6，
故答案为：6．
13．【解答】解：由题知，
将点P（﹣3，﹣1）向左平移2个单位后，所得点的坐标为（﹣5，﹣1），
再将所得点向下平移3个单位后，所得点的坐标为（﹣5，﹣4），
即点Q的坐标为（﹣5，﹣4）．
故答案为：（﹣5，﹣4）．
14．【解答】解：由不等式组可得：x＜2，x＞a，
原不等式组仅有两个整数解，
∴a的取值范围为：﹣1≤a＜0，
故答案为：﹣1≤a＜0．
15．【解答】解：如图所示，连接CE，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，∠ADC＝∠ADB＝90°，
又∵DE＝DE，
∴△CDE≌△BDE（SAS），
∴CE＝BE，
∴BE+EF＝CE+EF，
∴当C、E、F三点共线且CF⊥AB时CE+EF最小，即此时BE+EF最小，
∵∠BAC＝40°，
∴∠BAD＝∠BAC＝20°，
同理可得CE′＝BE′，则∠CBE′＝∠BCE′＝20°，
∴∠BE′F′＝∠CBE′+∠BCE′＝40°，
∴当BE+EF取得最小值时，∠BEF的度数为40°，
故答案为：40°．
16．【解答】解：由图象可知点B2023在x轴上，
∵，OB＝2，∠AOB＝90°，
∴，
∴B1（4，0），B3（10，0），B5（16，0），…，
∴OB1＝4，B1B3＝B3B5＝6，
∵（2023﹣1）÷2＝1011，
∴1011×6+4＝6070，
∴B2023（6070，0）．
故答案为：（6070，0）．
三.解答题（共8小题）
17．【解答】解：（1）去括号，得：2x﹣11≥4x﹣12+3，
移项，得：2x﹣4x≥﹣12+3+11，
合并同类项，得：﹣2x≥2，
系数化为1，得：x≤﹣1，
在数轴上表示为：
；
（2），
解①得：x＞1，
解②得：x＜5，
将解集在数轴上表示为：
∴原不等式组的解集为1＜x＜5．
18．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）∵点P（a+1，b﹣1）与点C关于y轴对称，
∴，
解得：．故答案为：﹣5，0．（3）如图，△ABD与△ABC全等，则点D的坐标是（2，﹣1）或（2，﹣7）或（4，﹣7），
故答案为：（2，﹣1）或（2，﹣7）或（4，﹣7）．
19．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）；
（2）解：∵Rt△BDF≌Rt△ADC，
∴BD＝AD，
∵BC＝BD+CD＝12，
∴AD+CD＝12，
∴AF+DF+DC＝12，
∵DF＝CD，
∴AF+2DF＝12，
∵AF＝6，
∵DF＝3，
∴AD＝AF+DF＝9．
20．【解答】解：（1）∵点P在y轴上，
∴2m﹣6＝0，
∴m＝3，
∴m+1＝4，
∴P（0，4）；
（2）∵点P的纵坐标比横坐标大5，
∴m+1﹣（2m﹣6）＝5，
解得m＝2，
∴2m﹣6＝﹣2，m+1＝3，
∴点P的坐标为（﹣2，3）；
（3）∵点P到x轴的距离与到y轴距离相等，
∴|2m﹣6|＝|m+1|，
∴2m﹣6＝m+1或2m﹣6＝﹣m﹣1，
解得m＝7或m＝，
当m＝7时，2m﹣6＝8，m+1＝8，即点P的坐标为（8，8）；
当m＝时，2m﹣6＝﹣，m+1＝，即点P的坐标为（﹣，）．
故点P的坐标为（8，8）或（﹣，）．
21．【解答】解：（1）∵边AB的垂直平分线交BC于D，
∴AD＝BD，
∵边AC的垂直平分线交BC于E，
∴AE＝EC，
∴△ADE的周长＝ AD+DE+AE＝ BD+DE+EC＝BC＝8；
（2）∵AD＝BD，AE＝EC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∴∠B+∠C＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC＝180°﹣126°＝54°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝126°﹣54°＝72°．
22．【解答】解：（1）设购进每个甲种乒乓球需要x元，购进每个乙种乒乓球需要y元，
依题意，得：，
解得：．
答：购进每个甲种乒乓球需要5元，每个乙种乒乓球需要10元．
（2）设该文具店购进a个甲种乒乓球，则购进（100﹣a）个乙种乒乓球，
依题意，得：，
解得：25≤a≤28，
又∵a为正整数，
∴a可以取25，26，27，28；该文具店共有4种进货方案．
方案1：购进25个甲种乒乓球，75个乙种乒乓球；
方案2：购进26个甲种乒乓球，74个乙种乒乓球；
方案3：购进27个甲种乒乓球，73个乙种乒乓球；
方案4：购进28个甲种乒乓球，72个乙种乒乓球．
23．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ECB＝∠DBC，
在△EBC与△DCB中，
，
∴△EBC≌△DCB（AAS）；
（2）解：△DEF是等腰三角形；理由如下：
∵点F为BC边上的中点，
∴在Rt△EBC与Rt△DCB中，DF＝BC，EF＝BC，
∴BF＝FC，
∴△DEF是等腰三角形；
（3）解：如图2，
∵DF＝BC，EF＝BC，
∴∠1＝∠4，∠3＝∠2，
∵∠EBC+∠DCB＝60°，即∠3+∠4＝60°，
∴∠1+∠2＝60°，
∵∠BGF＝∠2+∠5，∠DGB＝∠3+∠4，∠DGF＝∠DGB+∠BGF＝（∠3+∠4）+（∠2+∠5），
在△DGF中，∠1+∠6+∠DGF＝∠1+∠6+∠2+∠5+∠3+∠4＝180°，
∴∠5+∠6＝60°，
即∠DFE＝60°，
∵BF＝FC，
∴△DEF是等边三角形，
∵DE＝6，
∴△DEF的周长是6×3＝18．
24．【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝5，
∴；
故答案为：12；
（2）如图1所示，过点B作BD⊥AC于点D，
∵，
∴，
∴斜边AC上的高线长为；
（3）①∵点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C﹣A﹣B运动，
∴AP＝3t﹣AC＝3t﹣13，
∴，即，
∴；
故答案为：3t﹣13，；
②点P在∠BCA的角平分线上时，过点P作PE⊥AC于E，
∵CP平分∠BCA，∠B＝90°，
∴PB＝PE，
又∵PC＝PC，
∴Rt△BCP≌Rt△ECP（HL），
∴EC＝BC＝12，则AE＝AC﹣CE＝13﹣12＝1，
由（2）知AP＝3t﹣13，
∴BP＝AB﹣AP＝5﹣（3t﹣13）＝18﹣3t，
∴PE＝18﹣3t，
在Rt△AEP中，AP2＝AE2+EP2，即（3t﹣13）2＝12+（18﹣3t）2，
解得，
∴点P在∠BAC的角平分线上时，；
故答案为：；
（4）△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时，有两种情况：
当AB＝AP＝5时，
则CP＝AC﹣AP＝13﹣5＝8，
∴；
当AB＝BP＝5时，过点B作BD⊥AC于点D，
由（2）知，
∴，
∵AB＝BP，BD⊥AC，
∴，
∴，
∴，
故△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值为或．