2024-2025学年浙江省台州市初中名校发展共同体九年级（上）期中数学试卷（含详解）

这是一份2024-2025学年浙江省台州市初中名校发展共同体九年级（上）期中数学试卷（含详解），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如果零上9℃记作+9℃，那么零下4℃记作（ ）
A．﹣4℃B．+4℃C．﹣13℃D．+13℃
2．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来，所示四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约55000000km，将数字55000000用科学记数法表示为（ ）
A．550×105B．55×106C．5.5×107D．0.55×108
4．（3分）根据图中的数据，可得∠B的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
5．（3分）下列语句正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．平行四边形是轴对称图形
6．（3分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，若∠CDB＝28°，则∠AOC的度数为（ ）
A．28°B．34°C．56°D．62°
7．（3分）已知P（0，﹣4），Q（6，1），将线段PQ平移至P1Q1，若P1（m，﹣3），Q1（3，n），则nm的值是（ ）
A．﹣8B．﹣6C．D．9
8．（3分）对于抛物线y＝3（x+2）2﹣1，下列判断不正确的是（ ）
A．抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1）
B．把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线y＝3（x+1）2+1
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
D．若点A（2，y1），B（﹣3，y2）在抛物上，则y1＜y2
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．
10．（3分）如图，矩形ABCD被分割成4个直角三角形和1个小矩形后仍是中心对称图形．设上下两个直角三角形的面积都为S1，左右两个直角三角形的面积都为S2，中间小矩形的面积为S3，若对角线EF∥BC，则矩形ABCD的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1B．4S2C．2S1+2S3D．2S2+3S3
二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）使得二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：x2﹣9＝ ．
13．（3分）某企业2022年盈利100万元，2024年盈利169万元，该企业盈利的年平均增长率不变．设年平均增长率为x，根据题意，可列出方程 ．
14．（3分）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，则∠A的度数是 ．
15．（3分）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，若P是射线AD上一个动点，连接BP，点A关于直线BP的对称点为M，连接MP，MC，当P，M，C三点共线时，AP的长为 ．
16．（3分）若抛物线和两坐标轴的交点分别为（0，2），（m，0），（m+6，0），当时，总有y＞2，则m的取值范围是 ．
三、解答题（本题共有8小题，17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）解方程：
（1）4x2＝16；
（2）x2+2x﹣3＝0．
19．（8分）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证：四边形CEDF是正方形．
20．（8分）为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园﹣﹣﹣探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计：
八年级：9，8，11，8，7，5，6，8，6，12；
九年级：9，7，6，9，9，10，8，9，7，6．
整理如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）A同学说：“我平均每周锻炼8.2小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 年级的学生；
（3）你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出一条理由．
21．（8分）如图，△ABC绕点A旋转后能与△ADE重合．
（1）AC＝5，AB＝2，求CD的长；
（2）延长ED交BC于点M，∠BAC＝70°，求∠CME的度数．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB＝10，AC＝6．
（1）尺规作图：在图1中确定一点D，使其平分弧BC；
（2）在（1）的基础上，在图2中连接CD，求CD的长．
23．（10分）根据以下素材，探索完成任务：
24．（12分）如图1，一块矩形电子屏ABCD中，G为BC上一感应点，，动点P为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以GP为边的正方形区域GPEF．因发生故障，只有光带CM和MB正常工作，CM＝4，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿C→M→B匀速运动，到达点B时停止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域GPEF的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的函数图象，其中点Q表示P点运动到B点时情形．
（1）图2中a＝ ；当t＝1时，照亮的区域面积S＝ ．
（2）当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数．求出点P在整个运动过程中S关于t的函数解析式；
（3）若存在三个时刻t1、t2、t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形的面积均相等．
①t1+t2＝ ；
②当t3＝4t1时，则正方形GPEF的面积为 ．
2024-2025学年浙江省台州市初中名校发展共同体九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．【解答】解：“正”和“负”相对，
∴如果零上9℃记作+9℃，
那么零下4℃记作﹣4℃．
故选：A．
2．【解答】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：A．
3．【解答】解：55000000＝5.5×107．
故选：C．
4．【解答】解：∵120°＝∠A+∠B，∠A＝70°，
∴∠B＝50°．
故选：B．
5．【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项不符合题意；
B、矩形的对角线相等且互相平分，故选项不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，说法正确，故选项符合题意；
D、平行四边形不是轴对称图形，故选项不符合题意；
故选：C．
6．【解答】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴AC＝BC，
∴∠AOC＝2∠CDB＝2×28°＝56°．
故选：C．
7．【解答】解：由P（0，﹣4），Q （6，1），将线段PQ平移至P1Q1，若P1（m，﹣3），Q1 （3，n），
可得：﹣4+1＝﹣3，6﹣3＝3，
即平移规律为向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度，
可得：0﹣3＝m，1+1＝n，
解得：m＝﹣3，n＝2，
把m＝﹣3，n＝2代入nm＝＝．
故选：C．
8．【解答】解：A、∵y＝3（x+2）2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1），
故A选项是正确的；
B、由平移规律可知，将抛物线y＝3（x+2）2﹣1右平移1个单位，再向上平移2个单位，
则得到的抛物线解析式为y＝3（x+2﹣1）2﹣1+2，
即﹣300x+1200．
故B选项是正确的；
C、x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
则当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，
∴当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，
故C选项是正确的；
D、∵点A（2，y1），B（﹣3，y2）在抛物上，且|﹣3﹣（﹣2）|＝1＜|2﹣（﹣2）|＝4，
∴B（﹣3，y2）比A（2，y1）靠近对称轴，
∵抛物线开口向上，
∴y1＞y2，
故D选项是错误的；
故选：D．
9．【解答】解：如图，在AB上取一点E，使AE＝AC＝2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，
由旋转知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠EAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠EAC，
∴∠CAQ＝∠EAP，
∴△CAQ≌△EAP（SAS），
∴CQ＝EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点，
∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，
即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EP，
在Rt△ACB中，∠ACB＝30°，AC＝2，
∴AB＝4，
∵AE＝AC＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝2，
在Rt△BFE中，∠EBF＝30°，BE＝2，
∴EF＝BE＝，
故线段CQ长度最小值是，
故选：D．
10．【解答】解：如图，延长CF交AD于点J，连接BJ．
由题意，△ADE≌△CBF，
∴AE＝CF，
∵AD∥BC，BC∥AD，
∴EF∥AJ，
∵AE∥FJ，
∴四边形AEFJ是平行四边形，
∴AE＝FJ，
∴CF＝FJ，
∴S△BCF＝S△BFJ＝S△BCJ＝S平行四边形ABCD，
∴S平行四边形ABCD＝4S△BCF＝4S1，
故选：A．
二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x﹣2≥0，解得x≥2．
故答案为：x≥2．
12．【解答】解：x2﹣9＝x2﹣32＝（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
13．【解答】解：设年平均增长率为x，
根据题意：100（1+x）2＝169，
故答案为：100（1+x）2＝169．
14．【解答】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°，OA＝OC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠A＝（180°﹣40°）＝70°，
故答案为：70°．
15．【解答】解：①当P，M，C三点共线时，如图1所示：
在矩形ABCD中，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，∠A＝∠D＝90°，
∵点A关于直线BP的对称点为M，
∴∠A＝∠BMP＝90°，BM＝AB＝3，AP＝MP，
∴CM＝＝＝4，
设AP＝x，
则PD＝AD﹣AP＝5﹣x，CP＝CM+PM＝4+x，
在Rt△PDC中，根据勾股定理得：PC2＝PD2+CD2，
∴（4+x）2＝（5﹣x）2+32，
∴x＝1，
∴AP的长为1；
②如图2，由轴对称的性质得AP＝MP，∠APB＝∠MPB，
由平行线的性质得∠APB＝∠CBP
∴∠CPB＝∠CBP，
∴CP＝CB＝5，
在RtABCM中，BM＝AB＝3，由勾股定理得CM＝4，
∴MP＝CP+CM＝9，
∴AP＝9，
综上所述：AP的长为1或9，
故答案为：1或9．
16．【解答】解：∵抛物线过点（m，0），（m+6，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝m+3，
∵抛物线过点（0，2），
∴当y＝0时，另一个解为：x＝2m+6，
∵当时，总有y＞2，
∴m+2＞0，
∴m＞﹣4，
∴2m+6＞﹣2，
当2m+6＞0时，即m＞﹣3时，要使y＞2恒成立，需要抛物线开口向下，
∴m+2≤2m+6，m＜0，
∴﹣≤m＜0，
当2m+6＝0时，（0，2）是抛物线的顶点，此时需要抛物线开口向上，但与抛物线与x轴有交点矛盾；
当2m+6＜0时，即﹣4＜m＜﹣3时，要使y＞2恒成立，需要抛物线开口向上，此时抛物线的对称轴在y轴左侧，符合题意；
综上所述，m的取值范围是﹣4＜m＜﹣3或﹣≤m＜0．
故答案为：﹣4＜m＜﹣3或﹣≤m＜0．
三、解答题（本题共有8小题，17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分）
17．【解答】解：原式＝﹣1+1+
＝．
18．【解答】解：（1）4x2＝16，
x2＝4，
x1＝2，x2＝﹣2，
（2）x2+2x﹣3＝0，
（x﹣1）（x+3）＝0，
x﹣1＝0或x+3＝0，
所以x1＝1，x2＝﹣3．
19．【解答】证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，∠DFC＝∠DEC＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∵DE＝DF，
∴矩形CEDF是正方形．
20．【解答】解：（1）把八年级10名学生的测试成绩排好顺序为：5，6，6，7，8，8，8，9，11，12，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a＝＝8，
九年级10名学生每周锻炼9小时的最多有4人，所以众数b＝9，
故答案为：8，9；
（2）A同学平均每周锻炼8.2小时，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是八年级的学生；
故答案为：八；
（3）我认为学生体育锻炼情况的总体水平较好，
理由：因为八、九年级的平均数相等，九年级每周锻炼时间小于八年级每周锻炼时间的方差，所以九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好．
21．【解答】解：（1）∵△ABC绕点A旋转后能与△ADE重合，
∴△ABC≌△ADE，
∴AD＝AB＝2，
∴CD＝AC﹣AD＝5﹣2＝3；
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴∠EDA＝∠B，
∴∠CME＝180°﹣∠CDM﹣∠C，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
又∵∠EDA＝∠CDM，
∴∠CME＝∠BAC＝70°．
22．【解答】解：（1）如图1，点D即为所求；
（2）如图2，连接BD，OD，BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝8，
由（1）知：＝，
∴CD＝BD，
∵OD是⊙O的半径，
∴OD⊥BC，BE＝CE＝BC＝4，
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，
∴BD＝＝＝2，
∴CD＝2．
23．【解答】解：任务1：∵20人先下单，三种团购优惠方案的条件均不满足，
∴设这20人中选择A套餐的有x人，x＜20，
则选则B套餐的有（20﹣x）人，（20﹣x）＜12，
∴30x+25（20﹣x）＝565，
∴x＝13，
∴20﹣x＝7，
答：选择A套餐的有13人，选择B套餐的有7人；
任务2：∵两种套餐皆可的11人中有m人选择A套餐，
∴当全班选择A套餐人数不少于20人时，
即13+m≥20，
∴m≥7，
∴选择B套餐人数为18﹣m≤11，不满足优惠方案二的条件，
∴订餐总费用为w＝30×0.9×（13+m）+25×（18﹣m）＝2m+801；
任务3：∵两种套餐皆可的11人中有m人选择A套餐，
①当m≥7时，由（2）可知，订餐总费用为w＝2m+801，
∵k＝2＞0，
∴w随着m的增大而增大，
∴当m＝7时，订餐总费用最小为w＝2×7+801＝815（元）；
②当0≤m＜7时，13+m＜20，18﹣m＞11，
∴订餐总费用为w＝30×（13+m）+25×0.8×（18﹣m）＝10m+750，
∵k＝10＞0，
∴w随着m的增大而增大，
∴当m＝0时，订餐总费用最小为w＝750（元）；
③若选择优惠方案三，订餐总费用为w＝30×（13+m）+25×（18﹣m）＝5m+840，
∵总费用满850元立减90元，
∴当m＝2时，订餐总费用最小为5×2+840﹣90＝760（元）；
综上所述，当订购A套餐13份，订购B套餐为18份时，订餐总费用最低为740元．
24．【解答】解：（1）∵t＝1，点P的速度为每秒1个单位，
∴PC＝1，
∵四边形ABCD为矩形，∠C＝90°，，
∴，
∴S＝32＝9，
由图2可知，t＝4时S＝a，
∵CM＝4，
∴t＝4时，点P运动到点M，
∴，
∴．
故答案为：24；9；
（2）当0≤t≤4时，S＝GP2＝GC2+CP2＝（2）2+t2＝t2+8；
当4＜t≤16时，如图，连接GM，
∵点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，
∴此时GP⊥BM，PM＝CM＝4，
在Rt△MGC和Rt△MGP中，
，
∴Rt△MGC≌Rt△MGP（HL），
∴，
∴，
∴t＝8时，S＝8，
∴抛物线的顶点坐标为（8，8），
设抛物线的解析式为设S＝a（t﹣8）2+8（a≠0），
由（1）知图象经过（4，24），代入得：24＝a（4﹣8）2+8，
解得：a＝1，
∴S＝（t﹣8）2+8，
综上，S＝；
（3）①根据图象可知，0≤t≤4内的图象与4＜t≤8内的图象关于直线x＝4对称，
∴t1+t2＝8，
故答案为：8；
②由题意可知，函数S＝t2+8的图象向右平移8个单位与函数S＝（t﹣8）2+8的图象重合，
∵当t＝t1和t＝t3时，S的值相等，
∴t3﹣t1＝8，
又∵t3＝4t1，
∴4t1﹣t1＝8，
解得t1＝，
此时正方形DPEF的面积S＝t21+8＝（）2+8＝，
故答案为：．
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
8
a
8
4.89
九年级
8
8.5
b
1.8
如何制定订餐方案
素材1
某班级组织志愿者活动，需提前为同学们订购午餐，现有A、B两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示：
套餐类别
套餐单价
团体订购优惠方案
A：米饭套餐
30元
方案一：A套餐满20份及以上每份均打9折；
方案二：B套餐满12份及以上每份均打8折；
方案三：总费用满850元立减90元．
（方案三不可与方案一、方案二叠加使用）
B：面食套餐
25元
素材2
该班级共31位同学，每人都从A、B两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定A或B套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元．
问题解决
任务1
已知确定套餐的20人中，有 人选择A套餐， 人选择B套餐．
任务2
设两种套餐皆可的同学中有m人选择A套餐，该班订餐总费用为w元，当全班选择A套餐人数不少于20人时，请求出w与m之间的函数关系式．
任务3
要使得该班订餐总费用最低，则A、B套餐应各订多少份？并求出最低总费用．