2024-2025学年浙江省杭州市文华、崇德、紫金港三校联考八年级（上）期中数学试卷（含详解）

这是一份2024-2025学年浙江省杭州市文华、崇德、紫金港三校联考八年级（上）期中数学试卷（含详解），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列“表情”图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8B．5，6，10C．5，5，11D．5，6，11
3．（3分）若a＜b，则下列结论错误的是（ ）
A．a+1＜b+1B．2﹣a＜2﹣bC．3a＜3bD．＜
4．（3分）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．75°B．60°C．65°D．55°
5．（3分）若x+3＞0，则（ ）
A．x+1＜0B．x﹣3＜0C．D．﹣2x＜10
6．（3分）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．a：b：c＝6：8：10
C．∠C＝∠A﹣∠BD．b2＝a2﹣c2
7．（3分）对于命题“若|x|＞|y|，则x＞y”，下面四组关于x，y的值中，能说明它是假命题的是（ ）
A．x＝﹣1，y＝﹣2B．x＝3，y＝﹣2C．x＝2，y＝0D．x＝﹣3，y＝﹣2
8．（3分）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点D，使AD+BD＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，AC＝12，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，则线段BF的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2.8
10．（3分）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC，交DH于点P，若AH＝HE，且△CPG的面积为4，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．20B．30C．40D．50
二、填空题（每题3分）
11．（3分）用不等式表示“x的5倍不大于3”为： ．
12．（3分）在△ABC中，AB＝AC，外角∠ACD＝110°，则∠A＝ ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC的垂直平分线EF交AB于点D，连接CD，如果CD＝6，那么AB的长为 ．
14．（3分）一种荔枝的进价是每千克12.6元，销售中估计有10%的荔枝正常损耗（包含剪枝），商家把售价至少定为每千克 元，才能避免亏本．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝ ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，．点D是线段AC中点，BF⊥AC，DE⊥AB，下列结论：①△AED≌△BFD．②△EFB为等边三角形．③．④．其中正确的是（填序号） ．
三、解答题（共72分）
17．（6分）解不等式：
（1）5x+3≤x﹣1；
（2）．
18．（6分）如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°．
（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加黑）；
（2）求证：△BCD是等腰三角形．
19．（8分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；
（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．
20．（8分）如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠AED＝∠ECB．
（1）求证：ED＝EC；
（2）若AD＝5，BC＝12，求△DEC的面积．
21．（10分）对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下a@b＝a﹣2b，例如5@3＝5﹣6＝﹣1，5@（﹣3）＝5﹣（﹣6）﹣11．
（1）填空：8@2＝ ；2@（﹣1）＝ ；
（2）若x@2＜1，求x的取值范围；
（3）若关于x的不等式3@（m﹣x）＜5恰有两个正整数解，求m的取值范围．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上．
（1）若∠ADE＝∠B，求证：
①∠BAD＝∠CDE；
②BD＝CE；
（2）若BD＝CE，∠BAC＝70°，求∠ADE的度数．
23．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．
（1）求证：△BED是等腰三角形；
（2）当∠BCD＝ °时，△BED是等边三角形；
（3）当∠ADE+∠ABE＝45°时，若BD＝5，取BD中点F，求EF的长．
24．（12分）在△ABC和△DEC中，AC＝BC，CD＝CE，且∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）如图1，连结AD，BE，判断AD和BE的关系，并说明理由；
（2）如图2，若点A在线段DE延长线上，，DE＝14，求线段AE的长度；
（3）如图3，若AB＝8，点D在边AB上运动，求△BDE周长的最小值．
2024-2025学年浙江省杭州市文华、崇德、紫金港三校联考八年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（共30分）
1．【解答】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
2．【解答】解：
A选项，3+4＝7＜8，两边之和小于第三边，故不能组成三角形
B选项，5+6＝11＞10，10﹣5＜6，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形
C选项，5+5＝10＜11，两边之和小于第三边，故不能组成三角形
D选项，5+6＝11，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形
故选：B．
3．【解答】解：A．∵a＜b，
∴a+1＜b+1，故本选项不符合题意；
B．∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴2﹣a＞2﹣b，故本选项符合题意；
C．∵a＜b，
∴3a＜3b，故本选项不符合题意；
D．∵a＜b，
∴，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．【解答】解：∠α＝30°+45°＝75°，
故选：A．
5．【解答】解：∵x+3＞0，∴x＞﹣3，
A．∵x＞﹣3，x+1＞﹣2，∴此选项的结论错误，故此选项不符合题意；
B．∵x＞﹣3，x﹣3＞﹣6，∴此选项的结论错误，故此选项不符合题意；
C．∵x+3＞0，∴x+3﹣3＞0﹣3，x＞﹣3，∴，∴此选项的结论错误，故此选项不符合题意；
D．∵x+3＞0，x+3﹣3＞0﹣3，x＞﹣3，﹣2x＜6，∴﹣2x＜10，∴此选项的结论正确，故此选项符合题意；
故选：D．
6．【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝，所以不是直角三角形，正确；
B、∵（6x）2+（8x）2＝（10x）2，∴是直角三角形，错误；
C、∵∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠C+∠B＝∠A，
∴∠A＝90°，是直角三角形，故本选项错误；
D、∵b2＝a2﹣c2，∴是直角三角形，错误；
故选：A．
7．【解答】解：∵x＝﹣3，y＝﹣2时，满足|x|＞|y|，
但是x＜y，
故选：D．
8．【解答】解：∵AD+BD＝BC，而DC+BD＝BC，
∴DA＝DC，
∴点D在线段AC的垂直平分线上，
即点D为线段AC的垂直平分线与BC的交点．
观察四个选项，D选项符合题意，
故选：D．
9．【解答】解：过F点作FH⊥AB于H点，如图，
由作图痕迹得AM平分∠BAC，
而FC⊥AC，FH⊥AB，
∴FH＝FC，
∵∠C＝90°，AB＝15，AC＝12，
∴BC＝＝9，
在Rt△AFH和Rt△AFC中，
，
∴Rt△AFH≌Rt△AFC（HL），
∴AH＝AC＝12，
∴BH＝AB﹣AH＝15﹣12＝3，
设BF＝x，则FC＝FH＝9﹣x，
在Rt△BHF中，32+（9﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
即BF的长为5．
故选：A．
10．【解答】解：根据题意得，AE＝CG，AE∥CG，
∴∠EAM＝∠GCP，
∵∠AEM＝∠CGP＝90°，
∴△AEM≌△CGP（ASA），
∴ME＝PG，
∵HG＝EF，
∴PH＝FM，
∵AH＝HE，PH∥EM，
∴AP＝PM，
∴PH＝EM，
∴PH＝，
∴PG＝HG＝FG＝CG，
∵△CPG的面积为4，
∴•CG＝CG2＝4，
∴CG＝2，
∴AE＝CG＝2，
∴BE＝EF＝，
∴AB＝＝，
∴正方形ABCD的面积为AB2＝30，
故选：B．
二、填空题（每题3分）
11．【解答】解：x的5倍表示为5x，
不大于3表示为5x≤3，
故答案为：5x≤3．
12．【解答】解：如图，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠ACD＝110°，
∴∠ACB＝∠ABC＝180°﹣110°＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：40°．
13．【解答】解：∵EF是边BC的垂直平分线，CD＝6，
∴BD＝CD＝6，
∴∠DCB＝∠B，
∵∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠ACD，
∴AD＝CD＝6，
∴AB＝AD+BD＝12，
故答案为：12．
14．【解答】解：设商家把售价定为每千克x元，
根据题意得：x（1﹣10%）≥12.6，
解得：x≥14，
即商家把售价至少定为每千克14元，才能避免亏本，
故答案为：14．
15．【解答】解：设EB′＝x，
∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
由折叠的性质可知，BE＝EB′＝x，AB′＝AB＝6，
则CB′＝AC﹣AB′＝4，EC＝BC﹣BE＝8﹣x，
由勾股定理得，x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴EB′＝3．
故答案为：3．
16．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，CB＝2，
∴AC＝＝＝4，
∵点D是线段AC的中点，
∴BD＝CD＝AD＝AC＝2＝CB，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠C＝∠BDC＝∠CBD＝60°，
∴∠A＝∠DBA＝30°，
∵BF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴AE＝BE，∠AED＝∠BFD＝90°，∠DBF＝∠CBF＝∠CBD＝30°，
在△AED和△BFD中，
，
∴△AED≌△BFD（AAS），
故①正确；
∴AE＝BF，
∴BE＝BF，
∵∠EBF＝∠DBA+∠DBF＝60°，
∴△EFB为等边三角形，
故②正确；
∵∠DBE＝∠DBF＝30°，BE＝BF，
∴BD⊥EF，
∴∠DGF＝90°，
∵∠BFD＝90°，∠BFE＝60°，
∴∠DFG＝∠BFD﹣∠BFE＝30°，
∵DF＝CF＝CD＝，
∴DG＝DF＝，
故③正确；
∵EF＝BE＝AE＝AB＝3，BD＝2，且BD⊥EF，
∴S四边形DFBE＝EF•BD＝×3×2＝3≠2，
故④错误，
故答案为：①②③．
三、解答题（共72分）
17．【解答】解：（1）5x+3≤x﹣1，
5x﹣x≤﹣1﹣3，
4x≤﹣4，
x≤﹣1；
（2），
2x﹣4＞6x，
2x﹣6x＞4，
﹣4x＞4，
x＜﹣1．
18．【解答】（1）解：如图，点D为所作；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∵DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形．
19．【解答】解：（1）∵∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝180°﹣40°＝140°，
∵∠B＝30°，
∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝70°，
∴∠E＝180°﹣70°﹣70°＝40°；
（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠B+∠E，
∴∠ACE＝∠B+∠E，
∵∠BAC＝∠ACE+∠E，
∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．
20．【解答】（1）证明：∵AB∥BC，∠A＝90°，
∴∠B＝180°﹣90°＝90°，
在△DAE与△EBC中，
，
∴△DAE≌△EBC（AAS），
∴DE＝EC；
（2）解：由（1）可知△DAE≌△EBC，∠BEC＝∠ADE，
∴∠AED+∠BEC＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴△DEC为等腰直角三角形；
又∵AD＝5，BC＝12，
∴AE＝BC＝12，
∴DE＝CE＝＝13，
∴△DEC的面积＝DE•CE＝．
21．【解答】解：（1）由题意得：8@2＝8﹣2×2
＝8﹣4
＝4；
2@（﹣1）＝ 2﹣2×（﹣1）
＝2+2
＝4；
故答案为：4；4；
（2）∵x@2＜1，
∴x﹣2×2＜1，
x﹣4＜1，
x＜5；
（3）3@（m﹣x）＜5，
3﹣2（m﹣x）＜5，
3﹣2m+2x＜5，
2x＜5﹣3+2m，
2x＜2+2m，
x＜1+m，
∵不等式3@（m﹣x）＜5恰有两个正整数解，
∴2＜1+m≤3，
解得：1＜m≤2．
22．【解答】（1）证明：①∵在△ABC中，∠BAD+∠B+∠ADB＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，
又∵∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
且∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE；
②由①得：∠BAD＝∠CDE，
在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；
（2）解：在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CDE，
又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，
∴∠ADE＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝∠B，
在△ABC中，∠BAC＝70°，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×110°＝55°，
∴∠ADE＝55°．
23．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC边的中点，
∴BE＝AC，DE＝AC，
∴BE＝DE，
∴△BED是等腰三角形；
（2）解：∵AE＝ED，
∴∠DAE＝∠EDA，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，
∵∠DAE+∠EDA＝∠DEC，
∠EAB+∠EBA＝∠BEC，
∴∠DAB＝∠DEB，
∵△BED是等边三角形，
∴∠DEB＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°．
故答案为：150；
（3）解：如图，取BD中点F，连接EF，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，
∴AE＝DE＝BE＝AC，
∴∠DAE＝∠ADE，∠EAB＝∠ABE，
∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，
∴∠DEB＝∠DEC+∠BEC＝2∠DAE+∠BAE＝2（∠DAE+∠BAE）＝90°，
∵DE＝BE，点F为BD的中点，
∴EF⊥BD，EF＝BD＝2.5，
∴EF的长为2.5．
24．【解答】解：（1）AD＝BE，AD⊥BE，理由如下：
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
又∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CBE＝∠CAD，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠CBE+∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠CAD+∠BAC＝90°，
∴AD⊥BE；
（2）如图2，过点C作CH⊥AD于H，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝25，
∴AC＝BC＝25，
∵CD＝CE，∠DCE＝90°，CH⊥DE，
∴CH＝EH＝DH＝7，
∴AH＝＝＝24，
∴AE＝AH﹣EH＝24﹣7＝17；
（3）由（1）可知：△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，
∵AB＝8，
∴△BDE周长＝BE+BD+DE＝BD+AD+DE＝AB+DE＝8+DC，
∴当CD有最小值时，△BDE有最小值，
∴当CD⊥AB时，CD有最小值为4，
∴△BDE周长的最小值为8+4．