陕西省西安市雁塔区第二中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

这是一份陕西省西安市雁塔区第二中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集，如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）

A．B．
C．D．
2．命题，的否定是（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
3．设，，则（ ）
A．B．C．D．不确定
4．年月日凌晨点分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空握手”.对接时，只有空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向对接口朝向了梦天舱赶上来的方向，才能实现“太空握手”.根据以上信息，可知“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．若实数，满足，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8．已知集合S＝{0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的非空子集的个数为（ ）
A．16B．17C．18D．20
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知实数a，b，c，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若且，则
C．若，则
D．若，则
11．设集合，，若，则的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
12．已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
三、填空题
13．已知二次函数图象如图所示，那么二次函数的零点是 ．
14．已知命题“存在，”为假命题，则实数a的取值范围为 .
15．为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，某校积极开展社团活动，高一（1）班参加社团的学生有21人，参加社团的学生有18人，两个社团都参加的有7人，另外还有3个人既不参加社团也不参加社团，那么高一（1）班总共有学生人数为 ．
16．已知实数，满足，若，则的最小值是 ．
四、解答题
17．已知全集为，集合，或 .
求：（1）；
（2）；
（3）.
18．已知集合，，且．
(1)若是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是真命题，求实数的取值范围．
19．解答下列各题.
(1)若，求的最大值.
(2)若正数，满足，求的最小值.
20．已知全集，非空集合，．
(1)当时，求；
(2)命题，命题，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
21．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设．
(1)当时，求海报纸的面积；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？
参考答案：
1．D
【分析】根据题意，得到阴影部分表示的集合是，结合集合的并集和补集的运算，即可求解.
【详解】由题图可知，阴影部分表示的集合是，
因为，可得，
所以.
故选：D.
2．C
【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】命题，的否定是，,
故选：C
3．A
【分析】运用作差法比较大小即可.
【详解】因为，所以.
故选：A.
4．A
【分析】由推出关系可确定结论.
【详解】由题意知：“太空握手”“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”； “空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”“太空握手”，
“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分不必要条件.
故选：A.
5．C
【分析】利用不等式的性质，通过逐一分析判断各选项，即可判断出结果.
【详解】对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，因为，当时，，故B错误；
对于C，因为，所以，，所以，即，即，故C正确；
对于D，若，显然有，故D错误．
故选：C．
6．A
【分析】因为，由集合相等的定义即可列出方程求出的值，但要注意集合元素具有互异性，所以求出的值之后还要回代到具体集合中验证是否满足元素之间互异.
【详解】由题意集合，，
又因为，且全集，
所以，解得，
但当时，集合违背了元素之间的互异性，
而当时，集合，，满足题意,
综上所述：.
故选：A.
7．A
【分析】利用基本不等式凑和为定值直接求解.
【详解】已知，
则x2-3x=13×3x2-3x
≤13×3x+2-3x22=13.
当且仅当3x=2-3x，即等号成立.
故的最大值是.
故选：A
8．D
【分析】由集合S＝{0，1，2，3，4，5}，结合x∈A时，若有，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得出答案.
【详解】∵当xA时，若有x－1A，且x＋1A，则称x为A的一个“孤立元素”，
∴单元素集合都含“孤立元素”．S中无“孤立元素”的2个元素的子集为{0，1}，{1，2}，{2，3}，{3，4}，{4，5}，共5个，S中无“孤立元素”的3个元素的子集为{0，1，2}，{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，共4个，S中无“孤立元素”的4个元素的子集为{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}，共6个，S中无“孤立元素”的5个元素的子集为{0，1，2，3，4}，{1，2，3，4，5}，{0，1，2，4，5}，{0，1，3，4，5}，共4个，S中无“孤立元素”的6个元素的子集为{0，1，2，3，4，5}，共1个，故S中无“孤立元素”的非空子集有20个，故选D.
【点睛】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，我们根据定义列出满足条件的所有不含”孤立元素”的集合，进而求出不含”孤立元素”的集合个数.
9．CD
【分析】根据元素和集合的关系及集合之间的关系判断即可.
【详解】对于A，，错误；
对于B，，错误；
对于C，是有理数，则，正确；
对于D，是整数，则，正确.
故选：CD.
10．BC
【分析】根据不等式性质判断ABC，举反例判断D.
【详解】对于A，因为，所以，又，所以，故选项A错误；
对于B，因为，所以，所以，又，所以，故选项B正确；
对于C，因为，所以，所以，又，所以，
故选项C正确；
对于D，当，时，，，则，不满足，故选项D错误.
故选：BC.
11．ABD
【分析】解方程，分情况讨论集合与元素的关系.
【详解】因为，
所以或或，
所以或或，
故选：ABD．
12．CD
【分析】根据集合子集的个数列出方程，求得的关系式，对A，利用二次函数性质可判断；对B，利用基本不等式可判断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可判断.
【详解】由于集合有且仅有两个子集，
所以方程只有一解，所以，所以，
由于，所以.
A，，当时等号成立，故A错误.
B，，当且仅当时等号成立，故B错误.
C，不等式的解集为，所以方程的两根为，所以，故C正确.
D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则，
则，所以，故D正确，
故选：CD
13．
【分析】结合函数的图象即可求解；
【详解】根据图象可得函数的零点是，
故答案为：.
14．
【分析】根据题意得到“任意，”为真命题，在分类讨论求解即可.
【详解】因为“存在，”为假命题，
所以“任意，”为真命题，
当时，，满足题意.
当时，，
综上：.
故答案为：
15．35
【分析】求出只参加社团和只参加社团的人数，即可求出高一（1）班总共有学生人数.
【详解】由题意，
高一（1）班参加社团的学生有21人，参加社团的学生有18人，两个社团都参加的有7人，
∴只参加社团的学生有（人），
只参加社团的学生有（人），
∵另外还有3个人既不参加社团也不参加社团，
∴高一（1）班总共有学生人数为：（人）
故答案为：.
16．16
【分析】先由基本不等式放缩，然后再用基本不等式得最小值．
【详解】因为，所以，
，当且仅当，即时取等号，
所以，当且仅当，即时等号成立，此时．
故答案为：16．
17．求：（1）；（2）；（3）
【分析】(1)根据交集的概念进行运算可得;
(2)根据补集和交集的概念进行运算可得;
(3)根据并集和补集的概念进行运算可得.
【详解】或，，或.
（1）.
（2）.
（3）.
【点睛】本题考查了集合的交,并,补集的运算,属于基础题.
18．(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可；
（2）由求出的取值范围，依题意可得，求出时参数的取范围，即可得解.
【详解】（1）由于是真命题，所以．
而，所以，解得，故的取值范围为．
（2）因为，所以，解得．
由为真命题，得，
当时，或，解得．
因为，所以当时，；
所以当时，．故的取值范围为．
19．(1)
(2)16
【分析】（1）将变形为，利用基本不等式计算可得结果；
（2）根据基本不等式中“1”的应用代入计算可得结果.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当时，即x=1时取等号.
故的最大值为.
（2），且，
所以，
即的最小值为，
当且仅当，即，时取等号
20．(1)
(2)
【分析】（1），当时，， 再运用交、补集的运算，计算求解即可；
（2）由已知可得，故，计算求解即可得到结论．
【详解】（1）不等式的解集为
所以，
当时，，化简得，
全集，
或，
∴；
（2）由q是p的必要条件，可得，
所以，
因为
所以，
所以不等式的解集为，
所以，
，解得或，
所以 实数a的取值范围是.
21．(1)
(2)选择长宽分别为的海报纸.
【分析】（1）先表示出阴影部分的面积，代入，可求出阴影部分的高，进而得到海报纸的面积；
（2）表示出各自的关系式，转化为条件下的最值问题，最后运用基本不等式可得答案.
【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为所以阴影部分的面积：，所以即：，
由图像知：，
（2）由（1）知：
，当且仅当即，
即等号成立.
综上，选择长宽分别为的海报纸.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
A
C
A
A
D
CD
BC
题号
11
12








答案
ABD
CD